聚焦主線淺入深出，預(yù)設(shè)鋪墊開放教學(xué)
——以一次函數(shù)單元復(fù)習(xí)課為例

☉江蘇常熟市古里中學(xué) 何曉芳

一次函數(shù)的新授課之后，常常跟進一個階段所學(xué)內(nèi)容的典型習(xí)題講評，我們見到不少習(xí)題課的學(xué)案設(shè)計是大量的習(xí)題，填空、選擇、解答題型各一，有時能達到30個小題，《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》前一段時間，曾有多篇文章對淪落為習(xí)題單式的導(dǎo)學(xué)案進行了商榷和批判，值得我們傾聽.筆者最近有機會開設(shè)一次函數(shù)單元復(fù)習(xí)的研討課，針對剛學(xué)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及從函數(shù)視角看方程與不等式的知識點，精選例、習(xí)題，改編設(shè)問，開放呈現(xiàn)，題組跟進.有效驅(qū)動了復(fù)習(xí)進程.本文梳理該課的教學(xué)流程，并進一步闡釋教學(xué)立意，供研討.

一、一次函數(shù)單元復(fù)習(xí)課例概述

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 從“兩點”出發(fā).

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有兩點A（2，5）、B（3，7）.

教學(xué)預(yù)設(shè)：從兩個點出發(fā)，請學(xué)生提出與一次函數(shù)有關(guān)的問題，小組討論后全班匯報交流.具體組織形式可以是，一個小組員提出問題后，請另外的小組成員講解思路.教師有如下的一些問題預(yù)設(shè)：學(xué)生應(yīng)該都能想到求直線AB的函數(shù)解析式（為了后續(xù)表達方便，可以將直線AB記為直線l1）；求直線l1與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)；直線l1與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積.再比如：當(dāng)y＞0，x____；y＝0，x____；y＜0，x____.等等.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 復(fù)習(xí)“兩條直線”的關(guān)系.

“問題串”設(shè)計：在同學(xué)們前面探究的基礎(chǔ)上，教師設(shè)計了如下一些問題：

（1）直線l2過點A且l2⊥l1，畫出直線l2并求出它的解析式.

（2）點E（4，4）在直線l2上嗎？

（3）直線l3過點E且l3∥l1，求直線l3的解析式

（4）直線l1經(jīng)過怎樣的平移得到直線l3？

（5）觀察l2、l3的圖像，當(dāng)x___時，y2＝y(tǒng)3；當(dāng)x___時，y3＞y2；當(dāng)x___時，y2＞y3＞0.

圖1

教學(xué)預(yù)設(shè)：在學(xué)生提問并解答之后，教師參與提問，引入其他直線，全面復(fù)習(xí)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，特別是一次函數(shù)圖像的平移、兩條直線的位置關(guān)系等.教師在PPT上漸次呈現(xiàn)“問題串”驅(qū)動復(fù)習(xí)進程，注意加強對話和互動，追問學(xué)生求出答案背后的思路與念頭，比較重要的方法要多安排其他學(xué)生“再講一遍”.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 復(fù)習(xí)函數(shù)視角看方程（組）與不等式.

例1如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：y＝kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）與直線l2：y＝－x+m（m為常數(shù)）的交點為A（2，3）.

圖2

圖3

（1）根據(jù)圖像信息可求得關(guān)于x的方程kx+b＝3的解為_______.

（3）關(guān)于x的不等式組0≤kx+b＜－x+m的解集為________.

（4）如圖3，已知點D（1，0），P、Q分別是OB、BC上的動點，試探究PD＋PQ的最小值.

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（1）（2）（3）問分別復(fù)習(xí)一次函數(shù)與一元一次方程、一次函數(shù)與二元一次方程組、一次函數(shù)與一元一次不等式組的關(guān)系，即用函數(shù)眼光看待這些知識.第（4）問則是引入所謂“將軍飲馬”最值模型，還可跟進追問：如圖4，求△PDQ的周長的最小值.

圖4

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 一次函數(shù)為背景的面積問題.

例2 在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y＝k1x和一次函數(shù)y＝k2x＋b的圖像都經(jīng)過M（3，4），且它們與y軸圍成的圖形的面積為12平方單位.

（1）求k1的值；

（2）求一次函數(shù)y＝k2x＋b的解析式.

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（1）問是基礎(chǔ)題，第（2）問需要分類討論，主要是一次函數(shù)與y軸交點位置的不確定，需要考慮兩種情況.如果學(xué)生在練習(xí)時漏解，可以安排其他學(xué)生參與“究錯”.

例3如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標(biāo)為（6，4）.直線l經(jīng)過點（1，0），且將平行四邊形OABC分割成面積相等的兩部分.

（1）當(dāng)點A的坐標(biāo)為（4，0）時，求邊OC所在直線的解析式；

（2）小月發(fā)現(xiàn)，平行四邊形OABC的頂點B、C的位置雖不能確定，但是該平行四邊形的“中心”（對角線交點）卻能確定，你能理解小月的發(fā)現(xiàn)嗎？

（3）求直線l的解析式.

教學(xué)預(yù)設(shè)：由于第（3）問較難，難點在于平行四邊形的中心需要先分析出來，而這既需要靈活運用中位線性質(zhì)，又需要理解經(jīng)過平行四邊形中心的直線平分其面積的性質(zhì)，所以安排了第（2）問，進行必要的鋪墊，便于引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)思路.

圖5

二、教學(xué)立意的進一步闡釋

1.復(fù)習(xí)課教學(xué)選題要有主線，聚焦目標(biāo).

復(fù)習(xí)課教學(xué)首先要有明確的復(fù)習(xí)目標(biāo)，確定復(fù)習(xí)主線.比如，本課例中主要是復(fù)習(xí)一次函數(shù)的概念，正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，從函數(shù)視角看一元一次方程、二元一次方程（組）、一元一次不等式（組）等，所以后續(xù)選題就需要沿著這些教學(xué)目標(biāo)和主線開展選題，而不能缺少目標(biāo)主線的統(tǒng)領(lǐng)，選題的內(nèi)容效度發(fā)生重大偏差，比如，有些一次函數(shù)的復(fù)習(xí)課，所選習(xí)題過多與平面幾何的很多結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，使得問題的訓(xùn)練重點與難點偏向平面幾何，而沒有真正把教學(xué)時間花在復(fù)習(xí)一次函數(shù)上.

2.復(fù)習(xí)課教學(xué)需要淺入深出，層層遞進.

明確復(fù)習(xí)課的選題主線與目標(biāo)之后，精心選中的例、習(xí)題既要根據(jù)知識點進行歸類排序，又要把簡單的問題先呈現(xiàn)出來，做到淺入深出，層層遞進.具體來說，在上文課例中，教學(xué)環(huán)節(jié)（一）安排了一組簡單的求直線解析式、直線與坐標(biāo)軸交點等基礎(chǔ)問題；而教學(xué)環(huán)節(jié)（二）中安排了同一坐標(biāo)系中兩條直線相交的系列題組；教學(xué)環(huán)節(jié)（三）中從函數(shù)視角看方程與不等式；最后的教學(xué)環(huán)節(jié)（四）以一次函數(shù)為背景探究與面積相關(guān)的綜合問題，且體現(xiàn)了分類討論的要求.

3.復(fù)習(xí)課教學(xué)預(yù)設(shè)開放教學(xué)，促進對話.

南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授多年前就倡導(dǎo)開放的數(shù)學(xué)教學(xué)，認(rèn)為利用開放題可以促進開放的數(shù)學(xué)教學(xué).比如，教學(xué)環(huán)節(jié)（一）中安排學(xué)生小組內(nèi)提問，全班交流匯報展示，開課階段安排這樣的開放式教學(xué)，把所有學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與數(shù)學(xué)思考全部卷入到課堂學(xué)習(xí)中來；在教學(xué)環(huán)節(jié)（二）中，由于在同一坐標(biāo)系中增加了多條直線參與探究它們的位置關(guān)系，在學(xué)生解答之后，教師適當(dāng)追問暴露他們的思路，在師生對話中促進對復(fù)習(xí)內(nèi)容的深刻理解.這里特別值得一提的是，對于有些需要重復(fù)和強調(diào)的問題，教師本人不必代替學(xué)生，而可以在第一個學(xué)生回答之后，習(xí)慣性地追問“你們聽懂了吧”“請你再說一遍”，讓學(xué)生重復(fù)、復(fù)述，達到鞏固的效果.

4.復(fù)習(xí)課教學(xué)精心設(shè)計鋪墊，突破難題.

復(fù)習(xí)課中的選題往往會有一些綜合問題，具有挑戰(zhàn)性，如何引導(dǎo)學(xué)生順利破解這些較難問題，就需要我們在課前對較難題增設(shè)一些鋪墊式問題，讓學(xué)生在解決鋪墊問題之后，可以順利借著“鋪墊問題”，突破難題.在例3教學(xué)的最后一問，我們虛擬了“小月發(fā)現(xiàn)”，先引導(dǎo)學(xué)生求出平行四邊形的“中心”，在此基礎(chǔ)上為后面分析直線的解析式提供了幫助.如果學(xué)生仍然有困難，我們在教學(xué)時還可繼續(xù)進行點撥：同學(xué)們有沒有研究過，能把平行四邊形面積等分的直線，會有怎樣的特點？（它一定經(jīng)過平行四邊形的中心）這里，教學(xué)的開放性與提問的引導(dǎo)性之間的平衡關(guān)系是一種值得修煉的教學(xué)藝術(shù).

參考文獻：

1.湯義佳.內(nèi)容效度：課時例、習(xí)題選編的重要指標(biāo)——以九年級新授課學(xué)案的研制為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（9）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.鄭毓信.開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001（3）.

4.鄭毓信.再論開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002（6）.