牛頓力學和拉格朗日力學的聯系和區別

摘要：質點力學的問題，既可以用牛頓力學也可以用拉格朗日力學（還有哈密頓原理）中的任何一種基本原理來表述。經典力學中惟一可以用實驗加以驗證的是牛頓第二定律，也正是這一定律，構成了牛頓質點力學的基礎，而拉格朗日力學卻要求抽象的虛位移、虛功，顯然這種依賴于思維的原理是不可能用實驗加以驗證的。、

關鍵詞：牛頓力學；拉格朗日力學；聯系；區別

下面就兩種力學理論的主要聯系和區別進行說明：

一、兩種理論的區別

（一）力學規律的比較

牛頓力學的基本觀念：時間的絕對性與時空分離的觀念，使得它只適用于物體運動速度遠小于光速的范圍，為了擺脫經典概念的束縛，而且成為自然地過渡向非經典力學的橋梁，拉格朗日力學為這種過渡做出了最好的準備。

拉格朗日方程是以達朗伯原理為基礎，而達朗伯原理的出發點是牛頓運動方程，后面進行的所有推導都只是改變表述的形式。如引進廣義坐標是為了使變量獨立，利用虛功原理是為了去掉約束力的貢獻，這些過程既沒有增加也沒有減少力學規律的內容。但它得到的力學系統在完全一般性廣義坐標描下具有不變形式的動力學方程，概括了比牛頓力學要廣泛得多的系統，同時它也提供對力學系統的動力學、穩定性、振動方程作一般性研究的可能，并發

展研究了非完整系統，特別是非線性完整系統的研究。

（二）理論研究的切入點的比較

拉格朗日力學與牛頓力學的著眼點是不一樣的。牛頓力學方法是以質點為對象，把著眼點放在作用于物體上的外界因素（力），在處理質點系統問題時，須分別考慮各個質點所受的力，然后來推斷整個質點系統的運動，而拉格朗日在處理問題時，以整個力學系統作為對象，用廣義坐標來描述整個力學系統的位形，著眼于體系的能量（如動能和勢能）概念。實際上在拉格朗日表述中沒有一處引入過力的概念，這主要是因為能量是標量，并且一系統的拉格朗日函數是不隨坐標變化而變化的；在力學系統受到理想約束時，可在不考慮約束力的情況下來解決系統的運動問題；另外牛頓力學用矢量（如力速度、角速度、力矩等）形式來考慮力學系統，而在拉格朗日力學中運動方程完全是在位形空間以標量運算的形式獲得的因而往往我們可以把在普通空間中很復雜的運動方程變換到位形空間，并適當選擇位形空間可使問題得到很大的簡化如求解雙擺問題、陀螺運動等等）。

（三）方程形式的比較

拉格朗日動力學方程取較簡潔的形式。對于有n個質點所組成，受到k個約束條件限制的力學體系，應用牛頓定律將需要3n+k個方程聯立求解，而用拉格朗日方程只有3n-k個，約束越多，這一優點就越明顯。另外，在上述已談到，牛頓運動方程是從物體受力角度導出的，而拉格朗日方程是從能量的角度來寫動力學方程的，這樣的好處是：一是，力是矢量，能量是標量，一般來說處理標量比處理矢量要方便。二是，力僅是力學范圍內的一個物理量，而能量則是整個物理學的一個基本物理量，這就為把力學規律應用到其他物理學領域開辟了可能性，使拉格朗日方程成為力學和物理學其他分支相聯系的橋梁。但由拉格朗日方程得到的各種表達式的物理圖像，又不如應用牛頓運動方程式那樣直觀和簡單。

二、兩種理論的聯系

從以上我們看到似乎牛頓力學與拉格朗日力學的觀點有著根本的差異，好像是兩套理論來解力學問題，其間沒有相同的地方，實際上，這是一種表面現象，由下面我們可看到它們對質點動力學所做出的正確描述都是等價的，只不過是觀點不同，而結果是相同的。

122.1兩種理論的方程

考慮保守情形考慮保守系情形，選取直角坐標為廣義坐標，對單個質點：

拉格朗日方程為：

i=1，2，3……

拉格朗日函數：L=T-U

方程可寫為：

對保守系：

故上式可寫為：

又對保守系：

則

即

這正是牛頓第二定律的表達式，表明在廣義坐標就是直角坐標情形下，拉格朗日方程和牛頓動力學方程是完全等價的。

2.2兩種理論的力的分類

在質點系牛頓力學，將力分為外力和內力的結果，導致了有關內力的一個特別的公理，即牛頓第三定律：

同樣，拉格朗日力學中每一個有界力要不是一個“約束力”，要不就不是約束力（稱之為“給定力”），也需要有一個關于約束力的特別的公理，這個公理就是達朗貝爾原理：在質點系動力學問題中，約束力總體可以不予考慮；單從力分類所存在的公理角度來看牛頓力學與拉格朗日力學等價，這種等價只是對應于內力和外力、約束力和給定力所各自相應的公理存在而言。當然，不管是內力還是外力都可能包含有約束力和給定力，也就是它們對力的分類是不相當的，不過在這我們只是從存在的“公理”來看等價的。

3.總結

綜上所述：牛頓力學在數學處理方面著重于幾何和矢量的應用，拉格朗日力學則偏重于解析數學，它們處理問題的出發點不一樣，但所得的結論是一致的。在學習中我們看到在拉格朗日力學中并沒有在任何意義上建立新的理論，只不過是在力學中引人虛位移和虛功的概念把牛頓觀點進行擴展的結果，這也正是這兩種不同風格的力學理論，在力學范疇內所包含的內容完全等價的原因所在。但我們也看到，由于拉格朗日力學具有普適的表達方式，使它有可能超越力學范圍，推廣到其他學科中應用。

【作者簡介：翟晨光 （1998-） 男 漢族 河北石家莊市人 學生 本科 西北工業大學 飛行器設計與工程 】