初中數學教學案例
——探析一次函數的圖象（第一課時）

江蘇省南京市旭東中學 丁 偉

一、教學前期準備

（一）學生學情分析

《一次函數》是蘇教版八年級數學上冊第5章的內容，在七年級的時候，學生就已經學過“變量之間的關系”，對利用圖表來表示變量之間的關系已經有了一些認識，并且也能從圖象中獲取一些信息，但是對函數和圖象之間的聯系還是比較陌生，這就需要教師重點引導，幫助學生確立函數和圖象之間的對應關系。

（二）教學任務分析

《一次函數的圖象》是在學習了一次函數的基本概念之后引入學習的第三節內容，本節內容主要介紹了正比例函數的圖象和一次函數的圖象以及兩者之間的關系。因為教學任務繁多，筆者將這節內容劃分成了兩個課時。本課時著重講解正比例函數的圖象。

二、教學目標

1.了解一次函數的圖象是一條直線，并熟練畫出一次函數的圖象。

2.初步了解繪制函數圖象的步驟：列表、描點、連線。

3.理解一次函數表達式與圖象之間的對應關系。

三、教學重難點

1.一次函數圖象的作圖步驟；

2.一次函數圖象特征與解析式的聯系規律。

四、教學方法

合作─探究；總結─歸納。

五、教學過程

（一）創設情境，導入新課

一天，小紅離開家去上學，速度是80米/分，設小紅離家的距離為S（米），小紅出發的時間為t（分），那么S和t之間有著怎樣的關系？它是我們今天要學習的一次函數么？

我們假設t=0，那么S=0；如果t=1,那么S=80。這樣，就可以列出函數表達式：S=80t（t≥0）,而這恰恰是我們今天所要學習的內容：一次函數圖象中的特殊情況——正比例函數圖象。

【小結】這個環節借助了學生較為熟悉的生活場景，讓學生在一一對應關系中畫出圖象，得出關系式，初步感受一次函數的表達式與圖象之間的聯系，調動學生的學習興趣。

（二）動手操作，自主探索

1.首先我們來學習什么是函數的圖象？

把一個函數的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫作該函數的圖象。

例1 請畫出正比例函數y=3x的圖象。

解：列表:

描點：將表格中的x、y值作為點的坐標，將其在直角坐標系中標記出來。

連線：把剛剛標記出來的點用直尺依次連接，這樣就可以得到函數y=3x的圖象了。

由上面的例子我們可以發現，畫一個函數圖象大致需要三個步驟：一是列表；二是描點；三是連線。

【小結】例1環節的設定，是想讓學生大致了解畫函數圖象的基本步驟，并試著自己作一個函數圖象，同時腦海里留下正比例函數圖象是一條直線的概念。

2.（1）畫出正比例函數y=-2x的圖象。

（2）在畫好的圖象上隨機取幾個點，找出相對應的橫坐標和縱坐標，記錄下來，看看其是否滿足關系式y=-2x。

教師將班級學生劃分為若干小組，以小組為活動單位，探究下面的幾個問題，并記錄相關結論：

（1）滿足函數關系式y=-2x中的x,y所對應的點，是不是都在y=-2x這個正比例函數圖象上？

（2）正比例函數y=-2x的圖象上的點（x，y）都滿足關系式y=-2x嗎？

（3）正比例函數y=k x（k≠0）的圖象有什么樣的特點？

解析:由上面的探究我們可以得到：正比例函數的表達式和所畫圖象是一一對應的關系，也就是說滿足代數表達式中所有對應的(x，y）值都在圖象上；滿足圖象上的所有點（x,y）都能代入檢驗正比例函數表達式。我們可以總結出正比例函數y=k x（k≠0）的圖象是一條過原點的直線。

小組討論：從上面可知，正比例函數y=k x（k≠0）的圖象是一條過原點的直線。那么在作圖的時候有什么簡單的方法？

眾所周知，兩點確定一條直線，也就是說，在畫函數y=k x（k≠0）的圖象時，只需要描出直線上的兩個點就可以了，而有一個點（0,0）是已知的，只需要再確定一個點（1，k）就可以了。

例2 在同一直角坐標系內作出函數y=x,y=4x,y=-2x,y=-3x的圖象。

解：列表：

過點（0，0）和（1，1）作直線，則這條直線就是函數y=x的圖象。

過點（0，0）和（1，4）作直線，則這條直線就是函數y=4x的圖象。

過點（0，0）和（1，-2）作直線，則這條直線就是函數y=-2x的圖象。

過點（0，0）和（1，-3）作直線，則這條直線就是函數y=-3x的圖象。

【小結】這個環節的內容主要是讓學生熟悉和掌握繪制正比例函數圖象的方法，同時引導學生在這幾個函數圖象中總結正比例函數的性質以及k值對直線傾斜程度的影響。

（三）鞏固練習，加強理解

練習1：在同一直角坐標系中分別做出函數y=3x與y=-4x的圖象。

練習2：對于函數y=-2x的兩個確定的值x1、x2來說，當x1＜x2時，對應的函數值y1與y2的關系是( )

A. y1＜ y2B. y1= y2C. y1＞ y2D. 無法確定

（四）課堂總結

提問：通過本節課的學習，同學們都積累了哪些知識點？又有哪些問題需要解答呢？

（五）課外延伸

已知正比例函數的圖象經過點（1，-2），則正比例函數的解析式為________ ，函數值隨著自變量的增大而_______ 。

【小結】這個環節的設計可以讓學習基礎較好的學生有另外的發展空間，讓他們的學習能力得到進一步的提升與發展。

六、教學反思

通過對一次函數圖象第一課時的學習，我們充分了解了正比例函數表達式和圖象之間的對應關系。教師通過數形結合的方式，創設教學情境，激發學生對于正比例函數圖象的探究興趣，并給予學生親自探索和實踐的機會，讓學生得到正比例函數圖象是一條經過原點的直線的結論。此外，教師在鞏固練習中引導學生積極思考問題，不斷提升學生解決問題的能力。