巧引平行線 妙求線段比
——以三角形為背景的線段比值求解的“一招制敵”術

安徽省合肥市肥東縣龍?zhí)翆W校 章 林

對于以三角形為背景的線段比值問題的求解，“梅內(nèi)勞斯（Menelaus）”定理可以說是一個“一招制敵”的絕技，但是在中學階段，梅內(nèi)勞斯定理既不屬于課標和教學要求，初中生也不易掌握。除卻梅內(nèi)勞斯定理，還有一種“一招制敵”的絕技可以輕松解決以三角形為背景的線段比值問題，這種方法就是：巧引平行線，利用相似三角形或平行線分線段成比例定理，進而求比值。本文試以一道中考試題為例，詳述在三角形背景下求線段的比值問題中，如何巧引平行線，妙求線段比值的“一招制敵”術，并在解題“競技”中應用之。

一、基本結(jié)論

在三角形背景下，與線段比值有關的結(jié)論主要有以下兩條：

【結(jié)論1】平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或延長線）所得的對應線段成比例。(證明略)即：如圖1，圖2，圖3，在△ABC中，DE∥BC，分別交直線AB、AC于D、E，則有

作為特例，還有下面的結(jié)論：

【結(jié)論2】過三角形一邊的中點，平行于另一邊的直線，必平分第三邊。幾何語言可表示為：（如圖1）若DE∥BC， D為AB中點，則E為AC的中點。

二、基本圖形

在結(jié)論的三種情形中包含兩類基本圖形，不妨稱為“A”字形（如圖1）和“X”字形（如圖2）。在這兩個基本圖形中，均有：

三、方法解析

在三角形背景下求線段的比值，往往需借助于相似三角形，而平行線是構(gòu)造相似三角形的重要條件。一般來說，如果圖中已有平行線或相似三角形，則只需找到圖中的“A”字形和“X”字形圖，若沒有平行線也沒有相似三角形，則可以通過添加平行線構(gòu)造出相似三角形，再直接或間接地進行線段比值的求解。那么如何巧添平行線，構(gòu)造相似三角形呢？下面以一道求線段比值的中考試題為例，詳細剖析添加平行線的方法。

【引例】如圖4，已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC。取AB的中點F，連接FD交AC于點E。（1） 求AE∶AC的值；（2）若AB=a，F(xiàn)B=EC，求AC的長。

【解析】這里重點解析第（1）題。圖中沒有相似三角形，也沒有平行線，要求AE∶AC的值，可以構(gòu)造相似三角形進行直接求解或間接轉(zhuǎn)換。我們看到圖中有6個標出的點，分別是A、B、C、D、E、F。我們從其中的任一點出發(fā)，看看能否作出和已知線段（直線）平行的直線，從而構(gòu)造出相似三角形。

先從點A開始，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過點A可以作出FD的平行線（如圖5），交BD的延長線于點K。在這個圖形中蘊涵著以下兩個“A”字形的基本圖形，分別如圖6和圖7所示。

在圖6中，由AK∥FD，F(xiàn)為AB的中點可得D是BK的中點，又由C是BD中點可得CD∶CK=1∶3， 結(jié)合圖7可得CE∶CA=1∶3，所以AE∶AC=2∶3。

另一方面，經(jīng)過點A還可以作出BC的平行線，并與DF的延長線交于點K（如圖8）。在此圖形背景中，隱藏著下面兩個“X”字形圖，分別如圖9、10所示。

在圖9中，由AK∥BD，F(xiàn)為AB的中點可得F是DK的中點，可得△AEK≌△BFD，所以BD=AK；又由C是BD中點可得CD∶AK=1∶2，結(jié)合圖10可得CE∶CA=1∶3，所以AE∶AC=2∶3。這樣，從點A出發(fā)可以引出兩條平行線，相應地產(chǎn)生了相似三角形，再挖掘其中隱藏的“A”字形和“X”字形圖，可以使問題輕松解決。

類似地，我們可以選取點B，以其為起點，可構(gòu)造出兩個圖形（如圖11、12）。選取點C，以其為起點，可構(gòu)造出兩個圖形（如圖13、14）。選取點D，以其為起點，可構(gòu)造出兩個圖形（圖15、16）。再選F，類似地可構(gòu)造出三個圖形（圖略）。

四、方法歸總

把從不同的點出發(fā)，引平行線進而構(gòu)造相似三角形的所有情形歸總起來列成表格：

起點 A B C D E F 合計種類 2 2 2 2 0 3 11

這樣，就有11種不同的添加平行線的方案，從每個點出發(fā)都可以引出兩條（或多于兩條）平行線，不過此處一個顯著的特點是：這里除了點E外，由其余各點引出的平行線均能與已知條件“CD=BC，F(xiàn)為AB的中點”溝通起來，或多或少地與比值有所牽連。為什么會出現(xiàn)這樣的情況呢？這正如打算應用“全等三角形的對應邊相等”來證明 “兩條線段相等”，而在尋找全等的條件時，不能把需要證明相等的兩邊作為全等條件一樣。這里我們不妨把點E稱為“動”分點，而與之相對應的分點（包括線段的端點）稱為“靜”分點，我們據(jù)此得出下列規(guī)律和步驟：

（1）找出圖中的所有分點（含線段端點），區(qū)分“動”分點和“靜”分點；

（2）以每個“靜”分點為起點，引平行線，構(gòu)造相似三角形；

（3）在圖中找出“A”字形和“X”字形圖，并把它們從背景圖中分離出來；

（4）根據(jù)“A”字形和“X”字形基本圖中的基本結(jié)論，綜合求出待求的比值。

五、應用舉例

例1 如圖17，△ABC中，BD∶DC=1∶3，AE∶ED=2∶3，求AF∶FC。

【解析】在A、B、C、D、E、F六個點中，點F是動分點，點A、B、C、D、E都是靜分點。因此我們分別以A、B、C、D、E為起點引平行線，可以構(gòu)造出以下圖形（如圖18、19、20、21等等，由于類同上述例題，所以構(gòu)造出的其余圖形不再畫出）。這里同樣有不下于10種引平行線的方法，最終可求得AF∶FC=2∶9。

圖 17

圖 18

圖 19

圖 20

圖 21

例2 如圖22，在△ABC中，AB=AC，D為AB上的一點，E為AC延長線上的一點，且CE=BD，連接DE交BC于點P。

（1）求證：PD=PE；

（2）若CE∶CA=1∶5，BC=10，求BP的長。

圖22

【解析】（1）略。

（2）由于題中已知線段BC的長，欲求BP的長，只需求出BP∶BC的值即可。

觀察圖中的A、B、C、D、E、P六個點，點P為動分點，其余都是靜分點，因此嘗試從其他幾個靜分點出發(fā)引平行線構(gòu)造相似三角形，分述如下：

圖 23

圖 24

圖 25

圖 26

①以A為出發(fā)點，有如圖23、24所示的兩種構(gòu)造方法。

②以B為起點，有如圖25、26所示的兩種構(gòu)造方法。

以C、D、E為起點的構(gòu)造方法類同，圖略。

上述10種方案所構(gòu)造的圖形中，均包含有“A”字形或“X”字形基本圖，通過分析其中的比例關系，不難求出BP∶BC=3∶5，所以BP的長為

數(shù)學解題能力的修煉和提高，得益于解題方法的積累和總結(jié)。在平時解題過程中不能只滿足于就題論題，為解題而解題，也不要追求多解的數(shù)量，而要注重“多解歸一”。文中所述各題，都是通過引平行線，進而對復雜圖形進行拆分，利用其中的“A”字形或“X”字形相似，最終求出相關線段的比值。多角度地看待同一個問題，或同一角度看待不同的問題，最終達到“一題多解”或“多解歸一”，這是修煉解題基本功的重要途徑。作為教師，只有在解題教學中有意識地對學生加以培養(yǎng)和訓練，才能使他們逐步提升能力，最終擁有常人所不具備的絕技，從而在解題競技中“一招制敵”。

[1]羅峻，段利芳.一道平行線問題的證明、演變與運用[J].初中數(shù)學教與學，2017（19）.

[1]盧彩霞.利用解決平行線中拐角問題的方法求解折線成角問題[J].吉林教育，2017（37）.