對一節概念教學課的思考

江薇

[摘要]數學概念是數學知識的重要組成部分.概念課的教學要從概念的引入、抽象、辨析和延伸幾個方面進行，這樣才能讓學生對概念形成完整的認識.

[關鍵詞]數學概念；教學；思考

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05001402

數學本身就是抽象的科學，數學概念就是抽象的結果.高中數學知識點多，數學概念多.要學習數學，會學數學，學好數學，首先應該從學習概念入手.

概念課比較重要，但是教師要把握好一節概念課并不容易.原因是有的數學概念太抽象.教師認為比較簡單的概念，學生卻比較難理解.下面我以高一《平面向量的數量積的物理背景及其含義》為例，談談對高中概念課教學的一點思考.

教材中向量的數量積的知識共有4部分內容：定義、性質、運算律和應用.總共是安排2個課時完成.我是將向量數量積的定義、性質、運算律的教學都集中在同一課時里，目的是通過這樣一節課，讓學生對數量積知識的產生與發展能有一個較完整的認識.

一、創設情境，引導學生參與概念的形成過程

對于學生而言，平面向量的數量積是一個全新的知識.知識本身比較抽象，學生常常用死記硬背的方法來學習.如果學生對知識沒能理解透徹，學習的效果不佳，還會產生畏學的情緒.

我通過還原知識產生的背景來引入概念，拉近學生與概念之間的距離，以此來消除學生對知識的恐懼.我選擇了一幅物理中力做功的圖形作為這節課的開場.一個向右上方的力F，與水平面的夾角為θ，其在向右方向上產生了位移，那么力F在位移s方向上的功是多少？借助電腦動畫演示，將力分解成向上和向右的分力，向右的分力在力的方向上做功，得到W=Fscosθ.提出問題：F是什么量？s是什么量，W又是什么量？目的是為了強調F、s是矢量，但矢量乘積的結果卻是標量的事實.這就是向量的數量積產生的實際背景.但又不能僅停留在例題本身，于是我接著將W=Fscosθ中的F，s換成向量a，b，向量的夾角為θ，抽象出向量數量積的概念.在概念的引入過程中，學生不僅感受到知識產生的背景，還能體會概念抽象的過程，使新概念在原有知識基礎上自然得到同化和順應.

二、讓概念的學習進一步精確

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式.對于概念的學習，我們往往要咬文嚼字才能更精確

地理解概念的內在含義.數量積的概念看似簡單，兩個非零向量a，b，我們把|a||b|cosθ叫作

a

與b的數量積（或內積），記作a·b .實則不然，從表象結構看，有兩點要提醒學生注意：1.數量積的結果是數量；2.中間的點不能省略也不能改成“×”（乘號）（這里體現了數學符號的特定含義）.在教學過程中，我讓學生口述，并用電腦演示出作圖的過程，用不同顏色的線條加以區分，使他們先形成感性認識，進一步追問：“投影是向量還是數量？投影一定是正數嗎？”促使他們進一步從理性的角度去分析各種各樣的情形，從一般再到特殊，最后將可能出現的結果在電腦屏幕上用框圖的形式分類歸納出來，使學生逐漸形成對投影的完整認識.

由學生口述投影的做法，是讓學生根據投影的定義作圖，考查其對投影定義的理解.這節課重點是向量的數量積，它是一個既有方向又有大小的量參與的一種運算，是學生新學習的一個知識，所以要不斷強化向量及數量積的特征.在學生明確特征之后，他們才會從向量的特征——大小和方向入手去思考問題.

經歷了從外在結構認識定義，到感性作圖，理性思考，歸納出內在特征的過程，學生才能對數量積的概念有一個比較全面的認識.

三、進行概念的辨析，讓學生加深印象

在概念教學中，可以將滿足概念的條件特殊化，設計出相應問題讓學生思考.例如，如果將兩個特殊的向量進行數量積運算，那么有怎樣的結果？

最容易想到的特殊向量是零向量.由于零向量方向是任意的，所以要隨后補充規定：0·a=0.

如果兩個非零向量進行運算，是否也有特殊的結論？對非零的情況展開討論.因為向量是具有大小和方向的量，所以在考慮特殊關系時自然是沿著兩個向量的大小和位置關系進一步探究：1.模相等的情形；2.從方向上考慮，共線同向與共線反向的情形；3.模和方向都相同的情形.

得到非零向量的特殊結論：a⊥b

a·b

=0.當a與

b同向時，a·b

=|a||b|；當a與b反向時，a·b=-|a|·

|b|.特別的，a·a=a2=

|a|2

或|a|=

a·a=a2

.

這樣設計問題，一方面讓學生能夠熟練應用概念；

另一方面所得到的結論可以更好地為解題服務.

為了讓學生能更好地鞏固知識，可以再用一些特殊的例子進行辨識.

例如，以下結論成立嗎？

（1）0·a=0；

（2）0·a=0；

（3）（a·b）2=a2·b2；

（4）a與b是兩個單位向量，則a2=b2；

（5）若a≠0，且a·b=0，則b=0；

（6）若a·b=b·c，則a=c；

（7）若a⊥（b-c），則a·b=a· c；（8）a·a·a=a3.

四、向外延伸概念，建立與其他知識之間的聯系

與數量的乘法運算律類比、猜想、論證向量數量積的運算律.這里面包括乘法交換律、乘法結合律和乘法分配律.

以乘法結合律為例，剛開始所有的學生都將乘法結合律的結論類比成

（a·b）·c=a·（b·c）

.但很快通過數量積的結果是數量，就能判斷出結論錯誤.進一步調整思路，將其中的一個向量換成數量的結合律，即

（λa）·b=λ（a·b）=

a·（λb）

能否成立.

（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）

的證明是這節課的難點之一.證明的時候要考慮到λ的符號，要對λ進行分類討論.但是λ的分類也不能一開始就分，學生會提出疑問：你為什么會知道要分類，你按什么標準分類的？因此在這個環節中，可以跟著學生的思路先將第一個等號的兩邊分別按照數量積的定義展開，直到

（λa）·b

=|λa||b|

cosθ1=

|λ||a|

|b|cosθ1，

λ（a·b）

=λ|a||b|

cosθ2這一步，化簡不了，才回頭考慮其中的θ1、θ2兩個夾角一樣嗎，兩個夾角的含義分別是什么，它們有什么關系，這樣才發現導致它們相等或者互補的量是λ，這時才對λ進一步分類.逐步完善對運算律的證明.

類比法是學生比較喜歡的一種方法，這種思想方法比較容易上手，有目標有方向，容易發現知識之間的異同，而且使人印象深刻，易將所學概念納入已有的認知結構中，形成具有聯系的概念體系.

我認為數學知識的發生、發展過程與一個概念的發生、發展過程有著許多相似之處.一節概念課的學習可以給學生做出示范，學習如何接受一個新知識，如何將新知識與其他知識產生關聯，從而組成一個知識的網絡.

（責任編輯黃桂堅）