從二次函數圖像性質復習看核心素養培養
——一節省初中示范課教學與思考

☉廣東省深圳市觀瀾第二中學 王振鑫

2018年廣東省初三數學復習課信息技術創新研討會于2018年1月11日—13日在廣東省東莞市舉行.本次活動旨在探究建復習課的高效課堂.筆者執教了一節九年級《二次函數圖像的性質》的復習課.給在場的老師們留下了深刻的印象，也到了與會專家的一致好評.以下筆者從發展學生核心素養角度對本節課進行賞析.

一、關注數學思維能力的培養

數學教學是數學活動的教學，其本質是思維活動的教學.在教學過程中，教師通過問題情境的創設及多角度解決問題方法的培養，可以幫助學生打開正確的思維方式.對學生理解數學本質、融會貫通學習數學知識起著至關重要的作用.

1.設置開放性問題，培養數學思維能力，激發問題生成

我們知道，相較于封閉性問題，開放性問題由于其條件、結論等比較靈活，答案不唯一，可以讓不同層次的學生都能有所獲，這更能激發學生參與的興趣，也更能引發學生思維碰撞，培養發散思維與創新能力.這樣，在課堂伊始，采用一些難度較低的開放性問題，更能把學生從課間“拉回”到課內，提高課堂的效益.

【教學實錄】

問題：根據圖1所示的圖像，說說你能得到哪些結論？

生1：可以根據圖像判斷出a、b、c的取值范圍；

生2：可以求出函數與x軸的交點坐標分別是（0，0）和（2，0）；

生3：可以判斷出b2－4ac＞0；

生4：可以得到對稱軸是直線x=1；

生5：可以得到a－b+c＞0，a+b+c＜0；

生6：可以得到a+2b=0.

師：真好，同學們，你們能在小組內部討論一下，你們所說的這些結論都是如何得到的嗎？

【數學思考】

本節課的導入部分，筆者打破了常規的逐個知識點復習或者以題代練的形式讓學生按照老師設計的“套路”去回憶所學知識.而是通過開放性的問題設置，讓學生盡可能多地說出結論，既考查了學生的讀圖能力，又考查了學生的思辨和解決問題的能力.所得到的結論是學生課堂生成出的，而不是老師設置好的，充分地體現了把課堂還給學生這一理念.

在數學教學過程中，教學內容應該是具體的，要培養學生在獲得間接經驗的同時也獲得直接經驗.這從另一方面說就是要以學生為中心，創設符合學生自主學習和認知規律的數學問題情境，課堂上通過教師的引導，學生經歷探索、發現、對比、交流等數學活動和體驗，進而獲得數學思維的生成，也就是本節課所說的學生的發現.通過這樣的問題設置，能夠激發學生的學習興趣，促進學生課堂上積極思考，培養其數學思維的形成.

2.設置層次性問題，培養數學思維能力

執教者根據學生課堂上生成的各種情況的結論，趁熱打鐵，利用幾何畫板，不斷的移動和變化各個要素的取值，讓學生思考在每種變化過程中都能夠得到哪些結論？（如圖2～5）

圖2

圖3

圖4

【教學實錄】

問題：根據圖2所示的圖像，說說你能得到哪些結論？

生1：可以根據圖像判斷出a、b、c的取值范圍；

生2：可以判斷函數開口和最小值；

生3：可以判斷出b2－4ac＞0；

生4：可以得到對稱軸是直線0＜x＜1；

生5：可以得到a－b+c＞0，a+b+c＜0.

師：真好，同學們，如果變成圖3，你又能得到什么結論呢？

生1：可以根據圖像判斷出a、b、c的取值范圍；

生2：可以判斷函數開口方向和有最小值；

生3：可以判斷出b2－4ac＞0；函數與x軸兩個交點的范圍；

生4：可以得到對稱軸是直線－1＜x＜0；

生5：可以得到a－b+c＜0，a+b+c＞0.

師：那如果變成圖4，你又能得到什么結論呢？

生1：可以根據圖像判斷出a、b、c的取值范圍；

生2：可以判斷函數開口向下和有最大值；

生3：可以判斷出b2－4ac＞0；函數與x軸兩個交點的范圍；

生4：可以得到對稱軸是直線－1＜x＜0；

生5：可以得到a－b+c＞0，a+b+c＜0.

師：那如果變成圖5，你又能得到什么結論呢？

生1：可以根據圖像判斷出a、b、c的取值范圍；

生2：可以判斷函數開口向上和有最小值；

生3：可以判斷出b2－4ac＜0；函數與x軸沒有交點；

生4：可以得到對稱軸是直線－1＜x＜0；

生5：可以得到a－b+c＞0，a+b+c＞0；

生6：好像是把圖3向上平移了n個單位得到的.

師：同學們都說的非常好……

【數學思考】

問題情境的創設應該有情景，有情節，更要有“數學味”，通過問題情境的引入和設置來啟迪學生數學思維.而在設計問題的時候，要注意問題的遞進性，教師可采用問題串、由易到難等多種形式促進學生數學思維的形成.本節課執教者在設計上述四個圖的變化的時候，除了讓學生鞏固和體驗不同情況下的各種要素的取值范圍，也達到了歸類并發散的目的.真正地做到了創設的情境為教學內容吻合，為教學目標而服務，幫助學生進行數學化.而在這個過程中學生能夠發現問題并提出問題，對于整體提升學生的數學素養有著很好的促進作用.

這正是人民教育出版社章建躍博士所說的“理解學生”.其核心是理解學生的數學認知規律和情感發展規律.主要包含四點：一是當前的數學知識與學生的生活經驗和已有數學經驗的聯系，這是確定教學出發點的依據；二是當前知識與學生已有認知結構的“距離”，這是確定教師對學生學習過程干預強度的依據，對于“距離近”的知識，如推論、有直接類比對象等知識的教學，教師可以不干預或少干預，讓學生獨立自學、自主探究；三是對學生差異性的了解，這是給具有不同認知基礎、認知方式、認知風格的學生提供不同且有效的幫助的前提；四是懂得如何將不同類型的知識用不同的方式呈現給不同學生的策略與方法，這是激發學生的認知沖突、推進學生的數學思考的前提.

二、重視數學模型能力構建的培養

《課程標準》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.”在數學教學過程中，教師應有意識地通過遞進、類比、探索等形式讓學生感知數學內部之間知識的聯系，以及抽象出相應的數學關系和變化規律等，進而抽象出數學問題.

1.知識類比歸類，實現知識的結構化

課堂上，執教者根據學生課堂上所生成的結論，進行思維導圖的繪畫，而在不停地操作幾何畫板變化的過程中，強化對應模型.如當學生在首次生成的時候，可以判斷出圖1是b2－4ac＞0，因為二次函數與x軸有兩個交點，教師通過移動幾何畫板呈現圖像與x軸有一個交點和無交點的情況，讓學生判斷b2－4ac的取值范圍，通過這樣的設置可以幫助學生建立數學模型，即二次函數與x軸交點個數與b2－4ac的關系.

這體現了數學中的數形結合思想.如當學生在一個圖像中得到了對稱軸，并能夠獨立化簡出b=－2a.這個建模需要學生對此圖形的數學化理解的基礎上，進一步探究如3a+c或者b、c同時存在的某種關系得取值范圍的判斷.

又比如，當學生會判斷a+b+c和a－b+c的取值范圍的時候，教師進一步引導學生如何判斷4a－2b+c，4a+2b+c，9a+3b+c，9a－3b+c這類模型的取值范圍.

【數學思考】

模型思想是數學思想的核心內容之一，根據函數圖像建立二次函數不同要素之間的數學關系的模型，不僅需要學生理解圖像中所反映的數學信息，而且需要學生具備相關的數量關系經驗，在這個過程中，學生能夠堅持選擇合理的方法解答模型，這不僅需要學生有一定的數學經驗和解決問題的能力，需要教師在平日中培養學生的分析和觀察能力，通過主動思考去獲取數學模型.通過將學生以往的知識經驗和認知水平整合而建立起來的數學模型，服務于新的知識的學習過程，不僅體現了數學的轉化思想，也對學生在解決同類問題甚至有相關遷移類型的問題的時候有著極大的促進作用.

關于二次函數特殊自變量取值問題，整個過程沒有讓學生死記硬背規律再通過大量習題來鞏固.而是層層推進.讓學生自己有新的發現，有新的心得，有新的收獲，并從中培養的類比、遷移等數學能力，從而從本質上理解二次函數特殊值，以及在圖像中的位置關系.這正是數學核心素養貫穿課堂的優秀做法.

2.習題演練，重現數學模型

數學建模的過程是學生盡力探索、對比、概括、總結的過程.當學生對所學知識建立模型后，一個重要的環節就是模型的加深和鞏固，以及模型的外延.高質量的習題設置，可以幫助學生重現并鞏固所學數學模型.

【教學實錄】

師：如圖6，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（－1，0），其部分圖像如圖6所示，下列結論正確的是 ：

①abc＜0；②4ac＞b2；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤當y＞0時，x的取值范圍是0＜x＜3；⑥當x＜0時，y隨x增大而增大.

生1：根據之前幾幅圖的學習，這道題可以立刻判斷出a＜0、b＞0、c＞0的取值，并得到①是對的；

生2：圖像延長會與x軸有兩個交點，所以②也是對的；

生3：從圖像上看，當x=2時，函數值是大于0的，故③也是正確的；生4：因為可以得到④是錯誤的；

生5：從圖像上看，當y＞0時，x的取值范圍是－1＜x＜3，故⑤是錯誤的；

生6：因為x＜1時，y隨x增大而增大，故⑥是正確的.

師：非常好，同學們都能根據前面的知識，解決新的問題.

【數學思考】

通過這幾個問題的設置，使得學生能夠根據之前的4個圖像所推導的結論進行遷移訓練，從而達到融會貫通的效果，課題上并沒有過多的設置題目讓學生來練習，反而用一個題目從簡單到復雜地進行逐步鞏固所學知識，這樣的思維訓練對于學生的學習成長是非常有效果的.也是我們現在所提倡的數學核心素養的具體課堂體現.

三、重視數學抽象能力的培養

筆者在對學生抽象思維進行訓練時，展示了下面的圖像（圖7），顯示的是y=2這條直線和二次函數相交的情況.通過這個圖像的設置，筆者提出以下幾個問題：（1）直線與二次函數交點坐標分別是多少？（2）x取何值時，y＜2？（3）x取何值時，0＜y＜2？通過這幾個問題的設置，讓學生從形象的圖像中抽象出具體的數值問題.涉及交點坐標的求法；自變量因變量的取值問題等.

圖6

圖7

通過這幾個抽象問題的設置，重視了學生知識結構的重建，也就是我們常常提到的“生長數學”.數學教學就是向學生展示知識結構的建立和發展的過程.概念、定理、公式、法則的提出過程，問題的探索和深化過程，不斷完善學生的認知結構.因此我們平時授課老師的教學設計考慮的一項重要任務就是如何讓學生在課堂上親自參與“知識再發現”的過程，經歷探索新知的過程.而事實證明這樣的操作非常的成功，學生課堂活躍，思想火花碰撞激烈.既達到了鍛煉學生抽象思維的能力，又能培養數學核心素養.

通過本節課我們可以看出，數學教師在進行授課的時候要明白到底要教學生什么？教數學知識是毫無疑問的.教如何通過已有知識認識一個新的數學對象，教如何提出問題.讓學生看到知識的來龍去脈，看到發生、發展.最重要的是教會思考.教師經常想一想，學生離開我們怎么辦？他們靠什么來解決問題？因此，教師在進行教學設計和課堂授課時更要教會學生思考.所講的如果能夠引起學生的共鳴，那才是有效的.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.章建躍.創新推動改革，全面提高教育質量——暨“第九屆初中青年數學教師優秀課展示與培訓活動”總結［J］.中國數學教育（初中），2016（4）.

3.鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”［J］.數學教育學報，2016（3）.

4.林日福.基于數學核心素養的教學研究.重慶：西南師范大學出版社，2018.H