七字真言闖天下
——三視圖還原妙招

廣東省廣州市第六中學 曹永生

三視圖還原成直觀圖，計算相應幾何體的面積、體積是近年高考的必考題型。學生在三視圖的還原問題上有一定難度，特別是一類網格型三視圖的空間思維難度更大，學生往往花費較長時間，也耗費精力。為此本人結合教學實際，總結出了一點小技巧，希望能幫到大家。

一、首先要掌握簡單幾何體的三視圖

正方體、長方體、三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐、圓柱、圓錐、圓臺和球的三視圖分別是什么要熟悉掌握。

二、掌握簡單組合體的組合形式

簡單組合體主要有拼接和挖去兩種形式。

三、三視圖之間的關系

幾何體的長：正視圖、俯視圖的長。

幾何體的寬：俯視圖的高、側視圖的長。

幾何體的高：正視圖、側視圖的高。

（口訣：主俯定長，俯左定寬，主左定高）

四、清楚三視圖各個線段所表示幾何體位置

五、由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法

1.組合類題型往往很簡單，基本可以通過簡單想象直接還原。

2.有兩個視角為三角形，為椎體特征。選擇底面還原（求體積可不用還原）。

3.凡是想不出來的，可用七字真言還原。（不到萬不得已，不用此法）

【類型一】三線交匯得頂點，四頂相連無懸念。

例1 如圖1，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖。則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度是（ ）

圖1

解：由三視圖可知，原幾何體的長、寬、高均為4，所以我們可以用一個正方體座位載體對三視圖進行還原。先畫出一個長、寬、高均為4的正方體，如圖2：

圖2

第一步：根據正視圖，在長方體中畫出正視圖四個頂點的原象所在的線段，這里我們用紅線表示。如圖3,即正視圖的四個頂點必定是由圖中紅線上的點投影而成的。

圖3

第二步：根據側視圖，在正方體中畫出它們的原象所在的線段，用藍線表示。如圖4：

圖4

第三步：俯視圖有三個頂點，畫出它們的原象所在的線段，用綠線表示。如圖5：

圖5

最后一步，三種顏色公共點（只有兩種顏色線的交點不行）即為元及合同的頂點，連接各頂點即為原幾何體，至此，易知哪條棱最長，求出即可。

這種方法的核心其實就是七個字：“三線交匯得頂點”。這種方法操作性強，降低了思維的難度，依次畫出三組線即可，真可謂七字真言掃天下。

例2 某多面體的三視圖如圖6，則該多面體的棱中，最長的棱的長度是（ ）

圖6

【類型二】三線交匯得頂點，各頂必在其中選，多頂可能用不完，個中取舍是關鍵。

例3 一個幾何體的三視圖如圖所示，圖中直角三角形的直角邊長均為，則該幾何體體積為（）

解：首先在正方體框架中描出主管圖，并將輪廓線的邊界點平行延長，如圖：

將俯視圖和側視圖也如法炮制，這樣就可以找到三個方向的交叉點，連接這五個點的四棱錐，不滿足俯視圖，而頂點又必須在這五點中，所以當點數超過4個時，可能不需要全部連接，則這些點有所取舍。

第一取舍法：俯視圖看到的面不可以為上面四個點構成的整個四邊形，而是中間有一條折痕，故只能說左半邊三角形向下折。即舍棄前面左上方的點。故得：

第二取舍法: 正視圖看，已標記下面的點必不可少；從俯視圖看，上面有3 個點必不可少；又不能全部連接，故只能舍棄前面左上方的點。

第三取舍法：口訣：實線兩端的點保留，虛線兩端的點待定。從俯視圖一看，便知道答案了。

【類型三】八點起飛，直觀圖不唯一。

例4 畫出以下三視圖的直觀圖。

此題八點齊飛，通過類型二中的第三取舍法，我們很容易就能還原出來。

然而，我們發現這個三視圖也可以看成是上圖中的三棱錐與另外一個三棱錐組合而成。

如下圖所示：以k為頂點的三棱錐（四種）與上圖的組合。

由此得出，上題中的三視圖至少有5 種不同的直觀圖。

我們在取舍的時候也可以看出，當頂點的三個方向都有其他點的時候，這個點多數時候就是可有可無的。

六、三視圖題目幾點技巧

1.部分椎體求體積，直接用公式（可以不還原）。

2.斜二測畫法與原圖面積比例為定值（可以不還原）。

3.三視圖中，和視線垂直的線段，長度不變。

七、反思

對棱相等的四面體求體積，最簡單的方法就是放回長方體中。