例談復習教學中的整體性層次設計

☉江蘇省張家港市沙洲中學 袁 霞

眾所周知，數學復習教學是整個中學數學教學的重點和難點.從復習教學的方式和難度來看，教師往往找不到合適的方法、典型的手段、揭示數學本質的試題，這導致數學復習教學效率較低.從復習教學的現狀來看，其效率不高的主要因素有三：第一，復習教學沒有針對性，往往泛泛而教，不少復習教學就是不斷地用一張一張的訓練卷替代了復習，低效而辛苦；第二，復習教學沒有層次性，缺乏思考，為了講題而講題，沒有區分度，也沒有目的性；第三，復習教學需要整合性，缺乏整合性的、零散的復習教學自然是低效的.鑒于這些因素，筆者以往后續復習教學需要做出符合學情的設計、試題的挖掘、改編，做出合理的、有層次的、有針對性的復習教學設計，為學生提供高效的教學效果.

一、復習教學整合設計

整合是復習教學的第一原則.從復習教學的設計來看，我們不能將知識割裂復習，這樣會導致復習的零散、知識點的孤立和單一，因此，筆者以往的復習教學設計都關注知識的連貫性和整合性，這樣才能讓學生從整體的視角審視所復習的知識的重要性和整體理解.比如以《曲線和方程》一節為例，不難發現大多數教師對其的復習沒有整體性的掌握，只是將概念羅列一下，給出幾個沒有相關性的問題讓學生做一做，這樣的教學是浮于表面，沒有深刻性的.筆者是這樣理解曲線和方程復習的整體性掌握的，給出復習教學整體性的設計思路，如下：

設計1：橢圓中心在原點，一個焦點是F（-1，0），求這一類橢圓中與直線l：2x-y+3=0有公共點且離心率最大的橢圓方程.

設計2：圓方程x2+y2=10，若弦BC的中點求該弦所在直線方程.

設計3： 求橢圓2x2+y2=1上的點到直線距離的最值.

設計4：設F1，F2分別為橢圓的左，右焦點，點A，B在橢圓上，若則點A的坐標是____________.

設計說明：曲線和方程對于學生而言是什么？其實，教師都知道，學生根本對其不甚理解.原因很簡單，這一概念在考查中并不是以概念的形態考查進行，而是更多地融入在其他知識中整合性的考查，導致教師本身也對其了解不多，不夠重視.筆者給出了四個問題的設計，對本課進行了復習，來看一看這四個問題設計有什么作用：

設計1的作用：何為曲線的方程？方程的曲線？這是這一知識的基本概念.可以這么說，學生對這一概念本身就是茫然的，通過設計1，旨在暗示學生，公共點在曲線上，公共點自然滿足曲線橢圓的概念，即兩段焦半徑之和為定值.這恰是曲線的方程復習的第一要素：從代數上理解了第一層面，即曲線上的點是方程的解，從幾何上理解了第二層面，即曲線上的點需要滿足曲線定義，思考視角——曲線橢圓的定義.給出部分簡解：記右焦點Q（1，0），本題只要解決F（-1，0）關于直線l：2x-y+3=0的對稱點P，從而最小的2a=|PQ|.

設計2的作用：以圓為背景設計的本題，很自然地將問題解決的方式融入其中，學生思考方程的曲線有沒有特殊性？是圓還是橢圓？還是雙曲線？本題是圓，如何用特殊曲線的角度思考——自然是圓的幾何性質，從初中到高中，圓是學生接觸的最早的圓錐曲線，自然對其的幾何性質了解更多，利用垂徑定理、弦心距三角形獲得幾何方式的解決方案；從一般性的角度來說，曲線形態更為一般化是否具備解決途徑？比如，橢圓、雙曲線，還能這樣處理嗎？例如，橢圓方程2x2+y2=1，若弦BC的中點），求該弦所在直線方程.顯然不行，利用點差法是可行的.因此曲線和方程復習的第二要素：關注曲線形態，利用曲線性質，思考視角——不同曲線上點的處理方式.

設計3的作用：本題對于學生而言，思路較為直觀，其很自然能體會到相切位置的狀態.這樣的解決方式回到了曲線上切點的代數處理方式——判別式等于零，思維含量低、運算量大；曲線上的點滿足曲線方程，也可以有別樣的運用方式，這里考慮點的不同坐標形態——三角形態，令，利用點到直線的距離公式結合三角知識可求得.因此曲線和方程復習的第三要素：關注曲線上的點坐標形態的多樣性，滿足方程的解都在曲線上，思考視角——滿足曲線上的點的不同坐標形態.

圖1

設計4的作用：本題是高考真題，觀察圖1，我們發現最大的困難是如何解決點的運用方式？這里提出了對曲線上點的運用新的思考.回想向量們就不難想到橢圓的對稱性，以保障在同一直線狀態下運用韋達定理，從而獲得解決.因此曲線和方程復習的第四要素：關注曲線的幾何性質，如對稱性等，使得點的問題解決獲得更簡潔的處理，思考視角——滿足方程的點在曲線上的對稱性.給出簡解：設直線AF1與橢圓的另一個交點為B1，設點A的坐標為（x1，y1），點B1的坐標為（x2，y2），由圓對稱性，可得|F1A|=5|F1B1|，得y1=-5y2.設直線AF1為x=y-1=0，由所以（故點A的坐標是（0，±1）.

說明：本案例描述的是對于某一知識點進行的整合性復習教學，其完全屬于教師自主開發的復習教學專題，這樣專題的開發，大大濃縮了教學的精華，將復習教學不再是就題論題式的訓練，而是完全融入了知識點和更高層次的設計，既有點在曲線上最基本的理解——定義運用，也有點在曲線上的變化——性質的使用，更有曲線形態的思考——對稱性等，這都是曲線和方程的深度復習教學設計，將知識的整合性完美融合，體現了復習教學的高效.

二、復習教學解法設計

復習教學離不開解題，更要從問題的解決中收獲知識運用的方方面面，體會方法運用的合理性，這都需要教師對于解法的特別關注.如何在解題中也體現整體性的層次設計呢？這里首先需要選擇合適的數學問題，一個優秀的問題，自然有不同的解法，不同的解法反映了學生不同的解決能力，體現了解決問題的整體性層次，有助于學生開拓解決問題的思路，獲得更多的解題經驗.

例題：在平面直角坐標系中，A、B分別是x軸和y軸上的動點，若AB為直徑的圓C與直線2x+y=0相切，則圓C面積的最小值為____________.

分析：本題改編自高考真題江西卷，解決本題的方式方法多種多樣，但是不同的學生能體會的是不同的解法，教師的作用在于層層遞進式的引導學生思考問題解決的層次性，體會多角度思考、多角度知識的運用、發散思維的培養，獲得知識的整體性.

解法1：從到定直線距離等同于到定點距離這一視角出發，我們自然發現這里考查的是拋物線的定義，這是每一個學生都應該思考的點，因此問題可以這樣解決：由已知得點C的軌跡為以O為焦點，直線2x+y-4=0為準線的拋物線，所以將問題轉化為求拋物線上的點到焦點的距離的最小值.如圖2，設原點O到直線2x+y-4=0的距離為d，則d，點C到直線2x+y-4=0的距離是圓的.對定義的理解，是問題解決的第一種正規思維，體現了基礎性.

圖2

圖3

解法2：不少學生對于定義的理解是標準形態下的，其沒有深刻理解到定義的博大精深，其運用代數化的方式求解軌跡，因此教師從整體性的角度給予指導：由已知得點C（x，y）的軌跡方程是化簡整理得x2+4y2-4xy+16x+8y-16=0，所求的問題，將轉化為求曲線E上的一點到直線2x+y-4=0的距離最小值，此時只須將直線2x+y-4=0向曲線E平移，當與曲線E相切時，切點P（x0，y0）到直線2x+y-4=0的距離就是半徑r的最小值.如圖3，設切線方程為2x+y+t=0，由消去y0得28t-16=0，由于相切，所以Δ=（20t）2-4×25×（4t2-8t-16）=0，解得t=-2，此時從而得到等式r=min

解法3：對于圓來說，代數化的方式并非是最完美的解決方式，其有更為高效的方式——幾何.從初中到高中，圓是研究的最多的圓錐曲線，因此我們從整體性理解的角度設計解法3，讓學生站在更高的視角思考問題的解決.設圓C與直線2x+y-4=0相切于點P，則由已知得圓C過點A、B、O、P，且有CP垂直于直線2x+y-4=0，如圖4，顯然當O、C、P三點共線時圓C半徑取最小值，此時點O到直線2x+y-4=0的距離是圓C的直徑.

圖4

說明：本題還有其他兩種的解法，限于篇幅，筆者不再贅述了.從這里常規的三種解法來思考，不同層次的學生有不同的思考，但是教師在教學中要考慮到學生知識的整體建構，因此一題多思是必要的，幫助學生整體的把握問題解決的方式方法，這種復習教學解題方面的典型設計必不可少.

本文從復習教學最典型的兩個角度，結合案例談了自身的一些設計和想法，考慮到解題的整體性注重的是一題多思、多解，教學的整體性設計注重的是問題選擇后帶給學生知識的層次性、啟發性，久而久之，學生的數學能力會有質的飛躍，限于才疏學淺，更多的設計請讀者批評指正.

參考文獻：

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