給孩子一個思維支點讓過程性目標逐一再現

張鳳仙 湯春生

摘要：《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調：“要從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展”。我在教學植樹問題時，引導學生根據實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發現隱含的規律，經歷建立數學模型的過程，幫助學生積累數學活動的經驗，提高學生解決實際問題的能力。

關鍵詞：數學模型；植樹問題；經驗

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）10-0171-01

1.經歷解決問題的過程

在處理例1：在全長100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？這一問題時，由放手讓學生獨立獨立解決：當有學生說出學生們可能會想到的答案：“100÷5=20（棵）”，進行質疑：“對嗎？請孩子們檢驗一下”，從而引發學生的思考。接下來 引導學生經歷解決問題的常用方法──從簡單的情況入手解決復雜的問題即化繁為簡。

嘗試處理“一條路長20m，在路的一邊每隔5m栽一棵樹（兩端都栽），一共需要栽幾棵？”

這里先呈現直觀的圖示法，讓學生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個端點，一共有5個點，也就是要栽5棵樹

使學生發現植樹時確定樹苗數量的問題并不能簡單地用除法來解決。緊接著一個小男孩提出“25m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉為抽象，更是向學生滲透歸納思想──一個特例不足以說明問題，多個不同的事物才能揭示規律。然后向學生提問：“你發現了什么規律？”啟發學生透過現象發現規律，也就是栽樹的棵數要比間隔數多1。同時教材進一步提出“不畫圖，你知道30m、35m要栽幾棵樹嗎？”讓學生利用發現的規律先解決簡單的問題。

2.體會基本的數學思想

在“植樹問題”中最重要的數學思想就是模型思想，而如何讓學生理解從實際問題中抽象出數學模型的過程是教學“植樹問題”的難點。為了突破這一難點，課上突出了線段圖的教學，通過幾何直觀幫助學生理解“植樹問題”的數學模型。在探討關于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問題時，讓學生通過畫線段圖來發現栽樹的棵數和間隔數之間的關系。通過這兩幅圖，讓學生把“點”（樹）與“線”（間隔）一一對應起來，結果發現還多出一個“點”（樹），所以“栽樹棵數=間隔數+1”。對于兩端都不栽、一端栽另一端不栽及在封閉曲線上植樹的問題，放手讓學生通過遷移畫出的線段圖，并講述線段圖的畫法以及線段上的點數（棵數）與線（間隔）之間的聯系，突出“一一對應”的思想。

3.感受轉化的研究方法，積累基本的活動經驗

在面對封閉圖形中的植樹問題時，首先提示研究方法：“先畫圖試試看。假設周長是40 m……”引導學生根據已有的研究經驗──直觀作圖、化繁為簡來嘗試解決問題。當學生直觀看出能栽4棵后，并不急于讓學生探索出封閉圖形植樹問題中的規律（即間隔數等于棵數），而是進一步提出問題：“如果把圓拉直成線段，你能發現什么？”從而把學生的思維引向深處。讓學生通過觀察、思考發現，化曲為直后，封閉圖形上植樹其實可以轉化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下來，通過兩位學生的對話“我發現間隔數與樹一一對應”“相當于一端栽，一端不栽”，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規律，更是為學生溝通了知識之間的緊密聯系。

4.追溯植樹問題的根源

到這里不禁要問：植樹問題的本質到底是什么？“植樹問題”是研究“樹的棵數”與“兩樹之間間隔數”之間數量關系的問題，其實質是研究點與段的問題。如何讓學生建立“點段”關系呢？結合學生已有的知識基礎和生活經驗，從除法問題引申出植樹問題。通過“20米，每5米分一段，共分幾段”和“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹”這兩題的比較分析，一來幫助學生理解這兩道題都是平均分，二來讓學生明白兩者的區別在于平均分是一段一段地分，而植樹是種在段與段之間的點上。進而，讓學生認識到“植樹問題”只是除法意義在生活中的延伸，明白“植樹問題”其實只是點和段的問題。

整個學習的過程，孩子的思維在不斷的跳動，眼、口、手、腦多種感官參與的教學活動，讓本節課過程性目標有效達成。課后的3w問題分析，學生關于本節課what的問題、why的問題、how的問題，清晰再現！要讓過程性目標真正的落實，課上就要有學生的真參與、真活動、真思考，3w問題分析表就是檢驗其過程性是否有效落實的有效工具。給孩子一個思維的支點，經歷觀察、猜測、驗證、推理與交流等活動，使學生既學會一些解決問題的一般方法與策略，滲透“猜測──探索──歸納──應用”的解決問題的策略和化繁為簡的解決問題的方法，從而積累基本的數學活動經驗。