基于數學核心素養的習題教學例析

袁梅紅

[摘 要] 很多源于教材又高于教材的中考數學綜合試題都是踐行數學核心素養的最佳體現，教師在實際教學中應強化核心知識教學，并引導學生思考、探索問題的解決方法，使學生在不斷的探索、反思與感悟中最終實現全面發展.

[關鍵詞] 初中數學；核心素養；抽象；建模；直觀想象

教育部早在2014年就提出了以科學性、時代性、民族性為基本原則，培養學生核心素養的具體要求，當今中考試題命題也都體現了源于教材又高于教材的特點，這些靈活多變、舊題新出的中考試題正是踐行數學核心素養的最佳體現. 本文結合中考某一試題，談談筆者培養學生數學核心素養的實踐性思考.

這是一道來源于折紙的數學探究綜合題，矩形、相似三角形、勾股定理、二次函數與一元二次方程、直線與圓等諸多知識以及初高中銜接的內容都在此題中得到了巧妙的設計與融合，此題可以通過多種方法求解，但如果解題追求簡潔且快速，就需要學生具備豐富的數學核心素養與解題經驗，并滲透數形結合、函數、方程、轉化、分類討論等思想方法. 這道試題對學生的思維能力、計算能力都提出了較高的要求，要踐行數學核心素養，就需要這樣綜合性的好題來體現.

數學抽象與建模

學生初讀此題往往會有很多疑惑：△OCD沿OD折疊時，點C的對應點C′是否會落在直線l：y=-x+7上？假如落在直線l：y=-x+7上，與哪些量相關，又取決于哪一個相關的量？點C的對應點在直線l：y=-x+7上時是不是只有兩個？學生的困擾基本都集中在折疊后點C的對應點C′上，因此，教師教學時可以引導學生回歸實踐，并探尋問題的本質，繼而定位C′.

師：請同學們取出自備矩形白紙一張，并按圖5所示的方式折疊矩形的一角，使折痕經過點O. （最終目的：通過提問幫助學生建立數學模型）

師：你在折疊白紙時遇到了哪些問題？

生：沒有告訴我們應該沿哪一條折痕折疊.

師：對，但是因為沒有這一條件，因此大家折的就會不一樣，請大家觀察一下大家折的是不是完全不同呢？

生：有一點是相同的，即都會經過點O.

師：很好，大家嘗試一下各種不同的折疊方法.

（學生操作并思考）

師：你在過點O折疊矩形一角的過程中有何感悟？能分享一下嗎？

生：其實我們是把線段OC繞點O旋轉.

師：很好，過點O任意折疊矩形的一角時，點C肯定會落在哪里？

生：肯定會落在以點O為圓心、OC長為半徑的圓上，如圖6.

師：很好，請大家觀察圖形并思考老師為大家設計的問題：

（1）過點O折疊矩形的一角時，點C是否一定會落在直線l：y=-x+7上？

（2）過點O折疊矩形一角時，點C的對應點C′和直線l：y=-x+7之間存在怎樣的位置關系？

（3）折疊后點C的對應點C′和直線l：y=-x+7的位置關系由什么因素決定？跟哪些量有一定的關系？

從上述一系列問題的討論中學生很快發現，點C和直線l：y=-x+7的位置關系實際上就是直線和圓O的位置關系，圓心到直線l：y=-x+7的距離d和r（OC）的大小關系又決定了直線和圓的位置關系，因此直線與圓的位置關系的數學模型成了解決此題的關鍵. 由題意可得d=<5，因此，直線和圓必然存在兩個交點. 令交點為E，F，如圖7，定點E，F找到了，因此AE，AF就必然為定值.

經過上述分析，一系列探究問題被化歸成了定點E，F到矩形OABC的頂點、邊界、靜態線段的距離都是定值這一問題. 因此，問題很快轉化成了圖8所示的以下問題：在矩形OABC中，經過點O的某一直線折一個“拐”并使點C落在邊MN上，同理，點F的問題一樣可以轉化.

在圖8中找出與矩形OABC相關的線段或已知線段，并去掉多余圖形，繼而對其提煉，可以得到圖9所示問題：在矩形OMNC中，沿直線OD折疊，點D恰好與直線MN上的點E重合，已知EN=1，求CD的長. DE的長又該如何求解呢？學生頭腦中熟悉的翻折模型此時被圖形操作與問題轉化很快喚醒：折疊圖形后使其一個角的頂點落在某條邊所在直線上，即將矩形一個角的頂點通過折疊，落到相鄰的邊MN上，問題回到了學生所熟悉的模型上，勾股定理的模型即可用于此題的求解，幾何問題也因此轉化成了代數問題.

直觀想象與建模

問題（4）除了標準答案中的解決方法外，還可以通過數學建模、直觀想象來解決，且整個計算過程更加簡便：要讓△EFP為直角三角形，可以將問題分成三種類型進行分類討論.

1. 將點E作為直角頂點

如圖10，作FH⊥EM于點H，延長FH與拋物線相交于點K，連接EK，根據已知條件和圖形直觀想象，可以看出△FHE是等腰直角三角形，∠FEH=45°. 根據拋物線的對稱性，觀察圖形可知∠KEH=∠FEH=45°，因此∠FEK=90°，由此可知點K滿足條件，即當點P與點K重合時，此時的點P滿足條件. 因為此時的點P和點F關于拋物線的對稱軸對稱，由F（4，3）得滿足條件的點P的坐標為（2，3）.

2. 將點F作為直角頂點

過點F作EF的垂線，與拋物線相交于點P，觀察圖形可得P（1，0）. 此時通過聯想勾股定理進行驗證：可求得FP2=18，EF2=2，EP2=20，顯然FP2+EF2=EP2，由勾股定理的逆定理可知△PEF是直角三角形，繼而知點P（1，0）滿足條件.

3. 將點P作為直角頂點

解法與標準答案相同.

這一數學難題通過直觀想象、數學猜想、數學推理等方法就這樣神奇而簡潔地得到了解決，數學的內在美也在這樣分類討論的過程中得到了很好的體現.

踐行數學核心素養

本文所分析的這一試題構思與數據設計得都很巧妙，題中只有5和7兩個簡單的數據，直線方程是y=-x+7（即x+y=7）；第（1）小問可求得E（3，4），F（4，3），題中數據因此多了3和4. 經過數據分析與數學運算可得3+4=7（x+y=7），32+42=52（x2+y2=52）. 根據圖形的觀察進行直觀想象和邏輯推理可知x，y對應3，4，因此x=3，y=4或者x=4，y=3. 因此，E（3，4），F（4，3）不僅在直線y=-x+7上，而且這兩點還在以原點為圓心、5為半徑的圓（x2+y2=52）上. 再結合解題所得的答案有數據：1，2，3，4，5，7，雖然只有簡單的6個數字，但數學的內在美和魅力都在這一過程中驚奇地展現了.

翻折的實踐操作活動將全等變換、相似構造很好地融進了矩形問題中，因此，此題的教學重在引導學生對問題和數據進行分析，并構造出基本圖形. 因此，讀懂圖形與題意并對隱含條件進行深入挖掘，是解題過程中首先要做的，解題者必須具備扎實的基礎知識才能更好地解題. 啟發、引導學生對問題進行探究、猜想、思考、反思、感悟是此題解題教學的精髓所在，也是培養學生能力與品質的重要途徑. 因此，教師在實際教學中應首先強化核心知識教學，并引導學生思考、探索問題的解決方法，使學生在不斷的探索、反思與感悟中最終實現全面發展.