函數圖象中蘊含的幾個辯證觀點

楊淑榮

摘要：為培養學生辯證唯物主義世界觀，結合教材中相關知識，根據學生的認知水平，適當組織教學內容，進行概括和抽象，將數學知識與哲學思想相結合，使學生的思維方式得以拓展，培養既有深度又有廣度的分析綜合能力。在函數及圖象中，蘊含的辯證觀點極為豐富，正如恩格斯所說的“教學中的轉折點是笛卡兒的變數，有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了。”

關鍵詞：函數圖像；概括和抽象；理性認識；哲學思想

一、常量與變量

辯證法認為，世界上的萬事萬物，都是相互聯系運動、變化和發展的。常量，是相對于某個過程或另一個變量而言的，絕對的常量是沒有的，因為物質的運動是絕對的，靜止是相對的，故物動則變；既然如此，相對的常量是有的，絕對的常量是不存在的，因此，在教學過程中，為幫助學生認識常量與變量這一辯證關系不妨取如下實例：勻速直線運動中，速度是常量，時間與路程均為變量，且人在實際運動的過程中，絕對的勻速運動是沒有的；例如在一個學生騎車回家這一日常易見的運動過程中，也免不了加速、減速、剎車等情況，教學實踐表明，要使學生認識常量與變量這一辯證關系，就必須多形式、多角度、多層次地予闡釋。

二、運動與靜止

根據人類認識事物的客觀規律及實踐和知識的發展水平，我們可結合教材中的具體教學內容，引導學生逐步認識事物的絕對運動與相對靜止這一辯證關系。例如，畫出的y=2x2+x+4的圖象去思考：這個圖象表面上是靜上的，但從列表、描點到連線的過程去看卻是運動的、變化的。再進--步挖掘，可以發現：畫成的圖象表面上是完整的，其實是不完整的，因為它還可以向兩方無限延伸，即不斷運動、發展和變化，畫出的函數圖象永遠只能是局部的，它只能是某個函數圖象的一個象征物，體現了部分與整體的辯證統一。

三、特殊與一般

辯證法認為，一般性寓于特殊性之中。例如教材分析了：（1 ）y=ax2與y=ax2+k；（2）y=ax2與y=a（x-h）2（3）y=ax2與y=a（x-h）2 +k，它們之間的關系，均是典型的特殊與一般之間的關系，而這一關系又是辯證統一的；為利于學生認識事物的本質屬性，教材中總是先介紹簡單的、特殊的內容，然后再逐步推廣、加深到較復雜的、更一般的內容，從而引導學生逐步認識事物的本質屬性，掌握對事物的認識規律。

四、現象與本質

在物質世界中，沒有一定的現象，就不能表現出事物的本質，而且其本質常常寓于現象之中。當然，個別現象不一定能暴露出事物的本質，因為本質是若干同類現象的寓歸。例如，學生可以順利地判定方程組的解集為空集，而相對于認識“y=4表示一條平行與x軸的直線與二次曲線y=x2+2x+3自然沒有交點”，屬于對事物表象的認識，只有達到透徹理解二次函數的概念與性質以后，才算是認識了事物的本質。一元二次方程x2+2x+3=0為什么沒有實數解？函數y=x2+2x+3的圖象與x軸為什么沒有交點？函數y=x2+2x+3的最小值是多少？學生從 “列表一描點一連線”，直觀地看到拋物線y=x2+2x+3的頂點的位置，以及得到了最小值，實現了由淺入深，由現象到本質的認識過程。這類問題中，方程沒有實數根或圖象與x軸沒有交點，或頂點在x軸上方，均是現象，而問題的本質，恰恰是“一元二次方程根的判別式”的值的狀況對于這類問題的制約。

五、量變與質變

本章體現量變與質變觀點的內容，例子很多，要使學生深刻認識這些內容卻是很困難的因而我們在教學時宜逐步引導，點滴滲透，而后去系統推進對這些內容的理論。（1）對于一次函數y=kx+b.若從k≠0變為k=0，情況如何？（2）二次函數y=ax2+bx+c中，規定a≠0；若令a=0情況何？（3）反比例函數y=1/x中，自變量x的取值范圍是x≠0；如果x=0.或y=0，又將如何？（4）對于y=kx+b，從k>0變為k<0，則其變化特征如何相應變化？（5）對于二次函數y=ax2+bx+c，若△>0變為△=0或△<0，相應的函數圖象及性質將如何改變？（6）對于周長確定的矩形，當相鄰邊長均為等長時，面積的大小有何特征？（7）對于一般的二次函數y=ax2+bxtc，從x<0，變為x=0再變為x>0，其増減趨勢如何相應地改變？

六、有限與無限

事物的數量中，有限總是表現為具體的，而無限則是抽象的，它是一種運動無限延長的過程，是事物的一種變化發展趨勢，是一種抽象的理念，需反復滲透方可形成一定程度的認識。（1）學生準確地“畫出函數y=2x-1的圖象”，其實只是畫出了這個函數圖象的有限部分，即用有限的部分去“表示”“無限”的趨勢。（2）列表、描點、連線，畫出拋物線，顯然也只是畫出了函數圖象的一“部分”，用“有限”的一些點“確定”其“大致”位置、形狀大小。

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