在信息技術(shù)支持下推動APOS理論走進課堂

趙宇寧

（海倫市第一中學(xué) 黑龍江海倫 152300）

一、概念教學(xué)設(shè)計

APOS理論最早為美國數(shù)學(xué)家、教育家杜賓斯基等人在研究個體解決數(shù)學(xué)問題過程中提出，認為這一過程實際上即是知識形成的建構(gòu)過程。在這一過程中將數(shù)學(xué)概念的建立分為四個階段：活動、過程、對象和圖式階段。[1]

本文以高中人教A版教材必修五第三章第三小節(jié)二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域一節(jié)作為教學(xué)示范案例，探討如何在實際教學(xué)中利用APOS操作理論指導(dǎo)實踐，建立數(shù)學(xué)概念的基本模型。

二、基于APOS理論的具體案例設(shè)計

1．活動、過程、對象有機整合

現(xiàn)代信息技術(shù)的快速發(fā)展，使得學(xué)生親自進行動手操作實驗變得可能，學(xué)生自己參與進去，既可以直觀的進行觀察、探索和思考，又可以感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力，能夠在很大程度上激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。而教師在這過程中應(yīng)從傳統(tǒng)的講授演示轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲗?dǎo)和參與，充分發(fā)揮出學(xué)生的主體總用，因此筆者采用了探究活動的形式，讓學(xué)生在小組合作與交流中感受數(shù)學(xué)。[2]

探究活動1

問題1：點B在直線上運動，則B的坐標滿足何種條件:？該條件又能說明點B具有什么特點？

學(xué)生觀看點B的動畫，觀察B點橫縱坐標剛好滿足x+y+3=0，得出點B坐標的特點，進而思考點的坐標與方程之間的關(guān)系得出點在直線上則點的坐標滿足方程，以方程的解為坐標的點都在直線上，得出直線與方程的對應(yīng)關(guān)系，實質(zhì)上說明幾何圖形與代數(shù)方程的對應(yīng)關(guān)系。[3]

探究活動2

問題2：點B的坐標能讓x+y+3成為一個等式，等式的方程與直線又是一種對應(yīng)關(guān)系，那么不等式是否也有對應(yīng)關(guān)系呢？任意點A的坐標與不等式x+y+3＞0（x+y+3＜0）的關(guān)系又是怎樣的呢？

學(xué)生經(jīng)過觀察后發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標系中，所有的點被直線x+y+3=0分成三類：即在直線x+y+3=0上：直線右上方平面區(qū)域，直線左下方平面區(qū)域。此時教師讓學(xué)生嘗試一下完成表1.1，點B（x，y1）是直線上的點，選取點A（x，y2），使它的坐標滿足不等式x+y+3＞0，讓學(xué)生思考滿足條件的點的坐標有什么要求。

表1

學(xué)生填完表后猜想以x+y+3＞0的解為坐標的點都在直線x+y+3=0的右上方

此時教師讓學(xué)生畫板演示A點在直線右上方運動時，讓學(xué)生觀察A點橫縱坐標變化使得式子x+y+3的值發(fā)生的變化并總結(jié)結(jié)論。

進一步讓學(xué)生思考任意點A的坐標與不等式x+y+3＜0的關(guān)系，得到A點橫縱坐標變化使得式子x+y+3的值發(fā)生變化但總是小于0的。點出以x+y+3＜0的解為坐標的點都在直線x+y+3=0的左下方。學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、動手操作后就能得出結(jié)論：同側(cè)的點能讓x+y+3符號相同，不同側(cè)的點能讓x+y+3符號相反。

進而讓學(xué)生探究對于任意直線Ax+By+C=0是否存在同樣的結(jié)論。為了解決這個問題，首先需要讓學(xué)生了解決參數(shù)對問題的影響。學(xué)生就斜率是否存在開始探討，發(fā)現(xiàn)不論斜率是否存在，對于結(jié)論“直線Ax+By+C=0同側(cè)的點會讓式子Ax+By+C同號；直線Ax+By+C=0不同側(cè)的點會讓式子Ax+By+C符號相反”不產(chǎn)生影響，同理參數(shù)B、C也是如此。

經(jīng)歷上述活動學(xué)生已經(jīng)明確二元一次不等式（組）所表達的幾何意義是具有某種特征的點的集合即可行域，可以讓學(xué)生探究、總結(jié)確定可行域的一般方法。

⑴建立直角坐標系，精確作出邊界直線（嚴格不等式畫為虛線，非嚴格不等式畫為實線）。

⑵用特殊點探測二元一次不等式Ax+By+C＞0（Ax+By+C＜0）所表示的區(qū)域，用陰影部分標出。此時教師就可以用一句口訣總結(jié)加深學(xué)生印象：直線定界，特殊點定域。還可以讓學(xué)生總結(jié)特殊點的取法技巧，直線不過原點時，就取原點試探。

學(xué)生對于A、B三個參數(shù)對可行域的確定進行探究，得出結(jié)論，可以單獨依靠參數(shù)A、B、C的正負來判斷可行域。[4]

2.“心理圖式”有機形成

在經(jīng)歷活動、過程、對象等問題的整合之后，個體對數(shù)學(xué)概念的“心理圖式”就已基本形成，運用這個“心理圖式”來解決相關(guān)問題，反過來又能促進“心理圖式”框架的清晰。對于本案例，學(xué)生的難點主要在如何發(fā)現(xiàn)變量x，y的幾何表征意義，進而發(fā)現(xiàn)平面區(qū)域與不等式（組）的對應(yīng)關(guān)系，這里需要學(xué)生運用到數(shù)形結(jié)合思想，并對問題的實質(zhì)有深入的把握，完成“心理圖式”過程。考慮到學(xué)生的知識水平和消化能力，可借助信息技術(shù)支持，多種表示手段，從激勵學(xué)生探究入手，建立合理的情境，引入恰當(dāng)?shù)淖兪剑箤W(xué)生可以從多元化角度僅進行理解，逐層加深對概念的理解，方便記憶與應(yīng)用，

筆者認為APOS理論是一種十分有益于培養(yǎng)學(xué)生探究問題的手段和方法，四個階段不可分割、互相促進、互相交融、有機的結(jié)合為一個整體，結(jié)合著現(xiàn)代信息技術(shù)成為一個當(dāng)下十分值得研究的課題，具有很重要的實踐指導(dǎo)意義，若教師運用得當(dāng)，將會為學(xué)生帶來無限的驚喜和巨大的幫助。

[1]王旭媚.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)整合的嘗試與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004,13(2): 97.

[2]敖玉剪.幾何畫板在線性規(guī)劃課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2011,(53): 78.

[3]張國治,杜娟.速定二元一次不等式表示的平面區(qū)域[J].數(shù)學(xué)通訊，2006(21): 29.

[4]王波.用幾何畫板軟件描述平面區(qū)域上的動點[J].中國學(xué)術(shù)期刊，2011(05): 174.