讓函數導數雙變量問題“有法可依”

曾繼成 邱 云

廈門大學附屬實驗中學 (363123)

函數導數是每年高考的熱點與難點．在近幾年各地高考試卷中，頻繁出現導數中含雙變量的問題．此類題型因含有兩個變量，思維量大，解題方法靈活，對學生的數學抽象、數學建模等核心素養提出了很高要求．在有限的時間內，考生要完成模型分析，提煉成自己熟悉的函數背景，是有很大難度的．因此這類題型常常成為選拔優秀人才，評判學生數學核心素養高低的壓軸題．筆者結合自己的教學體驗，針對這類“雙變量問題”總結了幾種常見的解題策略，供大家參考．

策略一、利用函數單調性

例1 已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點．

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2(2016年全國卷Ⅰ卷21題)．

試題分析：第一問考查學生分類討論的數學思想，對中等及中等以下水平的考生是個不小的考驗，此處不涉及雙變量問題，略．而第二問不難看出是一道典型的“雙變量”極值點偏移問題，對于熟悉極值點偏移問題解題策略的考生，不算難題．

解題思路如下：

思路一：不失一般性設x1

又∵由(1)知f(x)在(-∞,1)內單調遞減，

∴x1+x2<2等價于f(2-x2)

思路二：《中學數學教學參考》(上旬)2014年第7期，邢友寶老師的文章《極值點問題的處理策略》，不難構造出新函數：

F(x)=f(1+x)-f(1-x)=[(x-1)e1+x+ax2]-[(-1-x)e1-x+ax2]=(x-1)e1+x+(1+x)e1-x(x>0),求導后討論單調性易得f(1+x)>f(1-x)．再結合題目條件f(x1)=f(x2)，并適當變形可得，f(x1)=f(x2)=f[1+(x2-1)]>f[1-(x2-1)]=f(2-x2)．

最后利用(Ⅰ)的結論，由函數在區間(-∞,1)上的單調性證得x1<2-x2，從而得到x1+x2<2.

策略二：整體代換

例2 已知函數f(x)=lnx-ax.

(Ⅰ)若函數f(x)在(1,+∞)上單調遞減，求實數a的取值范圍；

試題分析：第(Ⅰ)問比較常規，不再贅述．第(Ⅱ)問明顯也是極值點偏移的問題，仍然可以利用邢友寶老師文章中提出的構造函數的方式予以解決，方法與上述例題1的思路二如出一轍，不再詳細闡述．本題主要介紹另外一種處理方式，解題思路如下：

接來下只要能用含t的表達式表示x2，則問題就轉化為跟t有關的不等式，就能達到減少變量的目的了．

而由上述的(*)式可容易變形得到

策略三：分成主次元思想

試題分析：本題是一道很常規的題目，題干中涉及了兩個變量，也是一種含雙變量問題的典型例題，解此類題型的主流思想就是分成主次元考慮，解法思路如下：

因為對任意x1∈[0,1]，不等式f(x1)≥g(x2)都要成立，所以先將x2看成是一個常數，則不等式等價于f(x1)min≥g(x2)，x∈[0,1]．而根據函數的解析式，容易求得f(x)min=-1．所以原命題轉化為存在x2∈[1,2]，使得g(x2)≤-1．此時成功將變量x1去掉，整道題就變成一道很常規的單變量問題．整個過程，運用了主次元思想，成功避開了同時討論兩個變量帶來的麻煩，是一種比較常見的處理方式．再比如看下面的這道客觀題，若運用主次元思想，同樣會收到事半功倍的效果．

例4 若對?x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立，則實數a的最大值是多少？

策略四：巧妙運用“對稱性”

綜上幾種題型的常見處理策略，雖然方式各異，但是最核心的問題都是降元．具體怎么降，如何提高學生的該類型題的解題能力，筆者認為一個重要的舉措就是在解題教學中要培養學生的數學素養，讓其在解題過程中，熟悉各種題型的特點和關鍵點，再綜合自身的數學知識和解題經驗，在解題思想的指導下，逐步學會分析題意，透析本質，找到已知與未知的橋梁，最終成功解決問題．