淺談高中數學課堂上啟發性教學方法的應用
——以“直線與圓的位置關系”（人教版必修2）為例

☉安徽省六安第二中學 易 歡

一、引言

高中數學教學相對于初中數學教學而言，無論是教學內容還是教學廣度和教學深度都明顯增加.知識點多而分散是高中數學教材的一大特點，因此高中學生學習高中數學知識有一定難度，教師的教學之路任重道遠.雖然教師授課時間有限，但是可以帶領學生找到數學學習的規律，理解記憶，整理分類，總結歸納.這樣不僅可以提高學生的邏輯思維能力，而且可以讓學生將各個學習過程中所學知識串聯起來，形成完整的知識體系.本文以人教版高一數學必修2教材中第四章第二節直線與圓的位置關系為例，淺談高中數學教學啟發.

二、高中數學直線與圓的位置關系

通過計算直線與圓的交點，我們可以將直線與圓的位置關系總結為：如果一條直線與一個圓有兩個交點，那么我們認為這條直線與這個圓相交；如果一條直線與一個圓有且只有一個交點，那么我們認為這條直線與這個圓相切；如果一條直線與一個圓沒有任何交點，那么我們認為這條直線與這個圓相離.需要補充的是：在直線與圓相交時，通常將這條直線叫做這個圓的割線；在直線與圓相切時，通常稱這條直線為這個圓的切線，直線與圓的公共點叫切點.

三、高中數學直線與圓的位置關系的啟發性教學方法

（一）明確目標，理清重難點

教師在進行每個章節的數學知識教學時，要明確教學目標，為學生理清重點和難點.就直線與圓的位置關系這一小節而言，教學目標是讓學生能夠概括其定義，并且會使用定義來判斷和應用直線與圓的位置關系；教學重點是幫助學生理解并掌握直線與圓的相切、相離、相交三種位置關系；教學難點是引導學生運用并掌握直線與圓的判定方法.在明確教學目標和理清重難點之后，有助于教師通過講解具體的案例，培養學生認知和理解直線與圓的三種位置關系的能力；有助于教師通過將點與圓的位置關系和直線與圓的位置關系進行對比講解，加深學生對直線與圓的位置和數量關系的理解.

（二）講練結合，應用新知識

數學教學的展開離不開例題講解，學生結合課堂練習與教師講解，能夠及時運用和消化新知識，鞏固已經學過的知識.這個階段需要發揮教師的主導作用，充分發揮課堂教學的激勵和調控功能.但是，教師在進行講練結合的時候也應該注意，應該層層遞進，慢慢加深學生對新知識的理解.

案例1 如圖1，Rt△ABC中的斜邊BC=10cm，直角邊AC=6cm.那么試判斷：以A為圓心，半徑分別為2cm、4cm的兩個圓與直線BC有怎樣的位置關系？以A為圓心的圓半徑r多長時，才能判定直線BC與⊙A相切？以A為圓心的圓半徑r多長時，才能判定直線BC與⊙A相交？

解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=8cm，所以BC邊上的高為4.8cm.

因為4.8cm＞4cm＞2cm，故以A為圓心，半徑分別為2cm、4cm的兩個圓與直線BC相離；以A為圓心的圓半徑r為4.8cm時，才能判定直線BC與⊙A相切；以A為圓心的圓半徑r大于4.8cm時，才能判定直線BC與⊙A相切.

評析：該例題看起來簡單容易，只需將直角三角形斜邊上的高計算出來，問題就迎刃而解.但是，無論任何學科，基礎知識是關鍵.實際上，這個題目將圓與直線的位置關系的定義與判定都囊括其中.然而，越是簡單基礎的問題，學生在練習時就越容易出錯.所以，教師在進行例題講解時需要重視這類基礎例題，學生在進行課堂練習或完成課下習題的過程中也不能松懈基礎訓練.因此，教師在課上講解這類簡單例題時，一方面，很容易被學生接受，快速結合課堂知識進行練習并告訴老師答案；另一方面，能夠將教學目標與重難點結合起來，通過學生的課堂練習反饋進行進一步教學.

案例2 在平面直角坐標系中，已知圓的方程為圓心為P，現有過點Q（0，2）且斜率為k的直線，若與圓P相交于A、B兩點，求斜率k的取值范圍；若與圓P沒有交點時

圖1

，k的取值范圍又為多少？

解析：根據已知條件可以得到圓P的圓心坐標為（6，0），半徑是2.

設過點Q的直線為y=kx+2.

想要滿足題目中直線與圓相交于兩點，則需要圓心到直線之間的距離小于半徑，根據所學點到直線的距離為d，d＜2.即可解出k的取值范圍為

若與圓P沒有交點，則圓心到直線的距離需要大于半徑

評析：案例2比案例1的難度有了提高，做到了層層深入.將圓與直線的位置關系放在了直角坐標系中，若此題采用代數方法，將直線方程代入圓的方程，根據解的個數，采取判定式作答，則此題計算量較大.但是學生若可以做到將代數與幾何知識巧妙地融合，則大大減少了計算量，提高了解題效率.通過這種綜合性的訓練，可以提高學生的綜合解題能力.將新知識與舊知識進行結合，達到融會貫通的目的.

（三）尋找規律，總結歸納

高中數學雖然知識點羅列散亂，但是仍然有規律可循.學生要將眾多知識點理解并掌握，離不開總結歸納.然而，高中數學知識也不僅僅局限于書本，學生還應該善于發現和總結各個知識點的規律，這就需要教師在教學過程中引導學生養成自主學習、善于思考總結的好習慣.

案例3 如圖2，已知直線PB與⊙O相交于點A，割線為直線PAB，并且有以下條件：PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，試求⊙O的半徑.

圖2

圖3

解析：延長PO交⊙O于點D，因為⊙O的割線為直線PAB，由割線定理知PA·PB=PC·PD. 因為PC·PD=（POCO）（PO+OD），所以PA·PB=（PO-CO）（PO+OD），因為PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，OD=CO，將數據代入PA·PB=（PO-CO）（PO+OD）中，解得CO=4cm.所以⊙O的半徑為4cm.

評析：這類題型比較復雜，因為人教版高中數學必修2的教材中沒有給出割線定理的具體表達式.但同時，這類題型立足于直線與圓的位置關系的基礎之上，以直線與圓相交的性質為出發點，又在考查割線的性質和定理.這需要教師在數學課堂教學中發揮學生的主動學習作用，通過例題練習和講解，引導學生總結出割線定理，加深學生對割線定理的理解與應用，便于學生在以后涉及割線定理的題型中快速完成解答.

案例4 已知直線表達式為Ax+By+C=0，圓的表達式為x2+y2+Dx+Ey+F=0.判定直線與圓的位置關系.

思路一：已知直線表達式為Ax+By+C=0，圓的表達式可以化為（x-a）2+（y-b）2=r2，通過判斷圓心（a，b）到直線的距離可以判定直線與圓的位置關系.

圓心（a，b）到直線的距離可以表示為后判斷d與圓的半徑r的大小關系，即可得到直線與圓的位置關系：如果d=r，則直線與圓相切；如果d＜r，則直線與圓相交；如果d＞r，則直線與圓相離.

思路二：已知直線表達式為Ax+By+C=0，圓的表達式為x2+y2+Dx+Ey+F=0.將這兩個方程聯立消元后得到一個方程ax2+by2+cx+dy+e=0.然后根據方程的判別式作答.若判別式大于零，則表示方程有兩個解，即圓與直線有兩個交點；若判別式等于零，則表示方程有一個解，即圓與直線有一個交點，直線與圓相切；若判別式小于零，則方程無解，圓與直線沒有交點.

評析：這個案例考查的就是直線與圓的位置關系的兩種判別方法：幾何法和代數法.思路一就是幾何法，通過比較圓的半徑與圓心到直線的距離的大小，判定直線與圓的位置關系；思路二就是代數法，結合直線與圓的數學表達式，消元之后得到一個一元二次方程，通過計算這個一元二次方程的判別式與零的關系判斷直線與圓的位置關系.這兩種方法在人教版高中數學必修2的教材中都有提到過，但是需要教師引導學生進行總結歸納，使學生不至于在面對不同的題型時混淆方法，便于學生對直線與圓的位置關系的判別方法理解的更加扎實和掌握的更加牢固.

四、總結

面對應試教育和素質教育，高中數學教學任務艱巨，學生學習壓力巨大.但是，教無定法，教學有法.教師的使命是教學，教授學生知識和幫助學生學習，因此教學方法顯得尤為重要.通過人教版高一數學必修2教材中第四章第二節直線與圓的位置關系的教學，針對高中數學教學，我們可以得到三點啟發：第一，“明確目標，理清重難點”的教學方式，有助于學生快速吸收課堂知識，高效學習數學知識的重難點；第二，“講練結合，應用新知識”的教學策略，有助于學生鞏固課堂基礎知識，并將新知識學以致用；第三，“尋找規律，總結歸納”的引導教學，有助于學生對高中數學知識點理解的更加透徹，掌握的更加牢固.F