讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程

羅曉芳

【摘要】本文論述在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)內(nèi)容重組、新舊同化、有序拓展、難點(diǎn)突破等方面滲透模型思想，讓學(xué)生經(jīng)歷模型構(gòu)建的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的建模思維，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 建模思維 數(shù)學(xué)模型

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）03A-0063-02

什么是數(shù)學(xué)模型？張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)模擬現(xiàn)實(shí)的模型。從廣義上來(lái)說(shuō)，一切概念、方程式函數(shù)以及相應(yīng)的運(yùn)算系統(tǒng)，都是數(shù)學(xué)模型。什么是數(shù)學(xué)建模呢？就是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題的一種方法。這種方法是對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化，并建立起數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)數(shù)學(xué)模型求解，最終獲得解決問(wèn)題的方法和策略。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)并不是一張白紙，大部分學(xué)生已經(jīng)具備了探究新知的相關(guān)技能，對(duì)問(wèn)題情境中的各種信息能夠準(zhǔn)確感知，并做出判斷和選擇。因此，教師要在教學(xué)活動(dòng)中滲透模型思維，引導(dǎo)學(xué)生全程參與模型構(gòu)建的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)模型的形成，由此對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單的解讀和運(yùn)用，從而提升數(shù)學(xué)建模思維。

一、重組教材內(nèi)容，經(jīng)歷意義構(gòu)建過(guò)程

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生由于生活經(jīng)歷有限，對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題了解不深，這就需要教師根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的已有知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化和數(shù)學(xué)抽象，重組教材內(nèi)容，設(shè)計(jì)出學(xué)生更容易理解，更能夠直觀感知的教學(xué)素材，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建模意義的構(gòu)建過(guò)程，幫助學(xué)生接近問(wèn)題的本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

在教學(xué)人教版三年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)小數(shù)》時(shí)，教材以學(xué)生測(cè)量長(zhǎng)度引入，發(fā)現(xiàn)課桌的長(zhǎng)和寬分別不到一米，可以用什么來(lái)做單位呢？用分米是用整數(shù)表示，用米是用分?jǐn)?shù)表示。在此基礎(chǔ)上引入用小數(shù)表示，從而導(dǎo)入“認(rèn)識(shí)小數(shù)”的課題。但在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)用分?jǐn)?shù)來(lái)表示有難度，從用分?jǐn)?shù)表示引入用小數(shù)表示更要花大力氣，最關(guān)鍵的是因?yàn)檫^(guò)分在意分?jǐn)?shù)，就淡化了分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)聯(lián)，因此也就不能將精力放在小數(shù)的意義這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)上了。基于此，筆者對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了重組，嘗試用直觀圖引入（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生思考：這兩幅圖中陰影部分能夠用整數(shù)表示嗎？為什么？應(yīng)該怎么表示呢？

學(xué)生很快就能夠根據(jù)所學(xué)的分?jǐn)?shù)知識(shí)，得出答案：一個(gè)是[210]，另一個(gè)是[710]。此時(shí)筆者繼續(xù)讓學(xué)生思考：分?jǐn)?shù)[210]，還有沒(méi)有其他的寫(xiě)法？筆者板書(shū)[210]=0.2，引出小數(shù)的課題。緊接著引導(dǎo)學(xué)生分析探究：請(qǐng)你想一想，0.2是怎么得來(lái)的呢？學(xué)生根據(jù)直觀圖，認(rèn)為是將一個(gè)正方形等分成十份，表示這樣的兩份就是0.2。0.2還可以用分?jǐn)?shù)[210]來(lái)表示。筆者繼續(xù)追問(wèn)：“0.2表示[210]，[210]可以寫(xiě)成0.2，那[710]能寫(xiě)成什么？我們今天學(xué)習(xí)了零點(diǎn)幾的小數(shù)，零點(diǎn)幾的小數(shù)可以什么分?jǐn)?shù)來(lái)表示呢？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)，零點(diǎn)幾就表示十分之幾，十分之幾就是零點(diǎn)幾。最后，筆者設(shè)計(jì)了鞏固練習(xí)（如圖2），讓學(xué)生將分?jǐn)?shù)和小數(shù)靈活地轉(zhuǎn)換，打通了分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的意義構(gòu)建。

通過(guò)對(duì)教材內(nèi)容的重組，教師把握了學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，運(yùn)用直觀圖形讓學(xué)生更加形象地體會(huì)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，直觀地理解了小數(shù)的模型：十分之幾就是零點(diǎn)幾，零點(diǎn)幾就是十分之幾，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了小數(shù)意義的構(gòu)建。

二、新舊知識(shí)同化，經(jīng)歷結(jié)構(gòu)建模過(guò)程

學(xué)生的學(xué)習(xí)是將已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)新舊知識(shí)的同化，轉(zhuǎn)變?yōu)樽约航?jīng)驗(yàn)的過(guò)程。教師可以借助學(xué)生已有的知識(shí)，將新知放置在學(xué)生已有的認(rèn)知體系結(jié)構(gòu)中，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的滲透，讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)構(gòu)建模的過(guò)程，形成良好的認(rèn)知體系。

在教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)幾分之一》時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的教學(xué)環(huán)節(jié)，層層推進(jìn)。

1.讓學(xué)生“構(gòu)建一個(gè)物體的幾分之一”的數(shù)學(xué)模型。筆者讓學(xué)生思考：如何才能找到一個(gè)圓的[14]？（如圖3）學(xué)生認(rèn)為，只要將一個(gè)圓等分成四份，其中的一份就表示一個(gè)圓的[14]。

2.讓學(xué)生構(gòu)建“一些物體組成的一個(gè)整體的幾分之一”的數(shù)學(xué)模型。筆者出示圖4和圖5，讓學(xué)生思考：如何找出圖中這幾個(gè)圓的[14]？學(xué)生通過(guò)分一分、涂一涂，再進(jìn)行交流討論，對(duì)幾分之一有了更進(jìn)一步的感知和體驗(yàn)。

3.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“一個(gè)整體平均分”的思維模型。筆者讓學(xué)生思考：我們剛才找到的一個(gè)圓的[14]，8個(gè)圓的[14]，還有12個(gè)圓的[14]，這三個(gè)[14]有什么不同？有什么相同？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，同樣都是[14]，都是等分成四份表示其中的一份。不同在于，他們等分的個(gè)數(shù)不同。也就是說(shuō)，可以將它們看作一個(gè)整體來(lái)等分成四份，表示其中一份就是[14]。筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入：即使有20個(gè)圓、120個(gè)圓，或者更多的圓，只要將它平均等分成四份，找到它的其中一份，就可以用分?jǐn)?shù)[14]來(lái)表示。

教師利用學(xué)生的已有知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將已有經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成新的經(jīng)驗(yàn)，從“把一個(gè)物體平均分”到“把一個(gè)整體平均分”，順利實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知突破，通過(guò)新舊知識(shí)的同化，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，完成了數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)建。

三、有序拓展素材，經(jīng)歷變式建模的過(guò)程

對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)習(xí)知識(shí)和技能，更要掌握舉一反三、抽象概括的能力。數(shù)學(xué)思維具有擴(kuò)張性，教師可以從教材出發(fā)，但不能止于教材，針對(duì)教學(xué)素材進(jìn)行有序地延伸，引導(dǎo)學(xué)生借助變式進(jìn)行內(nèi)化和強(qiáng)化，讓學(xué)生對(duì)概念的表征達(dá)到一個(gè)較高水平的概括，通過(guò)思維發(fā)散和聯(lián)想，經(jīng)歷變式建模的過(guò)程。

在教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《倍的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，筆者將教學(xué)重點(diǎn)放在素材的變式練習(xí)上，讓學(xué)生通過(guò)變化，理解一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍這一本質(zhì)。原有2朵黃花，8朵紅花，又添上了4朵紅花，追問(wèn)學(xué)生：紅花是黃花的幾倍？為什么？學(xué)生認(rèn)為，紅花是黃花的6倍，因?yàn)楝F(xiàn)在紅花有6個(gè)2朵。筆者繼續(xù)進(jìn)行變式訓(xùn)練：如果去掉8朵紅花，現(xiàn)在紅花是黃花的幾倍？為什么？如果去掉2朵紅花呢？學(xué)生很快得到了答案。在學(xué)生順利完成之后，筆者又設(shè)計(jì)了稍微復(fù)雜的變式練習(xí)：如果老師要添加上1朵黃花，變成3朵黃花，6朵紅花，現(xiàn)在紅花是黃花的幾倍？學(xué)生回答兩倍。筆者追問(wèn)：紅花的朵數(shù)沒(méi)變，為什么倍數(shù)變了呢？學(xué)生說(shuō)黃花現(xiàn)在有3朵，紅花有兩個(gè)3朵，所以紅花是黃花的兩倍。也就是說(shuō)，黃花是3朵了，那么紅花就不能再兩朵兩朵地分了，而是要按照三朵一份來(lái)分，這樣就分到了兩個(gè)3朵，就表示紅花是黃花的兩倍。筆者繼續(xù)深入：如果變成1朵黃花，6朵紅花，紅花是黃花的幾倍呢？學(xué)生很自然地給出答案，紅花是黃花的6倍。此時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生審視整個(gè)過(guò)程并思考：不管紅花和黃花的朵數(shù)怎么變化，想要知道紅花是黃花的幾倍，應(yīng)該怎么想呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)討論后認(rèn)為，要想確定紅花是黃花的幾倍，就要先看黃花有幾朵，根據(jù)黃花的朵數(shù)，把紅花幾朵幾朵地分，紅花中有幾個(gè)黃花的朵數(shù)，那就表示紅花是黃花的幾倍。

教師充分利用例題，精心設(shè)計(jì)變式練習(xí)，通過(guò)不同角度組織感知素材，改變數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)屬性，讓學(xué)生深入理解本質(zhì)屬性，出現(xiàn)了不同角度的“幾個(gè)幾”，進(jìn)而讓學(xué)生真正理解“倍”的內(nèi)涵。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，實(shí)際上就是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程。在讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)體系建構(gòu)的過(guò)程中，教師緊緊抓住問(wèn)題的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)，將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，逐步感知和深入理解數(shù)學(xué)模型的價(jià)值和意義，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 林 劍）