三角形中的“重重蝶影”

李婷

摘 要 數學幾何當中有很多基本圖形，如果給以一個形象的稱呼，同時挖掘基本圖形在幾何題目當中的應用，學生不但能夠對知識記憶深刻，而且也增加了學習數學的興趣。

關鍵詞 蝶形；三角形；應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）24-0228-01

數學幾何圖形當中，是一些基本圖形組成的，而這些基本圖形又有著一些特殊的作用。如果只是簡單給學生說明而沒有一個形象的稱呼和具體事例，學生印象就沒有這么深刻，現就在初中三角形題目出現較多的一個基本圖形，加以歸類分析，供讀者欣賞。

一、蝶形的引出

在七年級下冊的《三角形》這章中有個基本的結論：

圖1 圖2 圖3 圖4

如圖1，在圖中有：∠A+∠B=∠C+∠D。這個圖形實現了角度和之間的轉換，實際上是三角形外和的應用，但是實際上在很多關于三角形的題目當中應用非常廣泛，如果沒有一個形象的稱呼，學生的記憶不夠深刻，根據圖形的特點，我和學生一起稱之為：蝶形。這樣學生只要看到這種圖形就馬上會想到結論。下面我們再看看在實際中的應用。

二、蝶形的應用

例題1：如圖2，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E。

分析：而這個問題如果和我們的碟形聯系起來，只要連接CD，這樣ABCD四個點就能構造一個蝶形，把五個角的和轉變成了求三角形DCE的內角和。問題得到了極大地轉變。

例題2：如圖3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F。

分析：蝶形的應用不僅僅可以用來在三角形當中進行應用，在其他的圖形當中也應用非常廣泛。這里連接CE，這樣ABCE四個點也構成了一個蝶形，這樣就把原來六個角的和轉變成了一個四邊形CDEF的內角和進行處理。

例題3：如圖4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E。

分析：這里只要腦中有蝶形的結論，把CD連接，BECD四點就構造了一個蝶形，這樣原來五個角的和轉變成了只要求三角形ACD的內角和的問題。

例題4：如圖5，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F六個角的和。

圖5 圖6 圖7

分析：圖中連接ED，就可以由ABCE構造了一個蝶形，這樣問題就轉化為求四邊形CDEF的內角和。

三、蝶形的拓展

蝶形不僅僅在角度求和當中應用廣泛，在角度轉換中作用非常重大。

例題5：如圖6，已知DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，求證：∠C=2∠E-∠A

分析：如果這里應用蝶形，同時利用代數知識會得到非常巧妙地解答。

蝶形實現了角度和之間的轉換。同時在證明三角形全等當中，為全等創造角相等的條件也非常有幫助。

例題6：如圖7：AB=AC，AD=AE，BD=CE，BD與CE相交于點G。求證：∠CAB=∠EAD=∠BGC。

分析：這里可以利用三角形全等的判定定理SSS，證明⊿ABD≌⊿ACE，得出

∠B=∠C，∠E=∠D，這里如果利用蝶形的結論，就可以得到：

∠B+∠CAB=∠C+∠BGC，∠E+∠EAD=∠D+∠DGE，于是可以得出：∠CAB=∠BGC，∠EAD=∠DGE，又因為：∠BGC=∠DGE，所以我們可以得到∠CAB=∠EAD=∠BGC。

這里可以看到如果學生頭腦中對基本圖形有一個形象上的認識，同時加強對圖形的理解，那么在數學當中很多地方可以找到它的蹤影。

數學有時看起來比較枯燥，其實如果能夠找一些形象的比喻，讓學生頭腦中一個形象記憶，同時不斷挖掘它的用途，慢慢地數學的趣味性就加強了，學生的興趣也慢慢提高了。

當然數學當中還有很多基本圖形，在具體教學中，我們老師如果能夠多用一些形象的比喻，讓學生能在頭腦中形象記憶一些數學的基本概念或者基本圖形，那么學生會更加的喜歡數學。