反比例函數單元教學起始課教學研究

☉江蘇省南通市啟秀中學 李庾南

☉江蘇省海安市城南實驗中學 劉東升

一、“反比例函數（第1課時）”教學現狀分析

目前一些版本初中教材在反比例函數的起始教學時，都是從生活問題引入，定義反比例函數的概念，并跟進一些鞏固概念的例、習題訓練，比如，練習列出反比例函數關系式的習題，反復操練、變式再練，等等.直到第2課時才組織學生研究反比例函數的圖像和性質.由于第1課時的教學任務簡單，不少優秀學生處于“空轉”狀態.為此，我們重組教材，開展單元教學，在“反比例函數（第1課時）”就組織學生研究圖像和性質，并且注意引導學生在觀察解析式特點、表中的數據特點上“慢”下來，內化、理解反比例函數的圖像和性質，取得了較好的教學效果.

二、“反比例函數（第1課時）”教學設計

教學環節1：由圍長方形問題引入新課.

問題1：設圍成長方形的長為xcm，寬為長的一半，則面積S是x的函數嗎？

問題2：設圍成長方形的長為xcm，寬為ycm，當面積為6cm2時，y是x的函數嗎？

設計意圖：學生前面學過二次函數的概念、圖像與性質，繼續學習反比例函數時，容易找到知識的生長點和研究方法的生長點.通過圍長方形問題可以復習二次函數的概念，將圍長方形問題稍作改編就可以引出反比例函數的概念，進一步啟發學生自主研究反比例函數的圖像與性質.

教學預設：學生很快答出問題1中，S是x的二次函數；問題2中，y是x的函數.教師追問學生能否求出y關于x的函數解析式，學生很快寫出，并從函數的概念說清了道理.順便復習了函數的概念，特別是“單值對應”的函數本質.隨后，教師追問學生如何給函數取個名稱，學生都會回答反比例函數，教師順勢在黑板上書寫課題，并告知學生本課的研究課題就是反比例函數.

繼續安排學生對反比例函數給出一個描述性定義，為了便于學生有一定規范的表述，在學生活動中設計了“留白”式填空：

定義：形如___________的函數，叫作___________.在學生參與下，定義了“形如（k為常數，且k≠0）的函數，叫作反比例函數”.

教學環節2：探究反比例函數的圖像和性質.

教學組織：同學們在之前學習函數時積累了不少經驗，你們覺得接下來如何研究反比例函數呢？（研究圖像與性質）接下來從哪個具體的反比例函數開始呢？）（教師書寫到黑板上）你們準備怎樣研究的圖像與性質呢？（列表、描點、畫圖）

到此，教師要給出如下引導語，讓學生不急著列表、描點、連線，而是慢下來、停下來，指出：我們現在研究函數圖像的經驗更豐富了，下面我們不急著列表（取數對），而先來觀察函數解析式，你們能看出它對應的函數圖像的哪些性質呢？

學生不動筆，只是獨立觀察、思考、想象，1分鐘后，安排在小組內交流各自的發現，然后全班匯報交流.

過渡：同學們的發現很豐富，接下來我們就選擇一些恰當的數對列表，注意我們在列表后，仍然不急著到坐標系中描點、連線，還是觀察表格中數對的特點，對比剛才大家的關于函數圖像與性質的發現或猜想，看看是否能得到進一步的確認或豐富.

學生分組取數對、列表，教師巡視，并安排其中一名學生到黑板上列表分析，然后全班交流.

教師在所列表格上進行標注，如圖1所示：

圖1

在標注后，安排學生對照表格描述函數的增減性，加深新知理解.然后把互為相反數的自變量的值對應起來觀察對應的函數值有何特點.（比如，這些點關于原點對稱，教師板書到相應位置）

圖2

接下來安排一個學生歸納、概括反比例函數的圖像與性質有了哪些內容，教師對板書的圖像與性質進行進一步提煉、整理，然后安排學生把表格中的有序數對對應到坐標系中，描點、連線，生成函數圖像后再由學生描述該函數圖像的特點.

從特例走向一般，完善歸納：同學們從k＝1這個特例出發，探究了反比例函數的圖像及其性質，現在小組內再合作研究一下，當k＝2、6時，前面探究得出的反比例函數的圖像和性質是否仍然成立？

教學環節3：梳理小結，完善“結構化”的板書.

學生分組研究后，紛紛確認、歸納出如下性質，教師板書.

當k＞0時，函數圖像為雙曲線，分布在第一、三象限；當x＞0時，y隨x的增大而減小，當x＜0時，y隨x的增大而減小.

接著成果擴大，學生分組討論后容易想到，當k＜0時，反比函數的圖像與性質如下：

當k＜0時，函數圖像仍然為雙曲線，分布在第二、四象限；當x＞0時，y隨x的增大而增大，當x＜0時，y隨x的增大而增大.

教師在學生回答的基礎上，填補到黑板上，與學生共同歸納小結，梳理完善并形成板書（如圖3）.

圖3

教學環節4：布置作業.

預設一道開課階段“問題2”的變式題，訓練本課內容.

改編題：已知y是x的反比例函數，當x＝2時，y＝3.

（1）求y與x的函數解析式；

（2）該函數圖像在第________象限；

（3）若點A（x1，y1）、B（x2，y2）在該函數圖像的一支上，當x1＜x2＜0時，你能判斷y1、y2的大小嗎？

三、教學立意的進一步闡釋

1.單元教學的關鍵在于深刻理解教學內容后重組學材.

“自學·議論·引導”教學倡導單元教學，基于數學知識的內在聯系，深入研究教學內容，整合教材內容，反對迷信教材（特別是按教材亦步亦趨），追求的是從“教教材”走向“用教材教”.以反比例函數單元教學的起始課為例，如果只是“照著教材講”，一節課組織學生學習反比例函數概念，大量地練習訓練與反比例函數概念相關的習題，是一種較低趣味的“應試”課型，學生之前通過函數知識積累而來的一些研究方法、基本套路都沒有得到運用.基于以上認識，我們重組了教材，在反比例函數起始課就從學生研究經驗出發，從一個簡單的生活情境引出反比例函數的定義，再由簡單出發，研究圖像和性質.整節課自然而成，新知自然而然地生成并漸次推進，很好地詮釋了“自學·議論·引導”提出的“學程重生成”的操作要義.

2.畫反比例函數的圖像之前可讓學生在“兩處”停留.

關于函數圖像的教學，不少教師片面強調“列表、描點、連線”的操作步驟，然而在面對特殊形式的函數圖像（如一次函數、二次函數及反比例函數）的探究時，不能只是機械地執行“列表、描點、連線”三步驟，而要引導學生在兩處停留.第一處是面對解析式時要停下來，組織學生認真觀察解析式作為一種式子的特點，對反比例函數來說，解析式是一個簡單的分式，根據分式的意義可以得到自變量的取值、函數的值域等信息，有些學生對數、形對應認識深刻的話，還能想像、發現更多函數圖像的特點（如函數圖像與坐標軸沒有交點，圖像會不斷接近坐標軸，但永遠不會“觸碰”到坐標軸等）；第二處是列表后，觀察表格中的一些數對，要注意引導學生停下來，觀察、分析表格中自變量的增減性對應著函數值的增減性，形成猜想后，再描點、連線生成圖像，確認之前關于解析式和表格的觀察發現.這樣就從只教方法或操作步驟的教學走向了教給學生智慧的教學，因為人腦不是電腦，我們需要考慮選取數對、描點的工作量，而不是盲目地大量取數對、描點，“加密”生成函數圖像，數學的一大追求是“求簡”，引導學生在以上兩次停留、觀察、猜想、分析后，可以減少列表取點的盲目性，讓學生變得更加聰明，對函數的圖像與性質的理解也將更加深刻.

3.精心預設，漸次生成、調整優化得到“結構式板書”.

像反比例函數起始課教學這樣的課型，由于沒有具體的例、習題驅動，而且新知生成往往由學生發現，這時教師需要即時“捕捉有效信息”，書寫到黑板上相應位置，而且隨著課程進程的推進，還需要不斷調整、優化得到課前預設好的“結構式板書”.比如，在上面板書示意圖中左側“主板區”，最初的k＞0，就是學生提出的“k=1或k=2”之類的特殊值，到后來“從特殊走向一般”后，才將原來所寫的特殊k的賦值擦除，調整為k＞0.而這些漸次生成、不斷調整和優化的結構式板書，都需要教師在課前精心設計、苦心經營.

四、寫在后面

楊九俊先生曾贊譽“自學·議論·引導”的教學追求的是“有規則的自由”，這當然也是我們心向往之的.近三年來，我們團隊提出的“三學”（學材再建構、學法三結合、學程重生成）中的“學材再建構”理念，已得到很多一線教師的積極響應，特別是基于教材、學材的重組開展單元教學得到不少地區的推廣和研究，在《中學數學（下）》等不少期刊上也出現很多優秀的課例文獻，然而關于“學法三結合”“學程重生成”還有很多探討及值得深入研討的話題，本文以反比例函數的單元教學起始課的教學研究為例，拋磚引玉，引發大家在這兩個方面實踐與思考，豐富我們對“三學”的理解.

1.李庾南，祁國斌.自學·議論·引導：涵育學生核心素養的重要范式［J］.課程·教材·教法，2017（9）.

2.李庾南.“自學·議論·引導”教學法的教學預設［J］.中學數學（下），2017（10）.

3.李庾南.“自學·議論·引導”教學法的群體議論［J］.中學數學（下），2017（11）.

4.李庾南.“自學·議論·引導”教學法的相機引導［J］.中學數學（下），2017（12）.F