分類討論思想讓初中數學教學更精彩

馬軍

[摘 要] 數學思想方法是初中數學課程教學的重要組成部分，本文從初中數學教學實踐出發，側重對“實數題型、幾何題型、方程題型、函數題型”等幾種典型題型進行探討，旨在呈現分類討論思想方法的效用，希望能給教育同仁們帶來一些參考價值.

[關鍵詞] 初中數學；課堂教學；分類討論；思想方法

分類討論是初中數學教學中的重要思想方法，在數學解題教學中具有積極的指導作用. 所以，作為初中數學教師的我們，應注重分類討論思想的講解，要幫助學生掌握不同題型分類討論的關鍵點，確保分類不重不漏，進而提高學生的數學解題能力，為學習更深層次的數學知識奠定堅實的基礎.

實數題型中的分類討論

實數題型中的分類討論常見于帶絕對值符號、二次根式化簡的相關題型中，因絕對值中的字母及被開方數中含有字母，從而正負不能確定，此時需要進行分類討論，此類題相對來說難度不大. 在教學中，重點是讓學生明白為什么要進行分類討論，以及如何進行分類討論才算解答過程完整，培養學生的分類討論意識，提高解題正確率.

案例1？搖 已知x是實數，化簡x-1+.

辨析？搖 本案例中無法直接去掉絕對值符號和根號，顯然需要根據不同的情況進行分類討論. 此題找到準確的分類點是進行分類討論的關鍵，這也是學生解題出錯的重災區. 對于本題，主要分x≥1，0

在教學中，教師應多講解類似的試題，讓學生加深對分類討論思想的理解，充分感受到分類討論思想的重要性以及數學知識的奧妙. “當某些參數的取值不確定時，應及時進行分類討論”，掌握這一關鍵點后，學生遇到類似試題將不再不知所措，能更加積極地投入到學習活動中.

幾何題型中的分類討論

初中數學涉及的幾何題型通常都是綜合應用題，涉及分類討論的只是其中一個小問，難度系數較大，對學生的綜合素質要求較高. 為了提高學生解答此類試題的信心，掌握解題技巧，教師應注重講解一些典型例題，與學生一起分析，逐步對學生進行引導，使學生在愉快的學習氛圍中完成分類討論知識的學習.

案例2？搖 如圖1，在直角三角形ABC中，BA⊥AC，AB=AC=2，D為斜邊BC上除B，C兩點之外的動點，過點D作∠ADE=45°，DE交AC于點E.

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當△ADE為等腰三角形時，試求AE的長.

辨析？搖 本題第（3）問的條件是△ADE是等腰三角形，不能直接確定哪兩條邊是腰，所以存在三種情況，即AD=AE，AD=DE，AE=DE. 在解題教學中，筆者引導學生根據題設信息進行分析，不少學生發現AD=AE這種情況是不可能存在的（無法構成三角形），所以只需要討論另外兩種情況即可. 學生的自主討論激活了課堂教學氛圍，筆者及時、有效的點撥，促進學生找到了正確的結論. 試題講解完后，筆者引導學生進行總結、拓展、延伸，讓學生明白對于三角形問題，不清楚角和邊的關系時，可以進行必要的分類討論.

方程題型中的分類討論

方程是初中數學的重要內容，有關方程的題型復雜多變，一些學生反映學習起來難度較大，尤其遇到分類討論時，不知道如何下手，有些試題即便知道討論，但討論的情況不全，容易遺漏，導致看似簡單的問題不能得滿分，因此，教師應以具體的例子作引導，通過與學生互動，使學生逐漸掌握方程題型中分類討論的方法，加深對所學數學知識的理解.

案例3？搖 關于x的分式方程，當m為何值時，方程無解？

筆者在講解本題時，并沒有直接呈現解題過程，而是與學生進行互動. 在與學生互動的過程中，筆者逐步引導學生進行分類討論，使學生意識到分類討論時應注意的問題，具體互動如下.

師：看到該試題時首先應該怎么做？

生：化簡.

師：好的. 那同學們先化簡吧.

學生化簡并整理后得到（m-1）x= -10.

師：方程無解的話，應滿足什么條件呢？

生：m-1=0，即m=1.

師：很好，同學們再想一想，還有哪些情況呢？

當學生回答不上來時，筆者加以引導，讓學生重新觀察給出的條件. 學生進行化簡時，默認給出的分式方程沒有增根，所以得出的結果容易出錯. 此時，筆者引導學生思考方程存在增根的條件，學生最后發現在x=±2時，分式方程有增根. 顯然，學生因考慮問題不全面而出錯. 對于中學數學，教師可以結合具體試題，強化師生互動的教學方式，有效完成分類討論教學，進而促進學生學習的積極性，從而獲得預期的教學效果.

函數題型中的分類討論

在初中數學課程教學中，函數一直是教學的重點和難點. 在各類考查中，函數問題失分比較嚴重，特別是函數與其他數學知識相結合的問題甚為明顯，若涉及分類討論，學生更是不知所措，內心會產生畏懼，甚至直接跳過，所以此類題是學生失分率較高的題型之一. 為此，教學時，教師應多講解相關題型，借助相關的圖像進行討論. 實踐表明，借助圖像進行討論，能有效避免討論不全面的情況發生，能幫助學生順利解題，降低難度.

案例4？搖 已知拋物線為函數y=-x2+4x+5向右平移1個單位長度后所得，點T（5，y）在拋物線上，P為拋物線上點O與點T之間任意一點，那么在線段OT上是否存在一點Q，使得△PQT為等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

辨析？搖 本題屬于二次函數綜合應用題，涉及數形結合思想方法的靈活運用，難度系數較大. 對于此題，拋物線方程和直線方程的求解是成功解題的關鍵，對直角三角形中直角的分類是解題的重點和難點. 筆者在實際教學時，引導學生運用圖像平移的性質得到拋物線方程為y=-（x-1）2+4（x-1）+5=-x2+6x，于是可得T（5，5），所以直線OT的方程為y=x. 在教師的點撥下，學生根據案例2的收獲，分∠TPQ=90°，∠PQT=90°和∠PTQ=90°三種情況進行討論，要求學生借助圖像進行處理，最終得出滿足條件的點Q的坐標為（1，1），（2，2）或（3，3）.

最后，筆者鼓勵學生總結，認真記錄解題的精彩之處，分析解答該類試題應注意的問題，以讓學生在今后遇到類似題時，能迅速找到解題思路.

總而言之，初中數學知識點多而零碎，數學題型復雜多變，應用數學思想不僅能提高課堂教學效率，讓學生感受到學習的精彩之處，而且能激發學生主動學習的自信心. 因此，在教學實踐中，教師應注重數學思想的傳授，尤其教學分類討論思想時，要求教師結合具體的教學內容，認真剖析相關題型，使學生掌握分類討論思想的內涵與規律，將數學知識學活，最終實現解題能力及數學成績的進一步提高.