非線性回歸方程的求解與應用

☉江蘇省白蒲高級中學 顧曉莉

在生活、生產等方面的實際應用問題中，其研究的兩個變量可能呈現諸如反比例函數、冪函數、指數函數或對數函數等非線性關系，解決這個問題時，關鍵是如何確定函數f（x）或g（x）的具體形式，需要針對具體的數據進行分析，通過散點圖和有關函數曲線知識，選取一個或幾個合適的函數，然后通過觀察變換數據的散點圖、相關系數等確定一個合適的函數形式，達到非線性回歸關系轉化的目的.

一、非線性回歸分析的基本步驟

非線性回歸問題往往沒有相應的經驗公式，需要通過我們的經驗加以轉化與應用.根據已知相關的數據，畫出散點圖，把圖形所對應的曲線與已經學過的各種基本初等函數（反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數等）的圖像作一比較，挑選一種與所作出的這些散點比較吻合的函數，通過適當的變量變換，把問題轉化為線性回歸來分析，使之得以解決.其一般的解題基本步驟如下：

二、非線性回歸分析的應用

1.擬合函數的直接應用

例1 某個電容器充電后，電壓達到100V，然后開始放電，由經驗數據可知，此后電壓U隨著時間t的變化的規律可以用公式U=Aebt（b＜0）來表示，現測得時間t（s）時的電壓U（V）如下表：

t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U/V 10075 55 40 30 20 15 10 10 5 5

試求：電壓U對時間t的回歸方程.（提示：對公式兩邊取自然對數，把問題轉化為線性回歸分析問題）

分析：結合題目條件，根據已知擬合函數，先對公式兩邊取自然對數，把問題轉化為線性回歸分析問題，通過解決線性回歸方程后再加以轉化.

解析：對U=Aebt兩邊取對數得lnU=lnA+bt.

令y=lnU，a=lnA，x=t，則y=a+bx，y與x的數據如下表：

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6

根據表中數據畫出散點圖，如圖1所示，從圖中可以看出，y與x具有較好的線性關系，由表中數據求得≈3.045，由公式計算得

圖1

因此電壓U對時間t的回歸方程為U?=e-0.313t·e4.61.

點評：對于解決非線性相關問題，可以通過相應的初等函數模型加以轉化，建立與線性函數之間的對應關系，其目的是對具體的數學問題加以合理與正確的統計處理與數據分析.

（1）高職院校仍然沿用傳統講授式教學，由于高數課程的困難，很難構建討論式、學生活動式、探究式、發現式課程體系。微積分難度較高，本科學生尚且望而生畏，清華大學的學生甚至都存在不感興趣的情況，更不用說高職院校的學生了。（2）應試教育的評價方式讓專業課程難以建立，高職高數課時相對知識體系較少，學生為了通過考試只能硬背題型，照葫蘆畫瓢，既不能宏觀理解，也不能應用，在畢業以后也很少應用到高數。（3）教材脫離專業，枯燥繁瑣，傳統高數教材的特點就是虛，沒有服從專業的內在需求，過度緊張的教學和功利化的傾向，加上學而不用，造成了高數學習的焦慮。

2.擬合函數的選取應用

例2 在一次抽樣調查中，測得相關樣本的5個樣本點，對應的數值如下表所示：

x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1

試建立變量y與x之間的回歸方程.

分析：先作出兩個相關變量y與x之間的散點圖，根據所作的散點圖的變化規律，選取恰當的滿足其規律的擬合函數，通過求解線性回歸方程，最后再轉化為與之相應的非線性回歸方程.

解析：根據對應的數值，作出相關變量y與x的散點圖，如圖2所示，

由圖中散點圖的變化趨勢可知，變量y與x近似地呈反比例函數關系.

t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1

作出變量y與t所對應的散點圖3，如圖所示：

圖3

點評：解決非線性相關問題的關鍵是函數之間的相互轉化問題，其實質是建立對應函數與線性函數之間的對應關系，從而達到合理科學分析統計數據的目的.

3.擬合函數的綜合應用

例3 某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表所示：

身高x（cm） 體重y（kg） 身高x（cm） 體重y（kg）60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05

（1）試建立體重y與身高x之間的回歸方程；

（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區一名身高為175cm、體重為82kg的在校男生體重是否正常？

分析：（1）先通過散點圖來確定樣本分布的指數函數，再通過換元，把這個指數函數轉化為線性相關函數進行求解；（2）根據（1）所求的回歸方程，結合對應的數據加以判斷與應用.

解析：（1）根據上表中的數據畫出散點圖，如圖4所示：

圖4

由圖可看出，樣本點分布在某條指數函數曲線y=c1ec2x的周圍，于是可令z=lny，那么有：

x z x z 60 1.81 120 3.04 70 2.07 130 3.29 80 2.30 140 3.44 90 2.50 150 3.66 100 2.71 160 3.86 110 2.86 170 4.01

作出上表中數據的散點圖，如圖5所示：

圖5

由散點圖可知，z與x之間具有線性相關關系，

（2）當x=175時，預測平均體重y?=e0.0197×175+0.6927≈66.22，由于66.22×1.2≈79.47＜82，則該男生體重偏胖.

點評：本題考查了利用散點圖判斷回歸方程的方法，求非線性回歸方程以及利用回歸方程進行分析與預測的能力與方法.利用表中的數據以及回歸分析的方法求出回歸方程，然后代入數值進行分析與預測.

對于解決一些非線性相關問題，其主要的解決方式就是通過建立與之相關的初等函數模型，利用初等函數模型加以轉化，從而達到非線性相關問題與線性函數之間的對應關系，進而利用數學方法、統計思維方式來解決與之相關的實際應用問題，達到合理的統計處理與數據分析，真正做到通過數學來服務實際生活.J