翻之有理 翻之有道
——絕對值拓展研究翻轉課堂的教學設計與案例分析

☉江蘇省常州外國語學校 周 琦

一、教學內容

2017年版《義務教育教科書數學（蘇科版）》七年級上冊第二章第三節“絕對值與相反數”學習后的拓展研究.

二、設計思路

1.設計理念.

在前三節關于絕對值和相反數概念的了解，基本性質掌握的基礎上，對絕對值非負性和絕對值代數和幾何意義進行深入探究學習，激發學生學習數學的興趣，拓展學生的視野和思維.

2.教學內容分析.

（1）教學內容：利用絕對值的非負性對含有絕對值的代數式進行化簡，用到絕對值的基本性質、分類討論、數形結合等知識和方法；運用絕對值的代數和幾何意義探究最值問題.

（2）教學內容的地位：絕對值的非負性和絕對值的幾何意義是絕對值概念教學中的重、難點，是前一課“數軸”的應用.同時，絕對值的非負性和絕對值的幾何意義在代數式化簡求值、解方程、解不等式、最值問題的探究、平面中兩點之間的距離等方面也有廣泛的應用.理解思維及教學活動連接緊密，使前后形成整體，起到了承前啟后的重要作用.

3.學情分析.

學生的知識能力基礎：學生已經理解了有理數的意義，并能用數軸上的點表示有理數，能比較有理數的大小，掌握了絕對值和相反數的概念、性質.獲得了分析問題和解決問題的一些基本方法，初步體驗解決問題方法的多樣性.

學生的活動經驗基礎：學生已經經歷了一些探究活動，解決了一些簡單的現實問題，感受到了從數學活動中積累數學經驗的過程.同時在以前的數學學習中，學生具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作交流的能力.

三、教學目標

（1）利用絕對值的意義和非負性化簡含絕對值的代數式；

（2）運用絕對值的代數和幾何意義探究最值問題；

（3）體會分類討論、數形結合等數學思想方法，發展邏輯思維能力和抽象思維能力.

四、教學過程

1.課前預習案.

問題1：化簡：|4|=_____，|0|=_____，|－4|=_____，|π+4|=_____，|π－4|=_____.

小結：化簡絕對值的關鍵：____________.

設計意圖：復習絕對值的意義和性質，從而體會到化絕對值的關鍵是判斷絕對值內的符號.

問題2：化簡：|a|.

設計意圖：將具體的數抽象成字母，為化簡含絕對值的代數式作鋪墊，體會分類思想.

問題3：已知x＜－3，化簡：|3+|2－|1+x|||.

設計意圖：雖然絕對值一層套一層，但x的取值范圍已經給出，只需正確判斷每個絕對值內的符號，由內而外逐層化簡，問題可迎刃而解.

問題4：閱讀下面材料：

圖3

圖4

點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|.

當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，|AB|=|OB|=|b|=|a－b|；

當A、B兩點都不在原點時，

如圖2，點A、B都在原點的右邊，|AB|=|OB|－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a－b|；

如圖3，點A、B都在原點的左邊，|AB|=|OB|－|OA|=|b|－|a|=－b－（－a）=|a－b|.

如圖4，點A、B在原點的兩邊，|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a＋（－b）=|a－b|.

綜上，點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離|AB|=|a－b|.

回答下列問題：

（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是_____，數軸上表示1和－3的兩點之間的距離是_____；

（2）數軸上若點A表示的數是x，點B表示的數是3，則點A和B之間的距離表示為_____；

（3）數軸上若點A表示的數是x，點B表示的數是－3，則點A和B之間的距離表示為_____；

（4）|x－1|的幾何意義可解釋為_____；

（5）|x+2|的幾何意義可解釋為_____；

（6）|x－1|+|x+2|的幾何意義可解釋為_____.

設計意圖：理解絕對值的幾何意義是重、難點，用圖示的方式數形結合，巧妙地化解難點.四種情況概括了數軸上任意兩點之間距離可表示為這兩點表示的數的差的絕對值.讓學生從具體到抽象，從文字語言到符號語言，靈活理解含有絕對值代數式的幾何意義.

2.課堂導學案.

問題1：（1）化簡：|x－1|+|x+2|.

設計意圖：令x－1=0和x+2=0，分別求得x=1，x=－2（稱1、－2分別為|x－1|與|x+2|的零點值），零點值x=1和x=－2可將所有的數按照不重復且不遺漏的標準分類.

（2）設T=|x－1|+|x+2|，x為何值時，T有最小值？T的最小值是多少？

設計意圖：這個問題可以借助上一問的化簡結果，在x的取值范圍內找最值，也可利用含有絕對值代數式的幾何意義，數形結合，在數軸上找出符合要求的值.

問題2：（1）化簡：|x－1|+|x+2|+|x－3|.

設計意圖：化簡含有三個絕對值的代數式，進一步提升學生有序分類的意識和能力.

（2）設T=|x－1|+|x+2|+|x－3|，x為何值時，T有最小值？T的最小值是多少？

設計意圖：借助上一問化簡后的代數式，在x的取值范圍內找最值，也可利用含有絕對值的代數式的幾何意義，在數軸上找出滿足要求的值，加強數形結合的意識和能力.

問題3：（1）設T=|x－1|+|x－2|+…+|x－2016|+|x－2017|，x為何值時，T有最小值？T的最小值是多少？

（2）設T=|x－1|+|x－2|+…+|x－2017|+|x－2018|，x為何值時，T有最小值？T的最小值是多少？

（3）設T=|x－x1|+|x－x2|+…+|x－xn－1|+|x－xn|（x1＜x2＜…＜xn－1＜xn），x為何值時，T有最小值？

設計意圖：在問題1、2中已經積累了一定的經驗.三個小問的設計就是讓學生發現歸納其中的關系，闡述規律，讓此類問題的解決更具一般性.

問題4：設T=|x－p|+|x－15|+|x－p－15|，其中0＜p＜15，對于滿足p≤x≤15的x來說，T的最小值是多少？

設計意圖：含有絕對值的代數式中的字母由一個增加為兩個，但這兩個字母的取值范圍都已經給出，所以只要準確判斷每個絕對值內的符號即可解決問題.

問題5：已知數軸上兩點A、B對應的數分別為－1、3，點P為數軸上一動點，其對應的數為x.

（1）若點P到點A、B的距離相等，求點P對應的數.

（2）數軸上是否存在點P，使點P到點A、B的距離之和為3.5？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由.

（3）當點P以每分鐘1個單位長的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長的速度向左運動，點B以每分鐘20個單位長的速度向左運動，問：它們同時出發，幾分鐘后P點到點A、B的距離之和最小？

設計意圖：并不是所有的含有絕對值代數式的最值問題都可以利用數軸找出最值，應該具體問題具體對待，代數方法和幾何方法有機結合，有選擇地有機整合運用.

五、教學反思

1.微視頻和預學案雙管齊下，為翻轉課堂推力.

課前，讓全班學生利用課后時間學習了含有絕對值代數式的幾何意義的微視頻，同時完成課前預習案.我收集全班的預習案進行批閱分類整理.四個問題的預設是有層次、有梯度的，問題1達到99%的正確率，但在小結時65%的學生不能很好地表述，教會學生規范、準確地表述同等重要.問題2，個別學生把0掉了，滲透分類討論思想中不重復、不遺漏的標準.問題3，有50%的學生能做對，原因是沒有判斷清楚符號就想一步到位.如果絕對值內代數式的符號是負號，個別學生沒有正確地變號.問題4，這考查學生微視頻學習后的效果，學生在第（3）（5）（6）小問錯誤率較高，不能很好地借助數軸理解絕對值是兩點間的距離，距離應該是做差，而不是求和.比如|x+2|應該先轉化為|x－（－2）|，然后描述幾何意義.大部分學生的思維還沒從形象思維提升到理性思維，這是課堂教學的思想方法生長點.

2.基于學情進行科學的教學設計，為翻轉課堂接力.

根據學生預學習情況的反饋，上課時，我先把每道題問題典型的學案呈現出來，讓大家一起找問題，再請做的完全正確的學生分析錯誤并給予糾正，體現翻轉課堂主體是學生的理念.預學單的最后一個問題承上啟下，課堂先從化簡這個含有絕對值的代數式開始.對于問題1，學生首先想到分類討論，因為有化簡|a|的經驗.學生想到令絕對值內每個代數式等于0找到分界點，其實這就是零值點，然后借助數軸分段，逐一討論絕對值內的符號，達到了化簡的目的.教師在翻轉課堂中是引導者、參與者，在肯定學生想法的基礎上，還要糾正一些錯誤或者補充學生知識能力方面的不足.我強調分類的原則是既不重復也不遺漏，每個零值點只能屬于其中的一類.有學生先想到利用化簡結果確定每段的范圍，從而找到最值，這是代數方法.也有學生提出利用絕對值的幾何意義，在數軸上畫圖，三段中任意取一點討論，發現當這點在零值點之間時，路程和最短.問題2是在問題1基礎上的拓展，根據問題1的研究方法，學生能準確地找到零值點，正確地分類，準確地求出每一段代數式化簡的結果.在求最值時既用代數方法，又用幾何意義，發現三個絕對值求和時，x取中間點值時，路程和最短.問題3設置了三個小問，從特殊到一般，找出絕對值求和取最值的規律.一開始有學生嘗試用代數方法，發現要分2000多類，而且情況復雜，就算能分清楚，也算不清.最后經過小組合作討論大家的目標都鎖定幾何意義找最值，圖并不能完整地畫出，大部分學生根據解決問題1、2的經驗猜想，將零值點由小到大地有序排列，奇數個零值點最小值在時得到，偶數個零值點時最值對應x的一個范圍.數形結合，用不完全歸納的方法找到規律，得出一般性的結論.問題4和問題5，因為時間關系沒有處理完，課后完成.

3.課后持續跟進分享交流，為翻轉課堂舉力.

從課后完成情況看，問題4較好，問題5個別學生受上課內容的影響，嘗試用絕對值的幾何意義解決，但以失敗告終.學生最終體會到，絕對值既有代數性質也有幾何意義，二者不可偏廢，應該具體問題具體分析，代數方法和幾何方法有機整合運用.我還在網上和學生就這節課做進一步探討.學生普遍反映翻轉課堂的形式很有挑戰性，通過預學習，哪些知識已經過關，哪些知識方法還有不足，教師課前就心中有數，上課有針對性地重點攻堅克難.翻轉課堂中，每個學生各抒己見，思維碰撞.當學生獨立思考后陷入思維的漩渦不得其解時，小組合作探究，智慧共享，思維的廣度、深度大大提升.

翻轉課堂只有適合的教學對象、科學的教學設計、合理的教學形式才能翻轉出對學生有意義、有價值、有收獲的課.任何一種課型都有自身的優越性和局限性，只要我們對教學內容深度研究、準確把握、大膽嘗試，就能在翻轉課堂的研究中翻之有理，翻之有道.F