一道測試題的教學(xué)與思考

江蘇省江陰市青陽中學(xué) 王士勇 譚 穎

每學(xué)期臨近期末，按照學(xué)校的要求，師生都要有計(jì)劃地開展期末復(fù)習(xí)工作，學(xué)生必定會做一定量的模擬測試題，教師必定要進(jìn)行試卷評講，那么試卷評講課應(yīng)該怎么上呢？常見的有以下三種方式：1.就題講題，普遍答錯(cuò)的題重點(diǎn)講，少部分人答錯(cuò)的題少講或不講；2.有辨別地選擇典型題型講解，并配以同類型的題進(jìn)行鞏固；3.以上兩種方式兼有，更注重解題策略與數(shù)學(xué)思想的滲透。

雖然以上方式中，教師會注重師生互動，但主要是教師為主，學(xué)生為輔的教學(xué)模式，這樣的試卷講評課模式顯然不符合新課改的要求，新課改的六項(xiàng)目標(biāo)主要包括（下稱“目標(biāo)”）：改變課程實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識能力、分析和解決問題能力以及交流與合作能力。筆者也在追問自己：試卷講評課究竟該怎么上？怎樣實(shí)施才會更有效地服務(wù)于“目標(biāo)”？

帶著這些問題，筆者不斷在實(shí)踐中探索與嘗試，有了些點(diǎn)滴體會，不當(dāng)之處，敬請批評指正。

一、學(xué)情調(diào)查

例題：已知函數(shù)f(x)=lnx-a2x2+ax（a∈R）。

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

這是筆者所在學(xué)校期末復(fù)習(xí)期間的一道檢測試題，此題側(cè)重于“雙基”的考查，難度適中，思路寬廣，學(xué)生極易上手，應(yīng)該可以輕松完成。試卷批閱后發(fā)現(xiàn)，第（1）小題幾乎沒有學(xué)生出錯(cuò)，但第（2）小題，50人中有21人出錯(cuò)，大大超出了筆者的預(yù)期。筆者隨即將答卷分發(fā)給各學(xué)習(xí)小組，要求各小組利用課余時(shí)間對此題的第（2）小題進(jìn)行學(xué)情分析，并提交學(xué)情報(bào)告（因?yàn)楣P者是班主任，經(jīng)常帶領(lǐng)學(xué)生分小組研究一些學(xué)科或非學(xué)科的問題，并提交研究報(bào)告）。根據(jù)學(xué)生小組提交的報(bào)告，筆者精心設(shè)計(jì)了一堂試卷講評課。

二、教學(xué)過程

為了鼓勵(lì)小組學(xué)習(xí)，教師首先展示了學(xué)生研究報(bào)告，表格如下：

序號 主要思路 人數(shù) 錯(cuò)誤主因 人數(shù)1 區(qū)間(1，+∞)是函數(shù)f(x)單調(diào)減區(qū)間的子集 19 不等式求解 3分類討論 3 2 導(dǎo)函數(shù)f'(x)≤0恒成立 24 f'(x)＜0 3分類討論 6

3 對函數(shù)f(x)二次求導(dǎo) 5 對f'(x)再優(yōu)化 4 4其他 2 多種因素 2

1．不識廬山真面目

本題第（2）小題是一道利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題的題型，應(yīng)該是極易上手的，但從批閱情況來看，結(jié)果并不理想。

學(xué)生1：基于區(qū)間（1，+∞）是f (x)在定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)減區(qū)間的子集，

②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'(x)＜0，∴（2ax+1)(ax-1)＞0，解得或

教師：學(xué)生1的解答是對表格中思路1的完美演繹，抓住參數(shù)對導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的影響這一本質(zhì)進(jìn)行了分類討論，不僅回答了有些學(xué)生對此題不會分類討論的疑惑，而且指明了解不等式出錯(cuò)的原因所在，非常好！實(shí)際上，課本是我們最好的指導(dǎo)老師，本題我們可以在課本中找到“題根”，參看蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）第28、29頁例題1、2、3。那么，我們還可以怎么理解函數(shù)在給定區(qū)間上是單調(diào)的呢？

學(xué)生2：f (x)在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)可轉(zhuǎn)化為f'(x)≤0在（1，+∞）上恒成立，但對我不會處理了。

學(xué)生3：可以把f '(x)≤0轉(zhuǎn)化為2a2x2-ax-1≥0在（1，+∞）上恒成立，令g(x)=2a2x2-ax-1，則有g(shù)min(x)≥0。

①當(dāng)a=0時(shí)，則-1≥0，顯然不成立；

教師：學(xué)生2對導(dǎo)函數(shù)的處理沒有把握好，太可惜了。學(xué)生3通過層層剝離發(fā)現(xiàn)，它是求含參一元二次函數(shù)的最值問題，如何分類討論也就迎刃而解了，值得表揚(yáng)！那么，為什么會有人寫成f'(x)＜0呢？

教師帶領(lǐng)學(xué)生重溫了蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）第28頁的思考，學(xué)生明白：函數(shù)圖象上任一點(diǎn)是無單調(diào)性的，一定要注意它對導(dǎo)數(shù)的影響。

隨著分析的深入，學(xué)生已經(jīng)注意到導(dǎo)函數(shù)對單調(diào)性的影響，教師繼續(xù)追問學(xué)生：還能有其他解法嗎？

學(xué)生4：受學(xué)生2的啟發(fā)，我想把f '(x)的最大值求出，所以我想到了對f '(x)再求導(dǎo)。

教師：學(xué)生4的解法告訴我們：既然導(dǎo)函數(shù)也叫函數(shù)，那么我們?yōu)槭裁床荒軐λ偾髮?dǎo)研究呢？這就是我們曾經(jīng)介紹的“二次求導(dǎo)”。

此時(shí)教師觀察到學(xué)生們眼睛一亮，似有所悟，便繼續(xù)發(fā)問：為什么有學(xué)生對學(xué)生3解法中的再求導(dǎo)沒有做出來呢？自此，學(xué)生終于明白：導(dǎo)函數(shù)的優(yōu)化選擇很重要。教師再追問：這種做法真的不能求出結(jié)果嗎？由于有了上面知識的鋪墊，教師估計(jì)學(xué)生能夠解決，便把此問題作為課后作業(yè)。

2．?dāng)?shù)形結(jié)合莫相忘

教師為了激發(fā)學(xué)生的思維靈感，引用了華羅庚教授曾說的一段話：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”那么能否從形的角度探尋問題的本質(zhì)呢？學(xué)生進(jìn)行小組探討，并通過實(shí)物投影展示討論成果。

教師：此法是從“形”的角度揭示了本題的內(nèi)在特點(diǎn)，正所謂數(shù)形結(jié)合，相得益彰，往往會產(chǎn)生1+1＞2的功效，不正是創(chuàng)造性思維的原動力嗎？

本題為什么會有那么多人出錯(cuò)？問題的根源正是學(xué)生對導(dǎo)函數(shù)沒有進(jìn)行細(xì)致入微地研究，不識廬山真面目，太可惜了！

3．更上一層樓

若教學(xué)活動到此為止，那就好比夜晚的煙火，雖絢麗奪目，但好景不長。為了激發(fā)學(xué)生的求知欲、創(chuàng)新欲以及在學(xué)生心中構(gòu)建起系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教師又帶領(lǐng)學(xué)生去擬制試題和感受高考。

（1）擬題

題1：已知函數(shù)f (x)=lnx-a2x2+ax（a∈R），若f (x)在區(qū)間（1，+∞）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

題2：設(shè)函數(shù)f (x)=x3-ax2+a2x+1，g(x)=ax2-2x+1，a∈R，若f (x)與g(x)在區(qū)間（a，a+2）上均為增函數(shù)，求a的取值范圍。

（2）感受高考

題1：（2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考文科數(shù)學(xué)·T11改編）若函數(shù)f (x)=kx-lnx在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，求k的取值范圍。

題3：（2013·江蘇高考數(shù)學(xué)·T20）設(shè)函數(shù)f (x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù)。

（1）若f (x)在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g(x)在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。

題4：（2011·江蘇高考數(shù)學(xué)·T19）已知實(shí)數(shù)a,b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f '(x)和g'(x)是f (x)、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f'(x)g'(x)≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f (x)和g(x)在區(qū)間I上單調(diào)性一致。

（1）設(shè)a＞0，若f (x)和g(x)在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，求b的取值范圍；

（2）設(shè)a＜0，且a≠b，若函數(shù)f(x)和g(x)在以a,b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求的最大值。

通過擬題，學(xué)生不僅鞏固了知識，而且升華了認(rèn)知，更對自己的奇思妙想感到欣喜，變學(xué)數(shù)學(xué)為“玩”數(shù)學(xué)，寓創(chuàng)新于其中，體會不一樣的樂趣。通過感受高考，學(xué)生為自己擬題點(diǎn)贊，更會明白：原來高考題就扎根于書本，孕育在基礎(chǔ)知識之中。讓高考不再那么高不可攀，神秘莫測，多了幾分親近，更接地氣，原來高考題可以這樣獲得，同時(shí)也給學(xué)生課后作業(yè)和再探索留下了空間。

三、關(guān)于教學(xué)的思考

關(guān)于試卷講評課，筆者以一道測試題為突破口，對試卷講評課的有效模式做了一次嘗試，并用一個(gè)“動”字來概括這次嘗試，不僅新授課需要“動”，試卷講評課也需要“動”，這里所說的“動”有顯性和隱性之分，簡稱為“雙動”。

1．顯性的“動”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。” 故顯性的“動”就是學(xué)生的“學(xué)習(xí)主動”，它是學(xué)生行為。學(xué)生在“學(xué)習(xí)主動”中獲得知識、技能以及養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在這節(jié)課中，學(xué)生要做到三“動”：課前學(xué)情分析、課堂以問題鏈為驅(qū)動的啟發(fā)與探究、課后作業(yè)與再探究。筆者的意圖很明顯，通過三“動”，使學(xué)生逐漸學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來分析問題、探究問題和解決問題的問題策略以及基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。羅增儒教授曾說：“學(xué)生逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。增強(qiáng)創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。”讓顯性的“動”真正起到主動學(xué)習(xí)之功效。

2．隱性的“動”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中也指出：“學(xué)生的主動學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。”這里的“教師引導(dǎo)”就是隱性的“動”，它是教師行為，包含了兩個(gè)方面：一是教師對有效教學(xué)活動的構(gòu)思；二是教師對有效教學(xué)活動的實(shí)施。在這節(jié)課中，筆者在學(xué)生顯性的“動”上下足了功夫，如從課前學(xué)情分析、課堂以問題鏈為驅(qū)動的啟發(fā)與探究、課后作業(yè)與再探究等教學(xué)活動的構(gòu)思到實(shí)施，無不體現(xiàn)教師隱性的“動”。真正使教師隱性的“動”起到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、樹立學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心、逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維解決問題的習(xí)慣之功效。

[1]羅增儒．從數(shù)學(xué)知識的傳授到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（7）：2-7．