變式在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

☉安徽省太和縣第二中學(xué) 張東方

很多教師因?yàn)榻虒W(xué)任務(wù)比較重會(huì)忽略概念教學(xué)，學(xué)生因此對(duì)概念本質(zhì)的內(nèi)涵與外延無法形成透徹的理解.變式在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用能夠很好地改變這一現(xiàn)狀并獲得教學(xué)的高質(zhì)高效.

一、概念性變式的理解

1.概念性變式

概念性變式在闡述或突出事物本質(zhì)特征時(shí)采用的方式并不是單一的，運(yùn)用不同的直觀材料或者事件對(duì)其進(jìn)行說明是概念性變式的一種方式，變換同類事物的非本質(zhì)特征來突出事物本質(zhì)屬性也是概念性變式的一種方式，方式盡管有所不同，但其目的都是為了能使學(xué)生對(duì)事物本質(zhì)屬性形成更好的把握，使學(xué)生能夠清晰辨別哪些才是事物的本質(zhì)屬性，哪些則不是，概念性變式教學(xué)的運(yùn)用能夠使學(xué)生在問題組的辨析、探究、歸納中對(duì)事物形成全面、準(zhǔn)確而科學(xué)的理解.

2.概念性變式的意義

概念性變式教學(xué)與問題情境的結(jié)合往往能使學(xué)生在學(xué)習(xí)中煥發(fā)出更高的學(xué)習(xí)熱情.教師在教學(xué)中如果將高中數(shù)學(xué)抽象概念直接拋給學(xué)生往往導(dǎo)致學(xué)生難以完全接受，但如果教師在教學(xué)中能夠揣摩概念類型與本質(zhì)并將其設(shè)計(jì)成一系列的變式，將一些能夠還原概念的實(shí)例、模型、已有經(jīng)驗(yàn)、題組設(shè)計(jì)成情境并呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生對(duì)概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生熱情與積極性的同時(shí)也會(huì)因此建立更好的概念認(rèn)知.

概念性變式教學(xué)還能更好地幫助學(xué)生深化基礎(chǔ)知識(shí)并令學(xué)生的思維得以拓展.教師在實(shí)際教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在基本問題的變式研究中積極運(yùn)用類比、聯(lián)想、特殊化及一般化的思維方式，能使學(xué)生在探索問題的發(fā)展變化過程中對(duì)問題本質(zhì)形成更加深入而透徹的理解，數(shù)學(xué)思維能力也會(huì)因此得到有效拓展.

二、概念性變式的應(yīng)用

1.變式中形成概念

案例1 并集概念的引入.

師：若A={1，3}，B={1，3，5}，集合A、B之間會(huì)存在怎樣的關(guān)系呢？

生：子集，真子集.

師：若將集合A改成A={1，2，3}，集合A、B之間存在怎樣的關(guān)系呢？

生：兩者之間不存在包含關(guān)系.

師：若有C={1，2，3，5}，集合A、B、C之間又存在怎樣的關(guān)系呢？

生：C是A、B兩集合中所有不同元素的集合.

師：剛才我們經(jīng)歷的問題告訴了我們集合之間的一種基本運(yùn)算方法，這一方法稱作“并”，所有不同元素“并”到一起以后也就形成了一個(gè)新的集合，用符號(hào)“∪”表示.我們應(yīng)怎樣表示用數(shù)學(xué)語言描述并集的定義呢？

生：A∪B={x|x∈A或x∈B}.

學(xué)生在簡單集合的變式比較中尋得集合之間的關(guān)系并順利引出了并集的概念.

案例2 函數(shù)的單調(diào)性.

（1）圖像變式.如圖1，引導(dǎo)學(xué)生從左往右觀察函數(shù)x＞0）的圖像并提問：這幾個(gè)函數(shù)圖像在哪個(gè)區(qū)間是上升的？在哪個(gè)區(qū)間又是下降的呢？

圖1

將學(xué)生熟悉的圖像作為課堂教學(xué)的切入點(diǎn)并從“形”的角度對(duì)增函數(shù)、減函數(shù)進(jìn)行了定義.引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像并解決上述問題后，教師還可以將如下問題拋給學(xué)生：大家覺得函數(shù)圖像中的“上升”和“下降”這些特征與x、y這兩個(gè)變量之間存在哪些對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？大家能否運(yùn)用自己的語言來表述增函數(shù)、減函數(shù)的含義呢？

（2）數(shù)值變式.設(shè)計(jì)問題并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行精準(zhǔn)的定量刻畫：有函數(shù)f（x）=x2，大家可以怎樣運(yùn)用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言來描述“增函數(shù)”和“減函數(shù)”呢？

伴隨提問，教師再引導(dǎo)學(xué)生一起舉出一些具體的數(shù)值進(jìn)行比較，使學(xué)生在比較大小的過程中感受數(shù)值大小在刻畫增函數(shù)時(shí)的作用，在定量刻畫的過程中向符號(hào)描述過渡.教師在數(shù)值變式啟發(fā)學(xué)生定量刻畫定義的過程中可以給出以下問題：

以下判斷正確嗎？請(qǐng)舉例或畫圖說明理由.

①因?yàn)閒（-1）＜f（2），因此f（x）在區(qū)間（-1，2）上為增函數(shù)；

②若對(duì)任意x＞0都有f（x）＞f（0），則f（x）在區(qū)間［0，+∞）上為增函數(shù)；

③因?yàn)閒（1）＜f（2），f（2）＜f（3），f（3）＜f（4），…，故f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù).

學(xué)生在教師設(shè)計(jì)的問題中辨析、歸納，單調(diào)性的嚴(yán)格定義隨著取值的“任意”性而達(dá)成.

學(xué)生在直觀到抽象、特殊到一般的一組變式題中也將感性經(jīng)驗(yàn)與抽象概念之間的聯(lián)系成功建立了起來，積極探索的過程中也令思維得到了鍛煉和發(fā)展.

2.變式中鞏固概念

教師可以在奇偶函數(shù)的定義得出之后設(shè)計(jì)出辨析型的變式問題來幫助學(xué)生透徹掌握定義的內(nèi)涵與外延.

案例3 下列哪些命題是正確的？

（1）f（x）是R上的函數(shù)，若f（-3）=-f（3），則函數(shù)f（x）必定為奇函數(shù)；

（2）g（x）是R上的函數(shù)，若g（-3）≠-g（3），則函數(shù)g（x）肯定不是R上的奇函數(shù)；

（3）（fx）=x∈（-∞，-1］∪［2，+∞））為奇函數(shù)；

（4）f（x）=0（x∈R）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；

（5）已知f（x）是R上的偶函數(shù)，若點(diǎn)（a，f（a））在y=f（x）的圖像上，則點(diǎn)（-a，f（a））一定會(huì)在y=f（x）的圖像上.

評(píng)注：這是能夠有效加深學(xué)生對(duì)奇函數(shù)、偶函數(shù)概念理解的一組變式題.（1）和（2）說明只對(duì)某一個(gè)x0、f（-x0）=-f（x0）或f（-x0）=f（x0）成立，并不能用來判斷函數(shù)的奇偶性.（3）的設(shè)計(jì)只是為了幫助學(xué)生強(qiáng)化奇（偶）函數(shù)定義域?qū)ΨQ于原點(diǎn)這一要點(diǎn)的認(rèn)識(shí).（4）的問題探索使學(xué)生明白了同為奇函數(shù)與偶函數(shù)的函數(shù)的解析式一定為f（x）=0，但定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也說明了既奇又偶的函數(shù)有無限多個(gè).（5）的設(shè)計(jì)主要是為了引導(dǎo)學(xué)生在偶函數(shù)的外延拓展中了解知識(shí)之間的聯(lián)系.

案例4 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用.

等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、公式的特點(diǎn)等內(nèi)容的教學(xué)實(shí)現(xiàn)之后，教師可以設(shè)計(jì)以下具有一定層次性的變式題組幫助學(xué)生在探索與訓(xùn)練中鞏固相關(guān)的知識(shí).

題組1：（1）已知等差數(shù)列首項(xiàng)與公差，求其任意項(xiàng)，如在等差數(shù)列{an}中，已知a1=1，d=3，求a20.

（2）已知等差數(shù)列的某一項(xiàng)與公差，求其任意項(xiàng)，如在等差數(shù)列{an}中，已知d=1，a4=6，求a23.

（3）已知等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)，求其公差與通項(xiàng)公式，如在等差數(shù)列{an}中，已知a9=21，a4=6，求a23.

題組1若干問題的探究使學(xué)生很快領(lǐng)會(huì)了等差數(shù)列中諸多問題變式的奧妙.從知識(shí)的層面來看，等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式在所有的變式問題中是不會(huì)改變的；從方法層面來看，突出基本量的數(shù)學(xué)思想方法在所有的變式問題中也沒有改變，以不變應(yīng)萬變的教學(xué)著力點(diǎn)在變式題組的設(shè)計(jì)中得到了很好的體現(xiàn)，在a1、d、n、a這四個(gè)量中，知三必可求一.

題組2：（1）已知等差數(shù)列某一項(xiàng)與另外兩項(xiàng)之和、差、積、商，求其通項(xiàng)，如在等差數(shù)列{an}中，如果a1=1，a2+a4=6，求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）已知等差數(shù)列兩組相鄰兩項(xiàng)、三項(xiàng)或若干項(xiàng)之和，求其通項(xiàng)，如在等差數(shù)列{an}中，如果a1+a2=3，a3+a4=6，求{an}的通項(xiàng)公式；

（3）運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)求其通項(xiàng)，如在等差數(shù)列{an}中，已知a1+a3=2，a2+a4=6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（4）已知等差數(shù)列兩項(xiàng)和與積，求其通項(xiàng)，如在等差數(shù)列{an}中，已知a2·a3=6，a1+a5=5，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

題組2中若干問題的設(shè)計(jì)是為了幫助學(xué)生對(duì)解題中所涉及的方程和轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行領(lǐng)會(huì)與應(yīng)用.所有的變式問題其實(shí)都是圍繞通項(xiàng)公式本身的應(yīng)用這一最為基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)而設(shè)計(jì)的，其他方面的知識(shí)在這些變式中并沒有進(jìn)行滲透，相對(duì)來說，所有的問題變式還只是概念的簡單外延，學(xué)生在簡單的設(shè)計(jì)中能夠比較輕松地找到知識(shí)與方法的“生長點(diǎn)”和“固著點(diǎn)”，并掌握、運(yùn)用公式.

教師在概念變式教學(xué)中一定要緊緊圍繞核心內(nèi)容與數(shù)學(xué)本質(zhì)，并著眼于知識(shí)生長點(diǎn)、延伸點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行問題的變式設(shè)計(jì)，不僅如此，教師在實(shí)際教學(xué)中還應(yīng)隨時(shí)注意學(xué)生上課時(shí)的感覺與反應(yīng)并能及時(shí)空時(shí)變式的節(jié)奏、維度及深度，引導(dǎo)學(xué)生在這些變式問題的探究中體會(huì)“變”和“不變”并適時(shí)加以引導(dǎo)和點(diǎn)撥，使學(xué)生能夠在探索、思考與比較中發(fā)現(xiàn)變式問題的本質(zhì)屬性.

1.曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

2.鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧伶玩.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.F