基于“模型思想”的小學數學教學

朱冬梅

摘 要：數學建模的過程就是學生數學化的過程，是學生理解和體會數學與外部世界聯(lián)系的過程。基于“模型思想”，教師要引導學生洞察問題、經歷活動、溝通聯(lián)系、反思評價等，讓學生理解、建構、感悟、運用“數學模型”。“數學模型”讓學生逐步明晰數學之理性與客觀。

關鍵詞：數學教學；模型思想；數學化

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了十個核心詞，有專家認為，這十個核心詞就代表著學生的數學核心素養(yǎng)，而“模型思想”就是十個核心詞之一。建立“模型思想”是學生理解和體會數學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。東北師范大學史寧中教授認為，“數學的基本思想有三：抽象、推理與模型”。什么是“數學模型”？廣義地說，一切數學概念、原理等都可視作數學模型；狹義地看，描述、反映特定事物、關系的數學結構就是數學模型。建構數學模型，主要有三個步驟：一是從生活情境出發(fā)，引領學生經歷“橫向數學化”，將生活問題抽象為數學問題；二是在數學之中，進行“縱向數學化”，即數學符號的生成、重塑和被使用；三是運用數學模型對生活原型的價值、意義等進行檢驗。

一、洞察問題，理解“模型思想”

兒童數學“模型思想”的形成是一個漸進的過程，主要包括理解模型、建構模型、感悟模型和運用模型等幾個方面。其起點是從現實生活或具體情境中抽象出數學信息，提煉和發(fā)現數學問題。因為數學模型總是針對某一具體問題、現象而建立的，如歷史上有名的“七橋問題”（一筆畫）等。因此，教師要從學生的日常生活出發(fā)，讓學生思考問題、洞察問題。通過研究問題，揭示研究對象的特征、形態(tài)和本質。例如，自然數就是古人打獵計數的一種數學建模，負數就是表示具有相反意義的量的一種建模，V=Sh就是對長方體、正方體、圓柱體等直柱體的一種建模。

例如：教學《間隔排列》，其生活原型問題極其復雜，諸如“爬樓梯”問題、“鋸木頭”問題、“敲鐘”問題、“發(fā)車”問題等。正因為如此，許多教師認為“間隔排列”問題難教，因為就排列路線而言，可以分為線段和封閉曲線排列，而在線段排列情形中又分兩類，即兩端相同、兩端不同。據此，不少教師在教學中讓學生識記各類情形，這樣的教學顯然定位于知識，而不是定位于兒童數學活動經驗、基本思想。其實，讓學生對此類問題形成感悟，沒有必要將教學的重點定位于機械的模型識記上，而應將兒童解決問題的策略（畫圖）、思維活動（誰是物體數，誰是間隔數）以及數學思想（一一對應）等融為一體。于是，有學生將“物體”抽象成三角形，將“間隔”抽象成“圓形”，于是物體與間隔的關系被表達為三角形與圓形的關系；有學生將“物體”抽象成“豎線”，將“間隔”抽象成“橫線”，物體與間隔的關系就被表達為“豎橫豎橫……”等。在引導學生認識到用“點”表示“物”、用“線段”表示“間隔”的一般方法后，如圖“”。教學中，教師要引導學生立足于模型圖對“間隔排列”系列現象進行深度解讀，諸如時間間隔、樓層間隔、次數間隔等。只有當學生對間隔規(guī)律有了本質理解，對畫圖策略有了自覺要求，“間隔排列”的模型思想才能悄然形成。

模型不是呆板地記憶，而是靈動地感悟、理解。教學中，教師只有讓學生時時處處直面生活現象、直面具體問題，才能讓兒童完成從“現實原型”向“抽象模型”的過渡。也只有當學生理解了數學模型，他們對數學知識的本質才會有深刻的把握。

二、經歷活動，建構“模型思想”

有專家將小學階段的模型劃分為四種類型，即公式模型、集合模型、方程模型和函數模型。每一種模型，就其表現形態(tài)而言都是靜態(tài)的、形式化的數學結構，就其建模過程而言都是動態(tài)的、數學化的過程。而活動則是學生經驗建模的重要方式，只有在活動中，學生才能感悟模型思想，形成問題發(fā)現、分析和解決的能力。教學中，教師要有意識地引導學生經歷從問題提出到建立模型再到求解驗證的全過程。具體而言，就是要引導學生經歷從“一個”到“一類”的過程，引導學生經歷從“具體”到“抽象”的過程，引導學生經歷從“猜想”到“驗證”的過程。

例如：教學《乘法的分配律》，筆者為了讓學生自主建構“乘法分配律”的數學模型，給學生提供了幾種不同的素材，引導學生從已有知識經驗出發(fā)，感悟問題的本質。如【素材1】：左邊花壇有2行紅花，每行12朵；右邊花壇有2行黃花，每行9朵。一共有多少朵花？【素材2】：學校有美術室和音樂室，美術室長8米，寬5米；音樂室長10米，寬5米。兩間教室一共有多大面積？……學生在解決不同素材的問題過程中逐漸形成了一些感悟。學生發(fā)現，盡管這些素材是千姿百態(tài)的，但它們的本質似乎一樣，都可以運用兩種不同的思路、兩種形式不同的算式表示出來。接著，筆者讓學生結合自己的感悟，創(chuàng)造一些素材。通過這樣的活動，學生漸漸在頭腦中形成了“乘法分配律”的雛形，如（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙，（a+b）×c=a×c+b×c等。不難看出，通過對活動素材的組織、創(chuàng)造，學生建立起自己的模型表象，他們有的用文字表征，有的用圖像表征，還有的用符號表征。盡管這些模型表象、表征還只是學生的猜想，但通過多元舉例驗證，學生經歷了數學模型再創(chuàng)造的過程。

在數學教學中，教師要鼓勵學生運用不同方式猜想、建構模型。只有允許學生運用對象的特性建構不同的數學關系或者結構，學生的數學分析問題、解決問題的能力才能得以提升。如此，增強學生的數學意識，培養(yǎng)學生的數學眼光，努力讓學生感受數學模型思想。

三、溝通聯(lián)系，感悟“模型思想”

數學模型是一類問題的數學化表達，抽象和概括是建構模型的基本數學思想與方法。教學中，教師要溝通不同的問題表現形式，讓學生舍去個別的、非本質的屬性，提煉共同的、本質的屬性。當學生經過初步的數學化建構數學模型后，教師要引導學生比較不同的素材、不同的問題表現形式，深化學生對模型的認知。學生在具體問題與抽象模型間的來回穿行，實現完整的模型建構、模型感悟。

例如：教學《解決問題的策略——假設》，筆者以中國古典名題——“雞兔同籠”問題作為課程與教學載體，引導學生運用“列舉法”“畫圖法”“極端假設法”等多種方法探究問題，形成問題解決思路，建構“雞兔同籠”解題模型，即已知兩個未知量的和以及兩個未知量之間的關系，分別求出這兩個未知量。在學習過程中，有學生對“雞兔同籠”模型的現實意義和價值發(fā)出質疑，“老師，生活中真有將雞和兔放置在同一個籠子里的嗎？”，顯然，學生對模型的理解還僅僅局限于具體生活現象上，而沒有對模型形成普遍的意義認知，也沒有形成對模型所代表的一類問題的價值體認。據此，教師要引導學生溝通諸種現象的聯(lián)系，幫助學生感受“模型思想”。如可以引導學生思考：“雞兔同籠”為什么具有歷久彌新的魅力？“雞兔同籠”問題僅僅代表雞和兔在一個籠子里嗎？生活中有沒有類似于雞兔同籠的問題呢？在討論與交流之中，學生認識到，“雞兔同籠”問題是一類問題的統(tǒng)稱，在日本還叫作“龜鶴問題”。生活中這樣的例子很多，如在一個場地中，既有乒乓球單打，又有乒乓球雙打；在一個停車場中，既有二輪的電瓶車，也有三輪的電瓶車，還有四輪的電瓶汽車；在一個信封上，既貼有2元郵資的郵票，又貼有5元郵資的郵票等。只有當學生從某個具體問題、具體現象中跳脫出來，形成數學模型，并能夠將模型廣泛應用到問題解決過程中去，學生的數學模型意識和模型思想才可以認為是初步形成了。

數學模型有助于學生在數學學習中形成“舉一反三”“觸類旁通”的意識，有助于學生從數學學習的“必然王國”走向“自由王國”。教學中教師必須引導學生親身經歷將實際問題抽象概括成數學模型并進行解釋和運用的全過程。只有這樣，學生才能感受到模型的一般化、概括化、典型化和精確化的特質。

四、反思評價，運用“模型思想”

數學模型是人們對客觀世界中復雜的數量關系的概括和總結。學生建構數學模型的過程是漸進的、遞進的。有時候，數學模型的不斷完善和發(fā)展需要用現實問題和具體現象來進行檢驗。現實問題、具體現象可以幫助我們對數學模型的建構進行反思和評價。從這里也可以看出，數學模型是學生理解與體會數學與外部世界聯(lián)系的基本路徑。

例如：教學《常見的數量關系》，在學生學習了“單價、數量和總價”“工效、工時和工總”“速度、時間與路程”之后，筆者引導學生借助生活經驗，用線段圖表示這些數量關系，抽象出“每份數、份數和總數”的“乘法模型”。運用這個“數學模型”，教師可以引導學生賦予模型以現實意義，如每分鐘行駛8.5米是每份數，行駛了8分鐘就是有這樣的多少份；每本書的價錢是25元是每份數，買這樣的8本書就是8份；每小時做50個零件是每份數，一共做了8小時就是份數等。通過數學模型，學生理解了各種問題的數學本質，掌握了解決問題的具體方法，形成了數學理性之美、統(tǒng)御之美。通過反思，有學生認為，像速度、單價、工效這些量是不可以度量的，他們的計量單位是復合單位，如米/秒、元/本、個/時等，是通過具體的計算得到的；有學生認為，有時一個單位就隱含了相關的數量關系，隱含了一種數學模型，如速度的單位就隱含了路程除以時間，單價的單位就隱含了總價除以數量等。

從某種意義上說，學生數學學習就是學生不斷地進行抽象、概括，不斷建構數學模型的過程。數學模型是抽象的，因此，教師要有意識地引導學生展開數學化活動，讓學生充分經歷數學建模過程，循序漸進、潛移默化地感悟數學思想、方法，進而讓學生學會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界。