運用“假設法”解決“雞兔同籠”問題

郭娟

【摘要】“雞兔同籠”問題是我國古代有名的數(shù)學問題，也是一個有名的難題。對這個問題的解決有多種解題策略，教師要善于引導學生學會多種解題策略，特別要使學生掌握假設的解題策略和方法，靈活地運用假設法熟練地解決“雞兔同籠”問題和類似的題目。

【關(guān)鍵詞】解題策略 假設法 雞兔同籠 熟練掌握 靈活運用

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）17-0138-02

“雞兔同籠”問題出自于我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》，現(xiàn)在是青島版小學六年級下冊五單元后面《智慧廣場》后面的自主練習中的一道練習題。題目是這樣的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”把它翻譯成現(xiàn)代漢語是：現(xiàn)在有一些雞和兔子被關(guān)在同一個籠子里，雞和兔共35個頭、94只腳。問雞和兔各有多少只？

這本教材的本意是讓學生了解并學會解決“雞兔同籠”問題以及與“雞兔同籠”問題類似的問題。大部分同學認為雞和兔子關(guān)在同一個籠子里，籠子一般都不會太大，雞和兔子在籠子里唧唧喳喳、擠擠挨挨、動來動去。數(shù)頭吧，不好數(shù)；數(shù)腳吧，更不好數(shù)了，這么多腳，數(shù)的過來嗎？能數(shù)準確嗎？盡管題目中已經(jīng)告訴我們了頭和腳的個數(shù)，但是，就是有那么多的同學想剛才的一些疑問。正是這些與數(shù)學題目本身無關(guān)的想法，分散了學生們的精力，干擾了他們的數(shù)學思維。所以，這部分同學在聽課的時候非常容易走神，老師講得解題策略和解題方法，他們根本聽不進去，滿腦子的雞和兔子一大堆在那里亂哄哄地吵吵鬧鬧。所以，這么多年的教學下來，就是有相當多的學生掌握不了這種題目的解題方法。

這本教材的內(nèi)容安排方式是做了一番處理的，采用了大家都熟悉和常見、常用的四輪小汽車和兩輪摩托車來分別代替四條腿的兔子和兩條腿的雞。這種處理方式是很好的，變動的動物為不動的交通工具，學生們在思考問題時就排除了許多無關(guān)干擾的因素，有助于學生把自己的注意力集中到題目本身的解決上。課本81頁“智慧廣場”中的問題是：一個停車場里有四輪小汽車和兩輪摩托車共24輛。如果這些車共有86個輪子，那么停車場里有幾輛小汽車和幾輛摩托車？

課本中介紹了兩種解題方法。一是列舉法：采用了表格的形式。

讓學生繼續(xù)試下去。然后，讓學生談自己的發(fā)現(xiàn)：小汽車19輛，摩托車5輛時，輪子數(shù)是86，這就是問題的答案。這是采用的列舉法解決的問題，也就是枚舉的策略。當數(shù)學問題已難與原認知結(jié)構(gòu)建立直接聯(lián)系，而且難于找到解決問題的入口時，可采用列表一一枚舉，嘗試、猜測、調(diào)整，直至問題的解決。

老師引導學生繼續(xù)觀察表格，再談自己的發(fā)現(xiàn)：

1.每減少一輛小汽車，增加一輛摩托車，就減少2個輪子……

2.當小汽車數(shù)是24，摩托車數(shù)為0時，輪子總數(shù)：4×24=96

比實際多出的輪子數(shù)：96-86=10（個）

一輛小汽車比一輛摩托車多的輪子數(shù)：4-2=2（個）

摩托車數(shù)：10÷2=5（輛）

小汽車數(shù)：24-5=19（輛）

3.一生列算式計算：

（4×24-86）÷（4-2）=5（輛）

24-5=19（輛）

第二種方法實際上是假設法，這是采用的假設的策略。在解決一些較復雜的數(shù)學問題時，當已知條件與所求問題之間有明顯的空隙而不易探求時，可以根據(jù)條件作出符合邏輯的假設，然后根據(jù)變化了的新條件進行推算，使問題得到解決。

到現(xiàn)在為止，學生們還沒有理清這種解決問題的方法，老師這時就應該適時地、明確地告訴學生這是假設法以及這種方法的應用。

1.假設24輛都是小汽車。

4×24=96（個）

96-86=10（個）

4-2=2（個）

10÷2=5（輛）

24-5=19（輛）

答：停車場里有19輛小汽車，有5輛摩托車。

也可以列綜合算式：

（4×24-86）÷（4-2）=5（輛）

24-5=19（輛）

答：停車場里有19輛小汽車，有5輛摩托車。

這里，存在一個問題，有一部分學生不知道先算出來的5輛，是小汽車呢？還是摩托車？這部分學生出現(xiàn)了困惑，感到很煩惱，心里不舒服。

我重新給學生理清思路：一開始，我們假設24輛全是小汽車，算出的輪子總數(shù)是96個，比原有的86個輪子多10個。這10個輪子是怎么多出來的呢？是每輛摩托車多安了2個輪子（每輛摩托車看成小汽車后就多了2個輪子），一共多了10個輪子，應該是10÷2=5（輛），也就是應該是5輛摩托車。這一點弄明白了，那么24-5=19（輛），就是小汽車的輛數(shù)。

道理講清楚了，學生也明白這個道理了。這時可趁此機會讓學生總結(jié)出一個規(guī)律性的東西來：先假設全是小汽車時，先算出來的輛數(shù)是摩托車，后算出來的就是小汽車。讓學生掌握了這條規(guī)律，學生就不會感到迷惑，也就不會困惑了。

這道題的假設法也可以這樣來用：

2.假設24輛都是摩托車。

2×24=48（個）

86-48=38（個）

4-2=2（個）

38÷2=19（輛）

24-19=5（輛）

答：停車場里有19輛小汽車，有5輛摩托車。

也可以列綜合算式：

（86-2×24）÷（4-2）=19（輛）

24-19=5（輛）

答：停車場里有19輛小汽車，有5輛摩托車。

這時，學生對解決“雞兔同籠”問題所采用的假設法，已經(jīng)掌握得非常熟練，能夠運用自如。下面的時間就可以讓學生自己解決課本82頁的“雞兔同籠”問題。學生獨立解答，教師巡視課堂，看學生的做題情況，然后指定學生到黑板上板演。

生1：假設有35只雞。

2×35=70（個）

94-70=24（個）

4-2=2（個）

24÷2=12（只）

35-12=23（只）

答：雞有23只，兔有12只。

生2：（94-2×35）÷（4-2）=12（只）

35-12=23（只）

答：雞有23只，兔有12只。

（這是列綜合算式計算）

生3：假設有35只兔。

4×35=140（個）

140-94=46（個）

4-2=2（個）

46÷2=23（只）

35-23=12（只）

答：雞有23只，兔有12只。

生4：（4×35-94）÷（4-2）=23（只）

35-23=12（只）

答：雞有23只，兔有12只。

（這是列綜合算式計算）

老師說明：假設的這句話，可以寫出來，要是心里清楚也可以不寫。寫出來更好一些。再有，做完題目之后，必須把數(shù)據(jù)代入題目檢驗一遍，保證做題的準確性。再讓學生運用假設法獨立完成課本82頁的1、2、3、4題，做完后，小組內(nèi)互相交流，掌握得好的同學幫一幫理解力稍差一點的同學。相信所有的同學都能掌握假設法，都能自如地解決“雞兔同籠”問題以及與“雞兔同籠”類似的問題。

在學生們的心中，“雞兔同籠”問題不那么可怕了，也不那么難了，而是能夠輕松地解決了。還會去給別人講明白如何解決“雞兔同籠”問題以及與“雞兔同籠”類似的問題。再者，上面提到過：解決“雞兔同籠”問題有多種解題策略，其它的解題策略讓學生自己課下去研究、去探討，也可以作為課外數(shù)學興趣小組的研究課題去研究。課上，老師只把運用“假設法”解決“雞兔同籠”問題和類似的題目講清楚，學生能靈活、熟練地掌握就可以了。