談小學生運算能力的培養

蘇巧真

一位初次教畢業班的青年教師問我，“在計算分數除法時，為什么有的學生“亂倒數”（被除數和除數都用它的倒數進行計算）？有時候被除數倒，除數不倒，有時候除號不變乘號，有時候乘法（的乘數）也在變倒數……”聽著這位青年教師的話，我回憶起自己近十年教學畢業班的情景，班上都有若干個孩子出現上述情形，而且和同行交流時，也都有這種現象出現。于是，我們理所當然地認為是學生上課不認真聽講或遺忘造成的。但今年同樣教學畢業班，在教學這個單元時，班上卻沒有一個孩子出現這種現象！細細回想，原因在于今年承擔了一節《分數除以整數》的公開課，這節課經過較長時間的思考、實踐，達到了較好的教學效果。在教學本課之前，經過細讀教材和進行學生訪談，筆者思考了三個問題：一是這節課的計算方法較為簡單，重點和難點是算理的教學，如何教才能讓學生知其然并知其所以然？二是整數、小數、分數加減法的本質是相同計數單位相加減，乘法的本質是相同計數單位的累加，那么除法的本質是什么呢？分數除以整數與小數、分數除法在本質上一樣嗎？它們之間有什么聯系和區別？三是計算是真的只要會算就行了嗎？還應培養孩子哪些素養呢？筆者帶著這些思考，經過實踐，有了以下收獲。

一、理解算理，掌握運算方法

算法、算理是運算能力的一體兩翼，兩者相輔相成，不可偏廢。不掌握算法就無法確保實現運算能力的最低要求“正確”，只知怎樣算，不知為什么這樣算，充其量只是搬弄數字的操作技能。例如，在本課教學中，教師根據學生的已有認知，引導學生理解算理，遷移類推，在此基礎上提升算法。

師：÷2，會算嗎？想想，如何讓大家看得懂你為什么這樣算？在練習本上算一算、寫一寫。

生1： 里有4個，除以2，每份就有2個，也就是 。

生2：我的計算方法跟第一個同學一樣，÷2= =，但想法不一樣，我是想，分數乘法，是分母不變，分子相乘，所以，分數除法，應該也是分母不變，分子相除。

師：你用到了聯想的方法，算除法想乘法。

生3：

÷2就是把 平均分成2份，每份占它的，也就等于×。

師：誰聽明白他的意思了？老師把這個 請到黑板上來，誰再來說一說除以2為什么就是乘它的？

生：（邊說邊畫），除以2就是把平均分成兩份， ，這一份就是的 ，列式就是×。

師：同桌互相說說除以2為什么就是乘它的。

（畫圖只是手段，不是目的，其根本是為了建立操作過程與算理之間的聯系，更好地讓算理外顯。關鍵時刻教師要善于想辦法讓學生擺脫直觀的干擾和依附，變操作技能為心智技能。）

師：÷2大家不僅會算，而且還用了三種方法理解為什么這樣算的道理。那÷3會算嗎？

生：÷3=×=

生：÷3=÷3==

師：跟大家說說你是怎么想的？

生：因為分子4不能被3整除，我就把通分，變成 ，12可以被3整除。這其實是由÷2的第一種方法想到的。

生：（此時一位學生舉起了手）老師，是不是所有的分數除以整數都可以用以上兩種方法來做呢？（全班同學有的說“是”有的說“不一定”）

生：可以多舉幾個例子驗證看看。

學生通過舉例，發現了“一個數除以整數（0除外），等于乘這個數的倒數，可以用 ÷c= ×（a、c都不為0）”表示，還發現了“分數除以整數（0除外），如果分數的分子可以被整數整除，可以用分子除以整數的商做分子，分母不變;如果不能整除，把這個分數通分成分子是整數的倍數的分數，再用分子除以整數的商做分子，分母不變”。當教師引導學生對兩種方法進行對比選擇時，大部分學生選擇了第一種，個別同學堅持第二種方法，部分同學選擇“中間地帶”，當分數的分子是整數的倍數時，用分子除以整數的商做分子，分母不變，當分數的分子不是整數的倍數時，則采用“一個數除以整數（0除外），等于乘這個數的倒數”的方法。

算理與算法構成運算能力的兩翼。在以上教學中，教師引導學生利用直觀、聯系舊知等多種方式理解算理，并遵循著算理，發現算法、駕馭算法，巧妙地實現了算理與算法的有機融合。在此過程中，教師充分尊重學生的個性，允許學生保留自己喜歡的算法，真正做到了循理入法，以理馭法，培養學生的運算能力。

二、整體架構，厘清運算本質

教師不僅要有從宏觀上對數學知識整體結構的正確把握，更要把這種素養轉化為對學生的培養，要引導學生對數學知識進行整體架構，溝通知識間的聯系，凸顯數學本質。數的運算隸屬于“數與代數”領域，與數的認識聯系緊密，在教學中，教師要引導學生突出對計數單位、位值制等核心概念的深入領會，從而溝通它們本質的聯系。例如本課教學末，教師引導學生對整數除法、小數除法和分數除以整數的計算道理進行比較，有的學生認為它們的計算道理一樣，有的認為不一樣，在此基礎上，教師借助“微課”（擷取其中幾張畫面）讓學生在形象生動的畫面中理解除法的本質——平均分，即把幾個這樣的計數單位進行平均分，分得每份是幾個計數單位，就是幾。

在以上教學中，教師把“分數除以整數”放在“除法”這一概念運算的范疇中進行教學，學生在理解“分數除以整數”的算理的基礎上回憶整數除法、小數除法的計算道理，教師借助直觀教學，從本質上溝通了三者之間的聯系，讓學生發現三者的計算道理是一樣的，深化了對知識本質的理解。這樣教學，從整體上進行建構，讓學生既見“樹木”，又見“森林”，有利于學生對算理的理解和算法的掌握，有助于提升學生的運算能力。

三、有效練習，提高運算水平

運算能力結構的刻畫可用結構模型圖來表示（見下圖）。

對于小學生來說，基本口算反應與進一步的算法、算理共同構成運算能力的底部。運算能力的提高必須建立在這一基礎上。運算策略是指運算信息的挖掘與運算問題的定向，運算方法的選擇與運算過程的簡化及其自覺評價。它表現在解決單純的運算問題中，也表現在解決實際問題的運算決策與實施過程中。運算策略與其他三個要素相互關聯，運算策略水平是鑒別運算能力的敏感因素。因此，在計算教學過程中，除了要引導學生理解算理，掌握算法外，還應培養學生靈活選擇運算策略的能力，以期提高學生的運算能力。如本課教學中，在學生理解了算理、掌握了算法的基礎上，教師出示以下練習：1.計算÷3、 ÷3、÷3、 ÷3、 ÷3 、÷3 ;2.為美化教室，同學們用彩帶折紙花， 米可以折4朵紙花，照這樣計算，米可以折多少朵紙花？

在學生的反饋中，第1題中前三題大部分學生采用“分子除以整數做分子，分母不變”的方法進行計算，后三題采用“分數乘整數的倒數”的方法進行計算。如此設計，旨在培養學生自覺根據運算信息，靈活選擇運算方法的能力。第2題是這樣解決的：有的列式÷4=（米），÷ =8（朵）;有的列式÷=2，4×2=8（朵）。÷和÷是分數除以分數的計算，學生還沒學，但學生根據推理，把通分成，÷=8，同理可推出÷的結果。如此設計，不僅有利于學生靠理解算理和靈活選用算法來保證運算正確，而且激活了學生的思維，巧妙地將舊知與新知建立起聯系，利用舊知學習新知，突出了運算思維的推理成分。

“課標2011年版”中指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”言下之意，運算能力的培養，主要依靠根據法則和運算律提高正確性，通過理解算理與靈活運算解決問題，發展能力。為此，教師在進行教學時，應充分引導學生理解算理，掌握算法，掌握運算的本質，進行正確計算，并在此基礎上精心設計練習，激活學生的運算思維，幫助學生靈活選擇運算策略解決問題，培養學生的各種能力。