以“對話”促成開篇 用“起始”助推整章

☉浙江省安吉縣昌碩高級中學 張有才

眾所周知，數學知識的學習，難在對章節的起始概念的掌握，而每章的起始課大都是概念課，概念教學則成為當下數學教學的難點.筆者發現，當下的數學概念教學往往是“以賽代練”，更多的是通過解題訓練達到對知識的理解，這種做法是有失偏頗的.

李邦河院士說過：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧的.技巧不足道也！”數學概念高度凝結著數學家的思維，是數學地認識事物的思想精華，蘊含了最豐富的創新教育素材.高中數學起始課概念多，好的概念教學能夠彰顯數學育人的價值.因此章節起始課的教學是需要重視、值得研究的，畢竟“良好的開端是成功的一半”，要堅信“萬物起始，生機勃勃”.

因此，上好章節起始課、扎實地理解數學概念，一方面能夠讓學生了解本章的知識內容、研究方法和數學思想，另一方面也是培養學生對本章學習興趣的最好時機.因此，形式化的內容需要教師用非形式化的手段進行演繹，“對話”教學就是這樣的一種教學模式，其是要達到課堂教學的人性化，體現學生的創造性的教學思維和理念.“對話”教學不僅僅是簡單的師生問答，而是師生的交流、相互地傾聽和情感的分享.本文以《必修4》第一章《基本初等函數Ⅱ（三角函數）》的起始課《任意角》為例，談一談如何實現知識和對話的良好銜接，懇請讀者批評指正.

人教A版教材中很多章節的起始課都有承前啟后的作用.教師需要了解學生已有的知識結構和認知水平，找到學生的最近發展區，提出恰當的問題讓學生參與到課堂活動中，讓學生跨越新舊知識之間的距離，體會它們之間的聯系.從而更好地掌握新的知識內容和思想方法.

一、“對話交流”，開篇本章

本課是《三角函數》的“開篇”，學生已經在初中的時候學習過銳角的三角函數，對角和三角函數的定義有了一定的了解.

師：我們之前學習過了指數函數、對數函數、冪函數，它們刻畫了生活中的某些規律，生活中具有變化規律的現象還有很多.如體操運動員向內、向外轉體720°；扳手擰開螺絲按逆時針轉270°，再擰緊螺絲需按順時針方向轉270°.你發現了什么規律？

生1：都是角度問題.

生2：都是超過180°的角.

生3：都是轉動問題，還有轉動的方向.

師：角是怎樣定義的？

生：有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角.

師：范圍是什么？

生：0°到180°.

師：那上面的例題中出現的都與角有關，初中定義的角不夠用了，需要重新定義，你們認為確定一個角需要什么要素？

生：需要角的度數和方向.

意圖：教師通過與學生的“對話”創設情境并回顧舊知.解決好兩個問題：第一，為什么要學習本章內容；第二，從哪里入手.初中的角的定義不能研究不在0°到180°范圍之內的角的問題.這里需要強調“定義一個新概念的方法”，確定一個“任意角”的條件——旋轉量和旋轉方向.任意角不僅可以取任意大小的角，而且還有方向.通過“對話”構建本章的基本研究思路的教學，為整章學習打好基礎.對話干練，不拖泥帶水，能夠比較快地切入正題.

二、“類比探討”，得出概念

“類比思想”是數學學習中的重要方法，通過類比能讓學生通過已有的知識進行拓展和再發現，能很好地培養學生的探索精神.但與什么知識去做類比，或是與什么思想方法去做類比，是學生的能力不可及的，所以教師要通過“對話”拋出類比的對象，再讓學生進行思考，從而有的放矢.

師：有了度數和方向，角是通過什么方式得到的呢？

生：通過初中學習的角的概念，角是可以由一條射線“轉”出來的.

師：那方向如何確定呢？

學生討論結果：用逆時針和順時針來確定方向.

師：逆時針方向旋轉，順時針方向旋轉？如何區分？之前有沒有學過一對相反的量的表示？

學生討論結果：正數和負數.

師：用正、負數表示具有相反意義的量，以及確定一個“平面圖形的旋轉”的“三要素”，給定角的始邊，只要確定了旋轉的方向和旋轉量，這個角就唯一確定了.

意圖：為了表示不同方向的角，需要引進正角、零角、負角等概念.教師通過“對話”給出類比的方向，讓學生通過“生生交流”類比“相反意義的量”和“負數的引入”得出角的概念.如果用同樣地類比“單位長度”來度量角和弧長的話，兩者就可以統一.這樣就可以把角推廣到“任意角”、引進“弧度制”.為下一節課作好準備.對話中不斷疊加問題，從而引出知識線索，一個問題一條線索地走下去，知識概念自然“水到渠成”.

三、“思維沖突”，總結方法

當提出一個問題以后，學生總會很多不同的想法，這是學生思維的亮點.所以可以有意提一些靈活或開放性的問題，讓學生的“思維亮點”、“思維沖突”充分表現出來，讓學生經歷思考的過程，從“沖突”中感受知識產生過程.

師：有了定義后，請你們用圖形表示一下-120°的角.

三位學生板演：

師：圖為什么不一樣？

生：因為始邊選擇的不同.

師：有什么能統一表示的方法嗎？

同桌討論結果：將角放入平面直角坐標系.

師：怎么放？

生：（板演：將角的始邊放在x的非負半軸）

師：大家再畫-120°的角一樣嗎？

生：一樣了.

意圖：角除了用度數表示外，還可用“形”表示.教師讓學生展現他們的“思維沖突”，體現思維的不同點，從而統一角的始邊與x軸的方向相同，那么任意角就只與它的終邊相關.滲透了標準化、簡單化、對應等思想，在統一“參照系”下，可使角的討論歸結為終邊的問題，問題得到簡化，并有效地表現出終邊位置的“周而復始”.由此可以讓學生理解下面象限角定義.

四、“及時追問”，歸納性質

要構建“對話”教學的課堂教學模式，“及時追問”是“對話”的一種重要手段.通過追問來促使學生對知識進行更深入的研究和分析，對概念進一步的理解和展開其性質的研究.

師：定義角度終邊落在哪個象限，就稱這個角為第幾象限角.-120°在第____象限.

生：第三象限.

師：-90°呢？

生：不是象限角，終邊沒有落在坐標軸上.

教師安排活動，請一位學生說出角的大小，其他同學回答該角是第幾象限角.

師：-20°，-380°，340°，700°？說出你是如何判斷這些角所在的象限的？

生：-380°=-20°-360°，一周是360°，所以-20°和-380°的終邊是重合的.

師：給定一個角的終邊，它所對應的角有多少個？

生：無數多個.

師：它們之間有什么關系？能用數學表達式來表示嗎？

生：β=-20°+k·360°（k∈Z）.

師：請寫出與30°終邊相同的角.

生書寫.

師：那么與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合為______.

生：{β|β=α+k·360°，k∈Z}.

意圖：當學生回答完問題的時候，及時針對學生的回答“追問”，能讓學生及時思考新的問題與剛才問題的關系，迅速得出新知，“追問”能讓加強學生思維的敏捷性，并提高課堂效率.趁熱打鐵，事半功倍.對話中教師感受了教學的成功，學生深刻體會了概念的生成.本課以“對話”為發展的主線，立足于充分發揮數學的內在力量，發展學生數學思維能力，培育學生的理性精神，使學生逐步學會認識問題、解決問題的方法，針對“三角函數的開篇”的內容特點，以“研究一個數學對象的基本套路”為指導，讓學生經歷“背景—定義—表示—性質”的過程研究“任意角”.

綜上，起始課注重“對話”，啟迪思維，充分體現新課程理念.學生在發現的過程中學會學習，學會探究，提升思維的品質.教師善于啟發，善用追問，善于傾聽，體現“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”的啟發式教學的本質內涵.古代大教育家朱熹言：讀書無疑者，須教有疑；有疑者，卻要無疑，到這里方是長進.以“對話”推進章節起始課的開展，讓學生經歷完整的數學概念形成和研究過程，感受數學思想方法的過程.“對話”引領的課堂教學中教師更注重精心設計學生活動，根據學生的認知規律安排教學活動，注意根據概念教學的基本規律安排教學進程.采取“對話”引導學習的方式，讓學生帶著問題開展探索活動，將轉變學生學習方式落到實處.注重學生參與，教師力求精講多問，將學生推向前臺，讓學生表達、板演、總結，教學過程中學生主體意識進一步加強，讓“冰冷的美麗”在課堂中充滿“火熱的思考”.

參考文獻：

1.沈順良，王丹群.從一章起始課看數學教學中的三種語言轉換——認識不等式案例分析［J］.中學數學（上），2010（5）.

2.張志軍.提高高中數學課堂教學效率的策略［J］.廣東教育，2007（10）.

3.余建國.讓章節起始課的教學設計更大氣［J］.數學教學研究，2014，33（9）.

4.李學軍.起始課，能否承載更多——基于人教A版起始課的教學設計與思考［J］.中國數學教育，2012（24）.J