積累作圖經驗 建構認知體驗*
——從八年級一節“與作圖有關的圖形”談起

☉江蘇無錫市太湖格致中學 陳 鋒

一、問題的提出

在全面關注學生綜合素養的大背景下，幾何作圖能力成為學生必不可少的一種數學素養.但是作圖的知識較為零散，教學形式較為單一，內容難以把握，目標不易確定，同時對教師的要求較高，鑒于此，在2017年11月23日無錫市數學名師工作室活動上，一位老師上了一節“與作圖有關的圖形”的數學研討課，本節課的教學設計巧妙，學生課堂表現精彩，給筆者留下了深刻的印象.現將該課的幾個精彩片段和對課堂教學的思考呈現出來，與大家分享.

二、教學過程摘錄與點評

1.設置體驗情境，激活認知體驗.

第一步：觀察圖形.

師：（展示圖1）請同學們觀察圖形，你能聯想到什么問題？

生1：在直線l上找一點，使得A點到這個點的距離與B點到這個點的距離的和最短.

師：也就是說在直線l上找一點P，使得PA+PB最短.誰能解決這個問題？

生2：連接A、B兩點與直線l的交點即為點P.

師：這個原理是什么？

生2：兩點之間線段最短.

圖2

圖1

第二步：改變位置.

師：如果把點A、B放到直線l的同一側（如圖2），你又能想到什么問題？

生4：在直線l上找一點P，使得PA+PB最短.

師：哪位同學能解決這一問題？

生5：作A點關于直線L的對稱點A′，連接A′B交直線l于一點，即為所求點P.這是因為兩個對稱點到直線l的距離相等，兩點之間線段最短，那么PA+PB可以轉化為PA′+PB=A′B.

第三步：拓展條件.

師：如圖1，能否在直線l上找一點P，使得直線l平分∠APB？給大家兩分鐘的時間在本子上畫一畫，相互之間可以交流一下.

眾生思考交流.

師：請同學們看一下圖1，P點肯定在直線l上，那P點在什么位置才能滿足條件？你能不能先告訴我P點的大致位置在什么地方？能不能在這里？

生：不能.

師：為什么？

生：看起來不可能.

師：哦，根據你的直觀感受P點不可能在這里，所以直觀感受很重要.

師：請說出你的具體做法.

生：分別作點A、B關于直線l的對稱點A′、B′，連接A′B和AB′并分別延長，交直線l于一點，即為所求點P.

師：其實剛才該生分別作了點A、B關于直線l的對稱點A′、B′，其實這里面我們只要作一個點關于直線l的對稱點就可以了，比如說作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B并延長交直線l于點P，這個點是不是就是所求點？（生肯定），其實這里面就用到了對稱的知識，而且A′、B′點涉及了畫圖的知識，這方面的知識請大家熟練掌握，其實老師剛才聽到了同學們說這不就是利用了等腰三角形的性質嗎？如果連接AA′，就使得直線l是頂角的角平分線.

點評：在這一教學環節中，教師選擇了數學中常見的線段和線段一側的兩個點作為引入，簡單易懂，降低了數學在同學們心中的神秘感，加強了學生的數學認同感和親切感，第一步，通過拋出一個開放性問題的方式，不僅激發了學生對課堂參與的積極性，而且培養了學生用發散的眼光看待數學問題的習慣；第二步，通過改變A、B兩點的位置關系繼續討論第一步中的問題，讓學生從另一個角度看待問題，與第一種情況比較，激發學生對問題的興趣，增強學生全面分析、思考問題的能力；第三步，通過逐漸增加問題難度的設置，激發學生的心理挑戰，不僅形成用數學思想解決問題的方法，而且提升自己的數學應用能力，開啟了活動探究的第一步.通過這三步使得學生的觀察力、注意力、想象力、思考力得到了發展.

2.創設認知階梯，建構方法策略.

第一步：作出圖形.

師：（展示一條線段）請同學們仔細觀察呈現在面前的一個圖形.這是一個什么圖形，你能聯想到什么知識？

生7：這是一條以A、B為端點的線段.

師：看到一條線段，你能聯想到哪些知識？

生8：線段是軸對稱圖形且對稱軸是這條線段的垂直平分線.

師：還有嗎？其實我們上面的討論已經涉及了.眾生齊聲回答：兩點之間，線段最短.

師：對，這是一條公理，是基本事實.現在請你以AB為邊，作一個等邊三角形ABC，保留必要的作圖痕跡.請注意這里是要求作等邊三角形.

生9上黑板作出等邊三角形ABC（如圖3），并解釋方法.（以A點為圓心，AB長為半徑畫圓弧，再以B點為圓心，AB長為半徑畫圓弧，交點即為C點）

第二步：感受特征.

師：那看到等邊三角形，大家可以想到等邊三角形有哪些性質？

生10：等邊三角形三邊相等，三角也相等且每個角都是60度.

師：除了這些性質，等邊三角形還有哪些性質？

生11：等邊三角形也是軸對稱圖形，有三條對稱軸，分別是三邊的中垂線.

師：很好，剛才同學們說的都是三角形的性質，由這些性質我們就可以判斷一個三角形是不是等邊三角形，那反過來通過對這些性質的逆向使用，能不能判斷一個三角形是等邊三角形？請同學們想一想等邊三角形的判定有哪幾條.

（板書三角形的性質及判定條件）

第三步：深化認知.

師：好，那現在等邊三角形ABC已經作出來了，如果現在讓同學們作∠A、∠B的角平分線，交點為O，應該怎么作？請學生描述作∠A的平分線的方法.

圖3

生11：如圖4，以A為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交AB、AC與點M、N，再分別以M、N為圓心，任意長為半徑畫圓弧，交于點P.

師：那AP為∠A的角平分線的依據是什么？

生11：利用全等三角形的判定條件.

師：很好（補充作出∠B的角平分線交AP與點O，即為兩角平分線交點），你還能發現其他的性質嗎？

生12：AO=BO.師：為什么？

生13：因為AO、BO分別為∠A、∠B的角平分線，且∠A=∠B，所以∠OAB=∠OBA，根據等角對等邊，所以AO=BO.

師：沒錯，根據等角對等邊，能判斷出AO=BO，即三角形OAB為等腰三角形，且我們能算出它的頂角是多少度？（生齊答：120°）

師：所以判斷等腰三角形的一個方法是利用等角對等邊.這個圖形還有哪些性質？

生14：點O到等邊三角形ABC三邊的距離相等？師：為什么？

生14：因為點O是∠A和∠B的角平分線的交點，所以點O到三角形的三邊距離相等.過點O作OR垂直于AB、OS垂直于BC、OT垂直于AC，由于點O是角A和角B的角平分線的交點，所以根據AAS（角角邊）可以判定三角形OAR≌三角形OAT，則OR=OT.同理，OR=OS，從而OR=OS=OT.

師：很好，這里面用到了角平分線的性質，同學們知不知道角平分線的性質怎么描述？

教師板書角平分線的性質.

點評：本環節的教學有兩個亮點：一是較好地體現了“產生式教學策略”，教師積極引導學生把信息與自己已有的認知結構聯系起來，這樣不僅可以激發學生對學習任務和學習過程、學習策略的積極性，也可以培養學生的學習興趣.在教學時，教師充分放手讓學生通過自主探索，合作交流，觀察對比等活動，在學生經歷了作圖之后，引導學生自主歸納總結作圖的方法，這使得學生的認知被調動起來，學生的主體地位也得到了充分的體現；二是較好地體現了教學的本質——引導，教師在教學過程中對學生進行了較好的引導.既尊重了學生的個性化思維，對學生合理的作圖方法給予了充分的肯定，又能有意識地引導學生從多種方法中選擇一種合理、簡潔的方法進行作圖.

圖4

3.拓展圖形變式，提升能力素養.

第一步：聯想性質.

師：（展示圖5）現在老師分別作OA、OB的垂直平分線交AB于M、N兩點，你又能發現什么性質？

生：線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等.

師：很好，那我們把M、N分別和線段的兩個端點連接起來（連接OM、ON），就得到了AM=MO、NO=NB，同學們想一想△OMN是什么三角形？

生齊答：等邊三角形.

師：那我們就得到了AM=MN=NB，也就是說我們？

生齊答：把線段AB三等分.

第二步：圖形變式.

師：現在把△ABC變成等腰三角形，其余條件不變，那么情況又如何？（教師通過幾何畫板改變圖形）請同學們分組討論.

第三步：總結方法.

學生相互交流，教師最后歸納總結.

師：我們從一條線段開始，通過尺規一步一步地把這條線段進行了三等分，請同學們整理一下用尺規把線段三等分的思路.

學生結合本節課的學習作出自己的解讀：①作（畫）圖，②等（腰）邊三角形，③尺規等分線段，④線段相等證明.

點評：有價值的、富有挑戰性的問題是開啟學生思維的金鑰匙.在解決了等邊三角形的問題之后，教師沒有就此作罷，而是拋出了“如果把等邊三角形換成等腰三角形，情況又如何？”這樣一個有挑戰性的問題，課堂上，從學生的表情和參與度上可以看出，學生的思維被激活了，互相討論得很有激情，再加上教師的合理引導，學生參與課堂的熱情空前高漲，這充分證明了只要我們給學生提供舞臺，就會有意想不到的精彩.

圖5

三、總評

作圖是本節課的重點，怎樣讓學生掌握作圖方法并做好知識建構是本節課的難點，教師以一條線段為題基，以作圖方法為知識主線，以圍繞這條線段產生的各種作圖問題為情景主線，課堂教學始終圍繞這兩條主線展開，教學過程中教師力圖發展學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，教學過程的巧妙設計和學生的課堂表現都非常精彩，下面筆者從三個方面進行分析.

1.挖掘數學本質，突出概念教學.

數學概念是客觀現實事物中數與形的本質屬性的反映，是建構數學理論的基石，是指導數學法則和數學定理的邏輯基礎，也是提高解題能力的前提.所以在教學過程中要注意數學概念的產生背景，尊重數學概念的發展規律，達成對數學概念的實質性理解，真正做到將概念內化.在教學中，要幫助學生分析概念的內涵和外延，相似概念及性質的區別和聯系，特別關注概念、性質中的獨特成分，以促進學生對知識的記憶和理解.總而言之，數學概念的產生和發展和對數學概念的認識都要經歷“實踐—認識—再實踐—再認識”的不斷深化的過程.這就決定了對數學概念的教學要針對學生的現有情況靈活調整教學方法，幫助學生認識、體驗、理解和掌握概念，提高運用數學概念靈活處理相關問題的能力.

2.理清教學思路，建構認知體驗.

教師要按照科學知識的內在邏輯和學生的認知發展規律進行教學，使學生掌握系統的知識，能力得到發展，如果教學沒有順序，雜亂無章地進行，學生就會陷入紊亂而沒有收獲.本節課，教師從一條直線及兩側的兩個點著手，讓學生自己提出問題，在直線上找一點P，使得點P到兩點距離之和最短，并讓學生自己解決，接著教師增加難度，把兩點移到直線同一側，再讓學生思考與之相關的問題，這個時候學生已經有了前面的鋪墊，很容易想出還是在直線上找一點P，使得點P到兩點距離之和最短，教師借機進一步考查點P的作法，并將此點的作法轉化為實際問題：如何在河邊找一點建立供電站使得供電站到兩村莊距離之和最小，將數學知識用到實際生活中去.接下來，教師進一步循序漸進地引導學生探索如何在直線上找一點P、平分∠APB、等邊三角形的作法、三角形三邊中垂線交點的作法等問題，由淺入深、由易到難、從簡單到復雜，使學生的認知活動進程逐步深化.

3.尊重學生主體，體現人文關懷.

在課堂教學過程中，教師始終扮演一個組織者、引導者、合作者的角色，充分尊重學生的主體地位，發揮學生的主觀能動性，在教學實施過程中，教師每給出一個圖形，都是讓學生自己思考與之相關的問題，而不是直接拋出問題讓學生回答，這不僅能激發學生思考的潛能，更能提高他們的課堂參與率和對數學學習的興趣，比如，在第二部分，教師用幾何畫板展示一條線段，先讓學生思考和線段有關的知識，很多學生會想起“兩點之間，線段最短”這個基本事實，教師適當引導，學生還會想起線段是軸對稱圖形，它的對稱軸就是它的中垂線這個知識點.這些激發學生主動思考來獲取知識的過程要比教師生硬的告知效果要好得多.

參考文獻：

1.陳鋒，薛鶯.以問題引領，提升復習效能——對初三“圓的復習課”的幾點感悟［J］.中學數學（下），2013（5）.

2.陳鋒，薛鶯，童偉偉.多元化的“微探究”：從機械記憶走向理解建構［J］.中學數學（下），2013（9）.

3.陳鋒，薛鶯.從課堂“微探究”談初中數學有效教學［J］.中學數學教學參考（中），2013（4）.