厘清功能概念巧用規律解題

焦健生

[摘要]“機械能守恒定律”一章概念多、規律多，怎樣復習好呢？利用思維導圖將零散的知識結構化和系統化是一種可行的方法，這種方法便于學生理解、記憶和應用。

[關鍵詞]思維導圖；問題串；思維提升

[中圖分類號]G633.7[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05003704

“機械能守恒定律”一章中的功能觀點是解決物理力學問題的三大“法寶”之一，也是歷年高考中重點考查的規律之一。高考中，涉及功能概念或規律的試題，既可在選擇題中出現，又會在綜合性的計算題中出現，題目設置為多過程的恒力作用、變力作用、臨界分析等運動情景問題，綜合性比較強。

這部分內容主要有功、功率、動能、勢能、機械能、內能等基本概念，以及功能關系，特別是動能定理、能量守恒（包括機械能守恒）定律，物理模型包含直線運動和曲線運動，運動形式有斜面、圓形軌道、傳送帶等，連接方式有彈簧、繩、桿等。

為了將這部分知識串聯起來，形成知識網絡，同時將思維的過程可視化，筆者結合思維導圖復習這部分內容。如“思維導圖一”所示為這部分的三大塊重點內容：基本概念、功能關系和能量守恒。

一、功能概念

這部分內容涉及的概念主要有：功、功率、動能、勢能、機械能，其知識串如“思維導圖二”所示，復習時可采用“先總、后分、再總”的方法建構知識網絡。同時可設置遞進式問題，讓學生厘清基本概念。

1.關于功

掌握有關功兩個方面的知識：一是會判斷常見的力，如彈力、摩擦力，作用力、反作用力等做功的正負；二是會計算物體所受某個力、合力的功，這些力可能是恒力，也可能是變力。

問題串：功的定義、公式是什么？正功、負功的含義是什么？列舉彈力和摩擦力做正功和負功的情況；弄清作用力與反作用力做功的大小和正負。

【隨堂例題1】如圖1所示，質量為m的小球用長為L的輕繩懸掛于O點，用水平恒力F拉著小球從最低點運動到使輕繩與豎直方向成θ角的位置，求此過程中，各力對小球做的功及總功。

思維提升

（1）在求力做功時，要明確是求某個力的功，還是求合力的功；是求恒力的功，還是求變力的功。

（2）恒力做功與物體運動的路徑無關，等于力與物體在力方向上的位移的乘積。

（3）變力做功，要考慮應用動能定理或將變力做功轉化為恒力做功進行求解。

解析：小球在F方向的位移大小為Lsinθ，方向與F同向，則WF=FLsinθ；

小球在重力方向的位移大小為L·（1-cosθ），方向與重力反向，則WG=-mgL（1-cosθ）；

繩的拉力FT時刻與運動方向垂直，則WFT=0；

故W總=WF+WG+WFT=FLsinθ-mgL（1-cosθ）。

【注意點】本題中小球所受的合力為變力，不能直接用功的公式求合力的功，而應轉化為求各個力做功之和。

2.關于功率

相關重點知識：兩個公式的區別和應用，即P=W/t是求平均功率，而公式P=Fvcosα，既能求瞬時功率，也能計算平均功率。若v是瞬時值，則求出的功率是瞬時值，若v是平均值，則求出的功率是平均值。

問題串：功率的定義、物理意義及相關公式分別是什么？兩個公式有何不同？若F和v的方向不在一條直線上，如何求這個力的瞬時功率？對機車以額定功率啟動和以勻加速啟動兩種情況，應分別分析機車的受力情況和運動情況。

【隨堂例題2】如圖2所示，物體受到水平推力F的作用，在粗糙水平面上做直線運動。監測到推力F、物體速度v隨時間t變化的規律如圖2所示。取g=10m/s2，則（）。

A.第1s內推力做功為1J

B.第2s內物體克服摩擦力做的功為W=2.0J

C.第1.5s時推力F的功率為2W

D.第2s內推力F做功的平均功率P=1.5W

解析：第1s內物體保持靜止狀態，在推力方向上無位移，故做功為零，A錯；由圖像知第3s內物體做勻速運動，F=2N，故F=Ff=2N，由v-t圖像知第2s內物體的位移x=12×1×2m=1m，第2s內物體克服摩擦力做的功W=Ff·x=2.0J，B對；第1.5s時物體的速度為1m/s，故推力的功率為3W，C錯；第2s內推力F=3N，推力做的功為WF=F·x=3.0J，故第2s內推力F做功的平均功率P=WF/t=3W，故D錯。正確答案為B。

思維提升

本題要從F-t圖像推出質點的運動情況及F的做功情況。區分平均功率和瞬時功率，以及明確瞬時功率的求法，這些是解決本題的關鍵。

對機車啟動問題，應注意弄清機車的啟動方式，是以恒定功率啟動，還是以恒定加速度啟動。要解決好這類問題要抓住下面三個重要關系式。

（1）機車的速度達到最大時，牽引力Fmin最小，其值等于阻力Ff，即vm=P/Ff。

（2）機車以恒定加速度啟動時，要注意勻加速階段速度的最大值，此時機車的功率達到額定功率。

（3）機車以額定功率啟動時，常用動能定理：Pt-Ff·x=ΔEk來求解機車以恒定功率啟動過程中的位移大小或時間。

【隨堂例題3】水平面上靜止放置一質量為m=0.2kg的物塊，固定在同一水平面上的小型電動機通過水平細線牽引物塊，使物塊由靜止開始做勻加速直線運動，2秒末達到額定功率，其v-t圖線如圖3所示，物塊與水平面間的動摩擦因數為μ=0.1，g=10m/s2，電動機與物塊間的距離足夠遠。求：

（1）物塊做勻加速直線運動時受到的牽引力大小；

（2）電動機的額定功率；

（3）物塊在電動機牽引下，最終能達到的最大速度。

解析：（1）由題圖知物塊在勻加速階段加速度大小a=Δv/Δt=0.4m/s2。

物塊受到的摩擦力大小Ff=μmg，設牽引力大小為F，則有：F-Ff=ma，得F=0.28N。

（2）當v=0.8m/s時，電動機達到額定功率，則P=Fv=0.224W。

（3）物塊達到最大速度vm時，物塊所受的牽引力大小等于摩擦力大小，有F1=μmg，

P=F1vm，解得vm=1.12m/s。

【注意點】本題需要將物塊的實際運動情況與其運動的v-t圖像一一對應起來，即數形結合，特別要進行受力分析、狀態分析、過程分析和臨界分析。

思維提升

（1）機車啟動的方式不同，則其運動的規律就不同，涉及的物理量（如功率、速度、加速度、牽引力）就不同。

（2）機車在額定功率下的運動是變加速直線運動，機車牽引力做的功用W=Pt計算，因為F是變力，所以不能用W=Fl計算。

（3）機車以恒力加速運動的過程中，其功率不斷增加，但因F是恒力，所以可用W=Fl計算牽引力的功，因為功率P是變化的，也就不能用W=Pt計算。

3.關于能

理解動能、重力勢能、彈性勢能、機械能、內能的物理意義及公式，其中不要求用彈性勢能公式進行計算。

問題串：試區分動能、重力勢能、彈性勢能、機械能、內能；它們各自的大小由什么決定？表達式是什么？

【隨堂例題4】如圖4所示，輕彈簧豎立在地面上，正上方有一鋼球，從A處自由下落，落到B處時開始與彈簧接觸，此時向下壓縮彈簧。小球運動到C處時，彈簧對小球的彈力與小球的重力平衡。小球運動到D處時，到達最低點。不計空氣阻力，以下描述正確的有（）。

A.小球由A向B運動的過程中，小球的機械能減少

B.小球運動到C時，小球的動能最大

C.小球由B向C運動的過程中，小球的重力勢能減小，彈簧的彈性勢能增加

D.小球由C向D運動的過程中，小球的重力勢能減少

解析：小球由A向B運動的過程中，做自由落體運動，加速度等于豎直向下的重力加速度g，處于完全失重狀態，此過程中只有重力做功，小球的機械能守恒，A錯誤；小球由B向C運動的過程中，重力大于彈簧的彈力，加速度向下，小球處于失重狀態，小球和彈簧組成的系統機械能守恒，彈簧的彈性勢能增加，小球的重力勢能減少，由于小球向下加速運動，小球的動能還是增大的，B正確，C錯誤；小球由C向D運動的過程中，彈簧的彈力大于小球的重力，加速度方向向上，處于超重狀態，彈簧繼續被壓縮，彈性勢能繼續增大，小球的重力勢能繼續減小，D正確。故答案為B、D。

【注意點】弄清小球的受力情況和運動情況是解決本題的前提，明確各種能量的影響因素是最終解決問題的關鍵。如，本題中小球在C點時重力和彈力平衡，此時加速度a=0，速度達到最大值。

二、功能關系

功是能量轉化的量度，具體的功能關系可見“思維導圖三”，其中最常用的就是動能定理。

問題串：在利用功能關系解題時，應注意引導學生有序思考問題。研究對象是什么？其受力情況和各力做功情況是怎樣的？能量改變對應的是哪些力做的功？

【隨堂例題5】如圖5所示，一固定斜面傾角為30°，一質量為m的小物塊自斜面底端以一定的初速度，沿斜向上做勻減速運動，加速度的大小等于重力加速度的大小g 。若物塊上升的最大高度為H，則此過程中，物體塊的（）。

A.物體的重力勢能增加了mgH

B.物體的動能減少了FH

C.物體的機械能增加了FH

D.物體勢能增加量小于動能的減少量

解析：運動過程中有摩擦力做功，考慮動能定理和功能關系。物塊以大小為g加速度沿斜面向上做勻減速運動，運動過程中F合=mg，由受力分析知摩擦力Ff=12mg，當上升高度為H時，小物塊的位移x=2H，由動能定理得ΔEk=-2mgH；由功能關系知ΔE=Wf=-12mgx=-mgH，選項A、C正確。

【注意點】本題考查了“功是能量轉化的量度”的具體含義，尤其是機械能的變化，應立即聯想到除重力外其他力做的功。

思維提升

求解一個問題往往有兩個途徑，一是直接求，二是間接求，顯然本題間接求更快捷，如題中要求機械能的變化，只要看除重力以外的其他力做功的多少。

動能定理是解決力學問題常用的規律，思考過程為：確定研究對象，明確研究對象的運動過程，分析物體的受力，特別是有變力參與的情況，分析各力的做功情況，及初末態的速度，最后用動能定理列式求解。

【隨堂例題6】如圖6所示，傳送帶A、B之間的距離為L=3.2m，與水平面間夾角θ=37°，傳送帶沿順時針方向轉動，速度恒為v=2m/s，在上端A點無初速度放置一個質量為m=1kg、大小可視為質點的金屬塊，它與傳送帶的動摩擦因數為μ=0.5，金屬塊滑離傳送帶后，經過彎道，沿半徑R=0.4m的光滑圓軌道做圓周運動，剛好能通過最高點E，已知B、D兩點的豎直高度差為h=0.5m（取g=10m/s2）。求：

（1）金屬塊經過D點時的速度大小；

（2）金屬塊在BCD彎道上克服摩擦力做的功。

解析：（1）對金屬塊在E點有mg=mvE2/R，解得vE=2m/s；

在從D到E的過程中，由動能定理得：

-mg·2R=12mv2E-12mv2D，

解得vD=25m/s。

（2）金屬塊在傳送帶上運行時有，mgsinθ+μmgcosθ=ma1，解得a1=10m/s2。

設經位移x1金屬塊與傳送帶達到共同速度，則v2=2ax1，解得x1=0.2m<3.2m。

繼續加速過程中mgsinθ-μmgcosθ=ma2，解得a2=2m/s2；

由v2B-v2=2a2x2，x2=L-x1=3m，

解得vB=4m/s；

在從B到D的過程中，由動能定理得：

mgh-Wf=12mv2D-12mv2B，解得Wf=3J。

【注意點】解決本題的關鍵是判斷金屬塊在傳送帶上所受摩擦力與其運動狀態的關系，另外金屬塊在彎道上所受摩擦力是變力，變力的功要用動能定理來求解。

思維提升

解決多過程問題應優先考慮應用動能定理，從而使問題得到簡化。

（1）只涉及F、l、m、v、W、Ek而不涉及時間t的多過程問題。

（2）有多個過程，但不需要考慮全過程中的中間態的問題。

（3）求變力做的功。

三、能量守恒

能量守恒定律是貫穿物理學的基本規律，是各種自然現象中普遍適用的一條規律。其表達式有兩種：（1）E初=E末，初狀態各種能量的總和等于末狀態各種能量的總和。（2）ΔE增=ΔE減，增加的那些能量等于減少的那些能量。機械能守恒是能量守恒中的一種守恒形式，正是只有系統中機械能不變，所以不應有其他形式的能“參與”進去，因此，機械能守恒是有條件的。復習時可參照“思維導圖四”來建構知識。

問題串：用能量守恒解決問題時，應明白研究對象是單個物體，還是由多個物體組成的系統。能量守恒需要條件嗎？機械能守恒呢？若需要條件，條件是什么？機械能守恒的表達式是什么？

【隨堂例題7】如圖7所示，在同一豎直平面內，一輕質彈簧一端固定，另一自由端恰好與水平線AB平齊，靜止放于傾角為53°的光滑斜面上。一長為L=9cm的輕

質細繩一端固定在O點，另一端系一質量為m=1kg的小球，將細繩拉至水平，使小球在位置C由靜止釋放，小球到達最低點D時，細繩剛好被拉斷。之后小球在運動過程中恰好沿斜面方向將彈簧壓縮，最大壓縮量為x=5cm（g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）。求：

（1）細繩受到的拉力的最大值；

（2）D點到水平線AB的高度h；

（3）彈簧所獲得的最大彈性勢能Ep。

解析：（1）小球由C到D，由機械能守恒定律得：

mgL=12mv21，解得v1=2gL①

在D點，由牛頓第二定律得F-mg=mv21L②

由①②解得F=30N。

由牛頓第三定律知細繩所能承受的最大拉力為30N。

（2）由D到A，小球做平拋運動v2y=2gh③tan53°=vyv1④

聯立③④解得h=16cm。

（3）小球從C點到將彈簧壓縮至最短的過程中，小球與彈簧組成的系統的機械能守恒，即Ep=mg（L+h+xsin53°），代入數據得：Ep=2.9J。

【注意點】本題關鍵要弄清三個問題：（1）小球運動到什么位置時，對細繩拉力最大？（2）小球恰好沿斜面方向壓縮彈簧，說明小球的速度沿什么方向？（3）彈性勢能最大時，小球速度為多少？

思維提升

本題的物理過程較為復雜，小球參與了圓周運動、平拋運動、變速直線運動，另外還有彈簧參與，是一道綜合性較強的題目。題中不涉及摩擦阻力和空氣阻力做功，只有重力和彈簧彈力做功，可選擇能量守恒（包括機械守恒）定律求解。

四、綜合應用

“機械能”一章還涉及滑動摩擦力做功產生熱量的多個動力學問題和能量問題的綜合。在有滑動摩擦力相互作用的系統內，一部分機械能在相互摩擦的物體間轉移，另外一部分機械能轉化為內能，摩擦產生的熱量的計算公式：Q=Ff·s相對。其中s相對為相互摩擦的兩個物體間的相對位移，若兩物體同向相對運動，則相對位移是兩物體的位移差值，反之，若兩物體反向相對運動，則相對位移是兩物體的位移大小之和。

這類問題往往是傳送帶傳動模型或滑塊在木板上滑行的模型，其思維過程如“思維導圖五”。

【隨堂例題8】如圖8所示，質量為m=1kg的滑塊，在水平力作用下靜止在傾角為θ=30°的光滑斜面上，斜面的末端B與水平傳送帶相接（滑塊經過此位置滑上傳送帶時無能量損失），傳送帶的運行速度為v0=3m/s，長為l=1.4m；今將水平力撤去，當滑塊滑到傳送帶右端C時，恰好與傳送帶速度相同。滑塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.25，g取10m/s2。求：

（1）水平作用力F的大小；

（2）滑塊下滑的高度；

（3）若滑塊滑上傳送帶時速度大于3m/s，滑塊在傳送帶上滑行的整個過程中產生的熱量。

解析：（1）滑塊受到水平力F、重力mg和支持力FN作用處于平衡狀態，水平力F=mgtanθ，F=1033N。

（2）設滑塊從高為h處下滑，到達斜面底端速度為v，下滑過程中機械能守恒mgh=12mv2，得v=

2gh

。若滑塊沖上傳送帶時的速度小于傳送帶速度，則滑塊在傳送帶上由于受到向右的滑動摩擦力而做勻加速運動；根據動能定理有μmgL=12mv20-12mv2，則h=v202g-μL，代入數據解得h=0.1m。

若滑塊沖上傳送帶時的速度大于傳送帶的速度，則滑塊由于受到向左的滑動摩擦力而做勻減速運動；根據動能定理：-μmgL=12mv20-12mv2，則h=v202g+μL，代入數據解得h=0.8m。

（3）設滑塊在傳送帶上運動的時間為t，則t時間內傳送帶的位移x=v0t，mgh=12mv2，v0=v-at，μmg=ma，滑塊相對傳送帶滑動的位移Δx=L-x，相對滑動生成的熱量Q=μmg·Δx，代入數據解得Q=0.5J。

【注意點】解答本題的突破口一是判斷滑塊滑上皮帶后做什么運動，二是滑塊和皮帶間的相對位移怎么計算。

思維提升

本題綜合應用了牛頓運動定律、動能定理、機械能守恒、能量轉化與守恒，要特別注重對物體進行運動過程分析和受力分析，同時還要注意對臨界狀態進行分析，再根據已知條件，巧妙選用規律列方程解決問題。

（責任編輯易志毅）