勇于面對，有效應對
——讓錯誤成為發展學生思維的起點

☉湖南省長沙市明德中學 何 玲

學生總害怕出錯，很多教師面對學生的錯誤，也是鎖緊眉頭，事實上，這些態度都是不可取的.須知，學習過程中的錯誤是無法避免的，面對錯誤，我們要引導學生積極應對，讓錯誤成為他們思維發展的起點.

一、辨明邏輯關系，糾正解題思維

例1 已知函數f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時存在極值且極值等于0，請確定m和n的值.

錯解：因為f（x）=x3+3mx2+nx+m2，結合題意可得

在處理數學問題的時候，經常會用到化歸的思想，比如極值的求解問題，就需要學生結合命題之間的關系，對原題進行等價變化.對于函數y=f（x），如果其導數f′（x）存在，那么f′（x0）=0是“函數y=f（x）在x=x0時取極值”的必要不充分條件，上述問題的分析正是學生沒有清楚把握條件的充分性與必要性，以致于邏輯不清引起了解題的錯誤.因此在解題過程中，我們要指導學生立足于嚴謹的邏輯基礎，厘清研究對象之間的關系，在此基礎上做好化歸工作，完成問題的處理.

二、剖析錯因，發展思維嚴密性

例2 已知集合A={x|ax2+x+1=0，x∈R，a∈R}有且只有一個元素，請確定實數a的值.

錯解：因為ax2+x+1=0僅有一個實數根，所以Δ=0，代入數據可得

上述問題是學生剛剛接觸“集合”概念時的一個問題.“集合”是高中數學最開始的內容，對學生數學思維的發展非常關鍵.對于以上的例題，大多數學生所提供的答案如上所述，因為他們在初中階段已經能夠熟練地處理一元二次方程的問題，這也就在學生的腦海中形成了思維定式，看到x的平方就想到的根的判別式.面對學生暴露出來的問題，筆者針對錯誤發生的原因提出問題：ax2+x+1=0是一個什么方程？學生稍有思考，給出了不同的答案，不少學生意識到二次項系數如果取0或不取0，將對應著兩種情形，即方程也可能是一個一次方程，換言之，上述問題的解決必須要分類討論，這其實正是思維嚴密性的重要體現.

例3 A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，如果A?B，請確定a的取值范圍.

錯解：學生大多會嘗試著將“a”與臨界值“1”和“2”這兩個數字放在一起比較，最終通過數軸分別研究“a＜1，1＜a＜2，a＞2”這三種情形，經過分析他們能鎖定只有a＞2符合題意.

面對這種情形，筆者一般會提出這樣的問題：除了“a＜1，1＜a＜2，a＞2”這三種情形以外，是否還存在其他的情況沒有考慮到的？學生繼續展開觀察和思考，并指出在原先的分析中遺漏了a等于“1”和“2”這兩種情形.這種遺漏情形在學生的作業和考試中經常發生，比如，要求解經過點A（-4，3），且與以原點為圓心，半徑等于4的圓相切的直線方程.學生在處理這種問題時，大多會想到待定系數法，假設直線的點斜式方程y-3=k（x+4），然后根據它與圓的相切關系進行求解，這樣的處理顯然遺漏了點斜式方程所對應的直線無法垂直于x軸這一事實，換言之，這樣的處理漏掉了直線斜率不存在的情形.

在教學過程中，教師要結合學生的問題處理情況展開層層設問，這樣的處理有助于學生及時發現自己思維不嚴密的缺陷，而且我們還倡導學生在解題時要沉著冷靜，在問題分析過程中要積極做到“不重不漏”，并且要養成反思的習慣，多問問自己：“這樣的考慮是否周全？”

三、在類比中糾正錯誤，發展思維的深刻性

例4 現有直角△APB，∠P=90°，∠A=60°，AP=1，經過點P構建任意射線l，使其與AB邊交于點D，請確定AD長度小于1的概率.

錯解：因為若AD邊的長度恰好等于1，則點D就是AB邊的中點，所以AD長度小于1的概率等于

面對學生所提供的答案，筆者沒有給出任何評論，而是讓學生進行思考這樣一個變式問題：“現有直角△APB，∠P=90°，∠A=60°，AP=1，在斜邊上任意取一點D，請確定AD長度小于1的概率.”面對這一問題，學生給出了和之前完全一致的答案.筆者啟發學生展開分析：我們必須立足于試驗來研究事件的概率，上述兩個問題中所涉及的試驗相同嗎？學生在問題引領下展開討論，他們發現原先例題的試驗是“經過點P構建任意射線l，使其與AB邊交于點D”，射線l在∠APB中任何位置的可能性是均等的，因此可以從角度比的層面上完成對概率的分析；變式問題中的試驗是“在斜邊上任意取一點D”，D點在線段上任意位置的可能性是均等的，因此可以采用線段比來完成對問題的分析.

在上述問題的處理過程中，筆者通過問題變式來引導學生展開對比化的思考，由此來驚醒夢中人.上述兩個問題只有幾個字的差別，但是在本質上發生了變化，通過類比處理，學生能夠更加深刻地把握問題的實質，他們對幾何概型的認識也獲得了提升，下次再面對類似的問題時，他們的處理也就更加自如而輕松.在日常的教學中，教師嘗試一題多變的方法，可以幫助學生看透數學問題的本質，這對學生思維深刻性的發展很有意義.

四、巧妙切換思維，發展思維的靈活性

例5求函數（fx）=x（21-3x）的最大值.

筆者讓學生以合作討論的方式處理該問題，討論過程中，學生在試探中犯錯，但又在錯誤糾正中不斷前行，逐步向正確答案靠攏.

學生甲：（fx）屬于兩數積的形式，因此可以選用基本不等式的知識來處理問題.因為f（x）=x2（1-3x）≤但是不等式的右側不等于常數，因此無法解出最大值，學生甲的這一方法沒有走通，但是他的思路卻給了別的學生一些啟發.

學生乙：可以將f（x）的二次項拆開來，使其變為兩個一次項的乘積，這樣不等式的右側即可變成常數.（fx）=x·x·（1-3x）

學生丙：右邊還沒有變成常數，還差了一些，我來試

討論過程中，學生的思維在相互討論中不斷被激活，當學生以為問題解決時，很快有學生發現拆項后，等號不再成立，問題再一次陷入僵局.但是學生沒有被困難嚇到，他們繼續探討，結合之前錯誤的原因，嘗試在拆項時讓三項能夠相等，因此嘗試將二次項x2寫成了

在探求問題的解決思路時，好的方法固然可貴，但是卻未必能立刻奏效，某些想法雖然不夠完美，不能立刻解決問題，但是卻也不是毫無價值.教師指導學生糾正錯誤的關鍵，是將錯因轉化為正確思路的引玉之磚.當錯誤出現時，如果教師立刻就對學生的思路全盤否定，這將嚴重挫傷學生的學習熱情和探究勇氣，同時這也剝奪了學生自主探究真理的機會.長此以往，這將不利于學生的思維發展.反之，教師應該鼓勵學生多方面地展開嘗試，并對他們的錯誤施以針對性的引導，促使他們不斷完善自己的思路，幫助他們走完“柳暗花明，曲徑通幽”的最后一步，這樣的過程將讓學生對科學思維形成更加深刻的體驗.

事實上，錯誤并不可怕，可怕的是面對錯誤的恐懼心理.因此，面對錯誤，無論是學生或是教師都不能諱疾忌醫，如果教師強行制止學生出錯，妄圖以正確答案來覆蓋學生的錯誤，所得到的結果往往是背道而馳的.優秀的教師應該讓學生自主探索和深度分析，徹底地將錯誤的原因分析出來，然后進行糾正，在得到正確答案的同時，學生還要總結經驗，這樣就能讓錯誤成為學生發展能力、提升思維的重要素材，這樣的錯誤才更有價值和意義.H