基于核心素養的高三數學復習課教學案例研究

陳誠

摘 要：本文對課本上的兩個經典例題進行深入的研究，綜合高中各個板塊的知識，各種解題的基本技巧與方法，將我們的高三復習課堂變得有滋有味，從而提高學生分析問題與解決問題的能力，提高學生對數學研究的興趣，進而提高數學的數學素養，達到復習課堂的雙贏。

關鍵詞：高三復習；課本經典例題 探究；核心素養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2018）08-071-01

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現在高三的數學復習課堂充斥著大量的試題，如何使之有用，真正提高學生的數學核心素養與能力，是我們高三數學復習課堂應該關注的焦點，尤其針對經典例題的教學，如果我們給學生一個平臺，說不定學生給我們的是一片天空！以下筆者以普通高中課程標準實驗教科書中的一個經典例題為載體，使學生在解決問題的過程中“明其術，通其法，融其身”

案例 人民教育出版社《數學選修4-4》第4頁有這樣一個例題：

已知ΔABC的三邊a，b，c滿足b2+c2=5a2，BE，CF分別為AC，AB上的中線，建立適當的平面直角坐標系探究BE與CF的位置關系。

解法：如圖1，以ΔABC的頂點A為原點O，邊AB所在直線為 x軸，建立直角坐標系。（具體推導見課本）

探究

你能建立與上述解答中不同的直角坐標系解決這個問題嗎？比較不同的直角坐標系下解決問題的過程，你認為建立直角坐標系時應注意些什么？

以上解法與探究都是課本所提供，編者意圖是落實坐標方法，如果放入高三復習的大環境中，適當開啟學生的思維，做一下探究，相信學生會覺得這樣的復習課趣味無窮，學生的數學核心素養會得到更大的提升！

探究一：在解答過程中的關系式2x2+2y2+2c2-5cx=0 你有什么想法？

可以考察學生對數式結構特征的直覺能力和方程的軌跡的認識。

如：方程2x2+2y2+2c2-5cx=0即 2+y2= c2.此表明，若邊c固定，則點C的運動軌跡是圓（不含邊c所在直線上兩點），而且該圓經過點F.

探究二：已知ΔABC的三邊a，b，c，BE ，CF分別為AC，AB上的中線，則b2+c2=5a2是BE⊥CF的充要條件嗎？

根據解答過程，發現可逆，易知為充要條件。

探究三：你能用尺規作圖，畫出一個滿足上述條件的三角形嗎？

在探究二的基礎上易得如下畫法：

第一步：任作一線段AB，取中點F；第二步：過點F任作一射線FG（不與AB重合），過B做FG的垂線，垂足為G；第三步：以G為圓心，FG為半徑作圓與射線FG相交于點D， 以D為圓心，DG為半徑作圓與射線FG相交于點C，則FC=3FG；第四步：連接BC，AC，△ABC即為一個滿足上述條件的三角形。

探究四：若邊c固定，借助信息技術，你能發現BE與CF的交點的軌跡有特殊規律嗎？若有，能否證明。

有了探究二，利用幾何畫板軟件就可以作圖（如圖2），再進而作出軌跡，層層遞進，為學生運用現代技術手段進行研究創設條件，激發興趣，孕育科學發現的契機。

解法一（相關點法）：如圖，以ΔABC的頂點A為原點O，邊AB所在直線

為x軸，建立直角坐標系。由已知，點A，B，F的坐標分別為

A（0，0），B（c，0） 設點C的坐標為（x0，y0）.則G （后面解法略）

解法二（定義法）：因為∠FGB=90°，所以點G在以BF為直徑的圓上。

探究五：本題可看作是一個解三角形問題，所以點C的坐標還有別的設法嗎？

如果考慮到邊長，一般會做如下設法：

設點A，B，C的坐標分別為A（0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）.（后面解法略）

探究六：平面向量在很多地方都大顯身手，在這里可以嗎？

南宋詩人朱熹的《觀書有感二首》寫到：半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊。問渠哪得清如許？為有源頭活水來。我們高三復習課堂這“半畝方塘”是有那永不枯竭的源頭——教材，她源源不斷地給它輸送了活水——經典例題。面對當前高三學生數學學習興趣不濃，學習枯燥乏味等問題，根據高三學生的生理與心理特征以及數學知識的儲備，筆者認為我們在這“半畝方塘”中將教材中的經典例題這些“源頭活水”做些歸納整理與探究，從而讓老師與學生在我們的課堂上“共徘徊”，那是一件多么幸福的事情啊！

[參考文獻]

[1]劉紹學，主編.普通高中課程標準實驗教科書《數學》（選修4-4）[M].北京：人民教育出版社.2007.4.

[2]劉紹學，主編.普通高中課程標準實驗教科書《數學》（選修2-1）[M].北京：人民教育出版社.2007.81.

[3]黃元華.一道課本例題的結論拓展及其應用[J].中學數學教學參考，2011（4）：26-28.