理工融合 激發興趣模塊化微分方程課程教學實踐

向妮　陳立　毛井

摘 要 以興趣為先導，融合理工學科背景，模塊化解析微分方程課程教學實踐；凸顯微分方程課程教學：理科夯實基礎理論；工科創新運用數理方法。

關鍵詞 微分方程 教學方法 教學實踐

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.01.035

Integrate Science and Engineering， Stimulate Interest， Modular

Differential Equation Teaching Practice

XIANG Ni， CHEN Li， MAO Jing

（Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan， Hubei 430062）

Abstract Taking interests as the guide， integrating the background of science and engineering， modular teaching of differential equation courses； highlight the differential equations teaching： science compaction basic theory； engineering innovation using mathematical methods.

Keywords differential equations； teaching methods； teaching practice

1 微分方程的課程特點和現狀

微分方程是現代數學的一個重要分支，它的任務是建立數學模型，尋求各種求解方法、進行理論分析，從而達到解決現實問題的目的。作為數學專業的一門主干課程，課程教學的宗旨在于培養學生的抽象思維能力，邏輯推理能力以及數學計算能力，并為后續課程的學習打下基礎。隨著教學實踐的深入研究，現行教學體系已呈現諸多弊端。[1]

（1）教學內容求多：在湖北大學數學與應用數學專業，微分方程本科階段開設了“常微分方程”和“偏微分方程”兩門微分方程的課程，分別安排在大學二年級的專業必修課和三年級專業選修課。常微分方程的教學內容包含初等積分法、存在唯一性定理、高階方程、常微分方程組以及非線性方程的穩定性等內容；偏微分方程其主要核心內容是三種方程四種方法。教學內容繁多，難度大，內容處理精細且抽象。我們對課程內容進行優化處理，在大綱基本要求下，把解對初值的連續依賴性、可微性；貝塞爾方程；Laplace變換；偏微分方程的定性理論分析[2]中的內容作為選學內容，在課堂上教師只作簡單的指導，有興趣的學生利用討論班的形式進行講解。由于學校教學課時的調整，微分方程授課總課時大大減少，使得必要的知識點難以充分展開，在新形勢下有待于對微分方程的教學模式以及學生的學習方式做進一步的實踐探討。

（2）工科內容理科化：一方面嚴密的公式化推導雖然讓學生領會到數學的技巧，但缺乏對所學內容物理背景的理解；另一方面雖然學生學了很多的理論知識但是遇到實際問題依然無從下手。面對新世紀人才培養的要求，我國高等學校中的微分方程教學將面臨嚴峻的挑戰，新的形勢和面臨的任務需要對這些課程的教學進行深入改革，以適應復合型人才培養的需求。我校微分方程這門課程不僅在數學系開設，它也進入了電子信息工程，材料科學工程等工科專業的課程體系，但缺點是理科和工科所開設的課程中學生和教師都缺乏溝通與聯系，互相之間沒有做到取長補短，沒能使理科學院在講授基礎推導的優勢以及工科學院在講授物理背景的強項相互融合，理工科學生在學習上也很少有機會交流學習心得。

（3）學習興趣缺失：由于微分方程理論知識過多，應用性知識不足，實踐活動的欠缺，所學知識脫離現實生活，造成學生學習缺乏目的性，從而導致學習興趣的缺失。隨著科技的進步，微分方程不僅僅局限在描述客觀世界中起到關鍵作用的物理規律，例如流體力學問題中的Navier-stocks方程，用來描述物理中波傳播的波動方程，主要由傳熱和擴散現象導出的熱傳導方程等。目前其應用領域已延伸到其他學科領域，例如自然科學、工程技術、經濟管理、人文社會學等。這門古老而又嶄新的應用數學課程，不僅需要學生具有良好的數學基礎知識儲備，而且要求教師在授課過程中結合多種教學方法，課后訓練習題以及實例不斷提高課程教學質量，將課堂理論知識融入到交叉學科中解決實際問題。

2 理工融合，模塊化教學實踐

2.1 順應創新創業人才培養要求

創新源于思想、觀念的升華，取決于實踐中科學發現。具體到微分方程課程教學中涉及到：課程內容選擇、授課方式的出新、教學手段的直觀理性以及課程實踐的完善等等。微分方程課程中的概念抽象、公式多、邏輯性強、定理論證煩難，初學者往往不易理解和接受。如何發掘并實現課程教學的創新人才培養途徑，湖北大學數學學院微分方程課程教學團隊結合國家理工融合戰略背景，采用模塊化教學實踐，融合傳統的啟發式、發現式教學法，巧妙移植物理背景的直觀、生動的特點，從激發學生學習興趣為依托，較好地完成了該課程在湖北大學的教學，取得了超出預期的效果。

2.2 模塊化教學實踐

2.2.1 模塊化之教學內容分層次

模塊化教學：理科側重理論教學、強調數學分析水平，注重存在唯一性定理、微分方程中定性理論等理論知識的講解；工科（電類）：有意識地介紹一些利用微分方程建模的實例引導學生領會數學建模的一些基本思想同時指導他們根據建立的模型利用Matlab軟件找出問題的解。教學中先給學生播放某無人機模型研發團隊制作的演示視頻，吸引學生的興趣，在觀看無人機的各種飛行技巧之余，讓學生尋找該團隊在視頻中闡釋的各種微分方程（組）模型的用途，使得學生對微分方程的定義更直觀，也讓他們從實例中了解微分方程的應用價值，體會用數學語言表述科學問題，求解數學問題并用科學語言解釋上述問題的過程。

2.2.2 模塊化之教學案例（體現微分方程的自然引入）

在教學中注重問題的提出及其背景，穿插相關的歷史與人物軼事，活躍課堂氣氛，提高學生的學習積極性與熱情。偏微分方程的第一堂課上，我們以生活中的偏微分方程為主題制作PPT，利用各種圖片、動畫事例給學生展示各個領域的微分方程。帶領學生體會時下熱門的經濟學、圖像處理等領域出現的微分方程模型。比如在數字圖像處理領域，[3]從1895年德國人倫琴發現X射線到通過海底電纜從英國倫敦至美國紐約傳輸的第一幅數字圖像講起，在微分方程建模基礎上，采用壓縮技術，將原來需要傳輸一個星期的過程壓縮到了三個小時以內，同時也介紹微分方程在圖像去噪、放大、修復、去彩等技術中的應用；在期權定價理論中我們給學生介紹著名的Black-Scholes模型；在介紹熱傳導方程的推導之前給學生講傅里葉與《熱的解析理論》的故事，介紹他對熱傳導問題的精湛處理，開創數學物理學的嶄新領域。結合團隊的科研成果，給學生介紹相關的一些數學模型的推到。

例1[4]講述最優運輸問題的發展簡史。介紹1987年法國數學家Brenier在研究流體力學時建立了最優運輸問題和Monge-Amp鑢e方程間的聯系，他證明最優映射實質上是某個凸函數（或勢函數）的梯度，且滿足如下形式：

例2[4]幾何光學的光線反射和折射問題中也可以導出Monge-Ampre 型方程，這類問題涉及到反射和折射拋物面形狀的設計，具體還可細分為遠場和近場光學。光線反射在遠場光學中的描述可以認為是一種費用函數為c（x，y）=-log（1-x y）的最優運輸問題。光線反射在近場光學中的情況略有不同，以平行光反射問題為例，對應的方程為：

例3[5]超弦理論的緊致化研究中，Candelas， Horowitz， Strominger， Witten構建了極大對稱的四維時空M上的度量積，其中M含有10維時空中的6維Calabi-Yau真空。與此同時，Strominger為了達到時空超對稱化的目的，提出了Strominger模型。Fu，Yau將Strominger模型轉化為如下方程：

在課堂教學模式的選擇上，我們采用傳統黑板教學+多媒體教學模式相結合的方式進行。根據微分方程內容的特點，分析確定具體內容和實施方案。凡涉及到證明思想、方法等思想深刻的內容仍然用傳統教學方法，（如常微分方程的存在唯一性定理的證明）；對于內容相對淺顯、學生容易理解的問題，特別是空間圖形的演示，充分發揮多媒體課件的作用，既能在較短的時間內既講清思路和方法，也增加信息量，提高教學效率。

2.2.3 模塊化之教學實踐（實驗室教學一塊：程序實現——工科必要的內容）

由于微分方程課程本身特點，學生學起來比較困難，課程組全體老師公開電話、郵箱、微信或者QQ號，以加強聯系。通過這些媒介，我們及時收集反饋信息，了解學生狀況。每次課前10分鐘先采用多媒體教學模式回顧上節課的核心內容，再解答部分學生問題。每周我們設定固定時間幫助學生解決一周之內所學內容的難疑點。每周課后的答疑及時解決了學生一周之內所學內容的疑難點，為下一步的學習掃清障礙。我們將一些經典的網絡教學視頻發給學生，幫助他們在課余輔助學習。

因材施教，我們探究和實施了適合學生水平和課程特點的自學討論式、啟發探究式教學法。針對學有余力的學生，將他們吸引到我們所從事的科研課題中來，帶領他們參加討論班，拓寬視野，引導他們閱讀外文文獻，使他們的科研能力得到初步的訓練。教師精細設計課程內容載體，實行以主題發言為主線的模式。為形成研究討論問題的氛圍，在授課班級內將學生分成若干個學習討論小組，為學生創造自主的創新性學習最適合的環境。加強數學實驗、數學建模等實踐環節的教學與指導，鼓勵興趣小組的學生積極參加各類數學競賽、全國大學生數學建模比賽等活動，促使他們在實踐中體會微分方程這一貼切的數學語言在描述科學結論時發揮的作用和魅力。

為改變學生只重視考試，臨考之前“抱佛腳”的習慣，我們加強平時成績的考核比重，將以往4：6分的成績比例調整為5：5分，使得平時成績的比例提升，促使學生積極參與到課堂教學中過來。我們將數學建模競賽中與微分方程相關的題目進行總結歸納，挑選出合適的題目化簡整合之后作為討論課的主題，讓學生們進行講解并形成小論文，而討論課上的表現和課后小論文都成為平時成績的加分環節；在期末考試中我們增加面試環節，不僅測試學生對知識點的把握情況，而且考查其綜合素質和創新能力。[6]

例4 腐敗人數的預測模型

現如今，我們常常能看到一些政府官員因腐敗而落馬的報道，隨之牽連出大批涉案分子。然而大量被牽連的腐敗分子為逃避法律制裁，往往東躲西藏。在已牽連出的腐敗分子人數基礎上，預測一下總的涉案人數，建立一個牽連出腐敗分子人數的預測模型。請給出合乎實際的假設來建立相應的數學模型，并對建立的模型進行理論分析或數值模擬。

例5 偏微分方程的人口模型

人口問題是一個很復雜的生物學和社會學問題。由于資源的有限性，當今世界各國都注意有計劃地控制人口的增長。假定種群的密度在空間分布是不均勻的情形下，高密度的種群將向低密度的種群擴散，即對于一個種群而言，它的位置隨時間和空間變化，假設P（x，a，t）表示任意時刻t按年齡a在位置x處人口的分布密度，這樣的模型將滿足何種偏微分方程？

例6交通十字路口，黃燈設置

為了讓那些正行駛在交叉路口或離交叉路口太近而無法停下的車輛通過路口，紅綠燈轉換中間還要亮起一段時間的黃燈。對于一位駛近交叉路口的駕駛員來說，萬萬不可處于這樣的進退兩難的境地：要安全停車則離路口太近；要想在紅燈亮之前通過路口又覺太遠。那么，黃燈應亮多長時間才最為合理呢？

3 結語

在湖北大學《創新思維導向的微分方程課程開放式實踐教學體系的研究》教改項目的資助下，微分方程課題組開始對現有課程內容和教學方法進行改革探索，遵循學生的認知規律和能力培養規律，構建課程模塊與知識結構，合理安排教學內容，科學設計教學環節，合理分配教學時數，恰當組織教學單元的設計和知識點、技能點的拆分；理論聯系實際，合理安排課內講授與課外輔導，融知識傳授、能力培養、素質教育于一體；形成一套適合我院數學專業基礎并能綜合反映教學理念、教學內容和教學方法的教學方案。

轉變傳統教學觀念：“教師教好”轉變為“興趣至上”；改變教學單純的書本知識傳授的教學理念，將知識傳授和學生創新素質培養有機結合起來。實現教學模式從單純重視知識、技能的傳授轉向注重學生學習能力、實踐能力、創造能力的培養，構建“以學生為主體，激發興趣，促進學生自主學習”的教學體系。

強化實踐教學：以理筑基，理工融合。以工程試驗作為科研實踐活動為形式的自主學習能力的培養。鼓勵學生積極參與大學生創新創業計劃，學以致用。提高自主學習能力以及創新實踐能力。

基金項目： 湖北大學教學改革項目：創新思維導向的微分方程課程開放式實踐教學體系的研究，湖北大學教學改革項目：新形勢下研究生幾何課程教學探究

參考文獻

[1] 湯燕斌，吳娥子.應用偏微分方程課程教學改革探討[J].大學數學，2013.29（3）：1-4.

[2] 王明新.偏微分方程基本理論（1版）[M].北京：科學出版社，2009.

[3] Rafael C. Gonzalez， Richard E. Woods. 數字圖像處理（3版）[M].北京：電子工業出版社，2015.

[4] Y.Brenier. Decomposition polaire et rearrangement monotone des champs de Vecteurs[J].（French） C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math.，1987.305（1）：805-808.

[5] J.X.Fu， S.T.Yau. The theory of superstring with flux on non Khler manifolds and complex Monge-Ampre equation[J].J. Diff.Geom.，2008.78（3）：369-428.

[6] 崔娜，沈啟霞.常微分方程在數學建模中的應用[J].應用技術研究，2011.4（1）：42-44.