高三數學復習階段有效作業的教學思考

☉安徽省黃山市休寧中學 甘錦丹

促進學生理解與應用所學知識與方法的作業環節在高三數學復習階段是至關重要的，每一次作業對于學生是否都能起到很好的效果是廣大高三教師都應該考慮的問題，筆者結合圓錐曲線定義與方程這一內容的作業布置和反饋對有效作業的教學進行了詳細的思考.

一、教學過程

1.意外錯題

筆者為了引導學生在復習圓錐曲線的定義與標準方程時能夠更好地回歸教材而設計了一道題目，原題是高二年級數學課本上的例題：已知橢是F1、F2，橢圓上有任意一動點P，且∠F1PF2是鈍角，則P點橫坐標的取值范圍怎樣？筆者根據這一例題要求學生對題中的條件與結論進行自主變式編題，有學生這樣設計：將∠F1PF2變成120°，求△F1PF2的面積S.

學生給出這一變式之時已接近下課，筆者對于學生給出的角的度數略作思考之后就將此題作為課后作業布置給了學生，但筆者課后反思之時又很快發現學生給出的120°對于∠F1PF2是取不到的，基于考驗學生的目的，筆者并沒有采取任何補救措施.

2.觀察學生解題

第二天的作業檢查中大部分學生的解題如下：

∠F1PF2=120°?|PF1|2+|PF2|2-2|PF1·||PF2|cos120°=4c2=20.

又|PF1|+|PF2|=6

?（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1·||PF2（|1+cos120°）=20

?36-|PF1·||PF2|=20

?|PF1·||PF2|=16

學生的這一解題思路是很難發現這一數據問題的，筆者對于學生的錯誤沒有特別指明，而是引導學生從正反兩個方面重新對此題進行了辨析.

又|PF1·|3時等號成立，所以，即當點P是短軸端點時∠F1PF2取最大值，因此，∠F1PF2=120°是取不到的.

生2：算出△F1PF2的面積以后，我也發現有問題，因為顯不對了.

教師面對學生錯誤時候的“不作為”對于學生來講并不是全無價值的，學生在這樣一個經歷中也得到了應帶著質疑去學習的啟示，看似浪費時間的這一錯誤處理也使學生培養出了深入思考問題的意識.

3.巧妙變題

筆者在學生因為這一變故而產生的思考中順勢又拋出問題：大家還能在這一題目的基礎上變換出其他的問題嗎？

師：很好，現在大家對于∠F1PF2的范圍這一問題不會輕易忽視了，那么，大家能結合學生3的變題再設計出開放式的問題嗎？

師：提問方式、思考角度與方式的不同往往會將問題變成完全不一樣的題目，還有其他變法嗎？

師：太好了，具體問題推廣得出了一般的命題或結論.

生6：已知△F1PF2的面積是4，求θ=∠F1PF2的值，

師：這是逆向思維所作出的變式，現在一些高考題也會這樣命題.

學生變題遠不止這么幾條，此處不再一一贅述.

師：大家在第一位同學的變式基礎上編出了這么多的好題，這些具有研究價值的題目是我們同學勇于思考、善于思考的結果，我們同學在今天課堂上研究出的這些題目正是我們今天的課后作業，下節課還會對我們同學的解題情況進行交流.

學生的思維在教師的引導中盡情翱翔并展現出了很好的成果，這些題目的出現也說明我們學生對知識的本質以及問題的核心已經有了很好的理解與把握.

4.知識遷移

師：我們在剛才這一題目的討論中已經對橢圓展開了細致而深入的學習，大家是否能從剛才的這種學習中學會雙曲線與拋物線相關問題的類比和探究呢？

師：在橢圓中我們會考慮角度與面積范圍來解決此類問題，現在呢？

生7：觀察圖像并左右無限延伸雙曲線，∠F1PF2的范圍為（0，π），無最值.

生9：如圖1，已知O為拋物線y2=2px（p＞0）的頂點，AB為經過拋物線焦點F的弦，設∠AOB=θ，求角θ的取值范圍.

圖1

（2）當AB不垂直于x軸時，

引導學生在具體的問題中不斷突破原有的思維水平并不斷質疑、提問，使學生在追問、辨析中不斷開闊思路并掌握自己的聰明才智，這在挖掘學生思維潛力、鍛煉學生應用能力上是灌輸知識與機械訓練遠遠比不上的.

二、教學感悟

1.根據課堂復習內容布置作業

教師在高三數學復習階段應根據各階段教學任務布置難易程度適宜的作業.首先，教師應考慮當天的復習內容并緊緊圍繞重點進行作業的布置，同時還可以在作業的難度上適當增加以促進學生對知識的鞏固和拓展，那些與課堂復習知識相脫離的作業無法在學生有效掌握作業的時效內產生積極的影響，階段性的周練卷等練習也應在把握這一階段復習重點的基礎上進行，并適當注意知識的綜合與滲透.同時，教師還始終不能忘記高考大綱、通性通法、教材內容等諸多方面的考慮，一味求活求難的作業設計對于全體學生來說也是極不恰當的.其次，教師不能一味依賴教輔資料上的現成題目，而應該在適當的時機多多鼓勵學生自己出題，雖然學生自己出題很有可能會“節外生枝”，但學生自己出題的過程能夠使學生習慣性地被動應付、就題做題的習慣得到有力的改變，能使學生在積極思維中逐步擺脫孤立、靜止的思維弊端，那些只會解答不會提問的被動思維傾向也會逐步向主動思維、發現問題的方向轉變.因此，教師在實際教學中應在適當的時機為學生提供變式與出題的機會，不斷刺激學生主動思考的積極性并對知識的本質形成更好的理解與應用.

2.控制作業的量

高三數學復習階段的“題海戰”給學生帶來的往往是壓抑和畏懼，不過，教師在布置作業時也不能從一個極端走向另一個極端，數學學習離開一定的訓練量也是很難提高的，那么，教師布置多少題目才是合適的呢？很顯然，這并不是用數字能夠簡單代替和解決的，教師在布置作業時必須依據學情、知識內容等具體情況來決定作業量.首先，教師要明確函數、數列、解析幾何等高中數學主干知識的地位并對這些知識進行重點關注，因此，這些知識面的相關作業應適量增加，而那些僅看重概念理解的矩陣、行列式、統計初步等知識就可以減少一定的訓練量了.其次，教師在實際教學中應準確把握學生的最近發展區以及學生知識掌握的薄弱環節進行題目的篩選與編寫，不斷考量問題的難易程度并提升作業的針對性，使作業能夠符合學生的實際水平以促進學生對知識的把握.

3.準確把控作業反饋

作業的反饋能讓教師和學生自己都能對當前知識掌握的情況形成更好的了解，因此，教師應重視作業檢查與反饋，及時將學生練習的結果與學生分享并作出客觀的評價和針對性的講評.不過，需要教師注意的是，作業的反饋也應講究一定的方法與策略，應采取全批和針對性面批結合的方式將學生學習中存在的共性問題與個性問題一一展露，教會學生如何整理、分析、糾正自己的錯題，并在自己的教學記載中及時記錄學生的典型錯誤以備后續教學所需.同時，教師還應敏銳捕捉學生的意外生成并進行科學巧妙的處理，將學生學習中產生的個性與共性問題準確攫取并進行逐個突破，使學生能夠在某一知識點、解題方法、題型上得到由點及面的指導并大大提升思維的廣度和深度.F