同類跟進(jìn)：“較難題”教學(xué)的有效方式

☉江蘇省張家港市港區(qū)初級中學(xué) 朱菊萍

每次期中考試、期末考試或模考之后，一線教師常常有這樣的感慨：某道題碰到過多次，我們也講過多次，但是能順利解答的學(xué)生還是不多，至少沒有達(dá)到我們理解的人數(shù).原因固然是很復(fù)雜的，比如，學(xué)生聽講時感覺聽懂，并一定會做，當(dāng)時會做了但沒有深刻理解問題的深層結(jié)構(gòu)，過了一段時間，又忘了.為了提高學(xué)生對一些“較難題”（往往是一份試卷上承載著區(qū)分功能的把關(guān)題）的掌握，老師們有很多積極的教學(xué)舉措.比如，我們注意到，如果能在一些較難習(xí)題講評前，做好同類題的搜集，并在講評一道較難題之后，再做同類跟進(jìn)講評或訓(xùn)練，往往就能收到較好的教學(xué)效果.這方面的經(jīng)驗(yàn)在《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）近年也有多篇文章中提到（如文1～4），受到啟發(fā)，本文也梳理近期教學(xué)過程中收集到的一些同類跟進(jìn)式的習(xí)題講評素材，整理出來提供分享，并跟進(jìn)教學(xué)思考，提供研討.

一、同類跟進(jìn)講評的題組案例

題組1：動點(diǎn)軌跡在一直線上

例1如圖1，在等邊△ABC中，D是線段AB上任意一點(diǎn)（不與A、B重合），將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接DE、BE.記BC中點(diǎn)為G，若AB＝2，補(bǔ)全圖形并分析GE長度的最小值.

圖1

思路簡述：解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在一條線段上運(yùn)動（證△ACD≌△BCE，可得∠CBE=60°），于是過點(diǎn)G作GH⊥BE，垂線段GH的長即為GE的最小值.

例2如圖2，在等邊△BCD中，DF⊥BC于點(diǎn)F，A為直線DF上一動點(diǎn)，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，把BA順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至BE，連接EC.判斷EC與DC的位置關(guān)系，并說明理由.

思路簡述：先證△BCE≌△BDA，可得∠BCE=30°，于是∠ECD=30°+60°=90°，即CE⊥DC.將點(diǎn)A變換到FD延長線上時，仍然有上述性質(zhì)：可確認(rèn)E點(diǎn)運(yùn)動軌跡是過C點(diǎn)垂直于CD的直線.認(rèn)識到上述結(jié)構(gòu)之后，還可提出如下問題：當(dāng)∠DEC＝45°時，連接AC，求∠BAC的度數(shù).（這里就需要考慮兩種可能的情況，∠BAC的度數(shù)分別為30°或150°）

例3如圖3，已知直線l：y＝kx＋b經(jīng)過點(diǎn)A（0，4）和B（4，－4），C是x軸上的一個動點(diǎn).將點(diǎn)B繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)D.小杰經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)D在直線y=x上.請判斷小杰的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

圖3

圖4

思路簡述：由于點(diǎn)C作為旋轉(zhuǎn)中心位置不定，可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），如圖4，過點(diǎn)B，D分別作BM⊥x軸，DN⊥x軸，垂足為M，N.先證出△MBC≌△NCD.ON＝m－4，DN＝m－4.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m－4，m－4）.即動點(diǎn)D所形成的函數(shù)圖像為直線y＝x.故小杰的發(fā)現(xiàn)是正確的.

題組2：“光線反射”最小值的變式問題

例4如圖5，已知點(diǎn)A（3，4），B（－1，1），在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1.線段EF在x軸上平移，當(dāng)四邊形ABEF的周長最小時，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

思路簡述：當(dāng)四邊形ABEF的周長最小，也就是AF+BE最小時，這時需要將其中一個點(diǎn)A或B左右平移EF的距離，比如將點(diǎn)A向左平移1個單位（EF的長）到點(diǎn)A′，再作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′交x軸于點(diǎn)E，于是點(diǎn)E即為所求.

圖5

圖6

例4同類變式：如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).若E、F為邊OA上的兩個動點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

例5如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A是直線上一動點(diǎn)，將點(diǎn)A向右平移1個單位得到點(diǎn)B，已知點(diǎn)C（1，0），分析OB+CB的最小值.

圖7

思路簡述：與例4及變式不同，這里雖然也是平移，但卻是所謂的“鏡面”平移，就是過點(diǎn)B作直線BD//直線，交x軸于點(diǎn)D.這里可過點(diǎn)C作直線BD的對稱點(diǎn)C′，連接OC′，交直線BD于B點(diǎn)，則此時的B點(diǎn)為所求.接下來利用特殊直角三角形邊角關(guān)系求出OC′的長為

二、進(jìn)一步的思考

1.教師需要關(guān)注新題好題，及時歸類并收藏相同結(jié)構(gòu)問題

作為新時期教師專業(yè)成長的現(xiàn)實(shí)需要，我們應(yīng)該重視一些優(yōu)秀試卷、試題的收集與研習(xí)，除關(guān)注本地區(qū)的經(jīng)典好題以外，我們還要進(jìn)一步關(guān)注其他地區(qū)的各類好題，比如，值得關(guān)注的一些地區(qū)（如北京、上海、南通、南京等地）的期中、期末、中考考卷都應(yīng)該在第一時間從網(wǎng)上獲取，然后獨(dú)立深處，歸類收藏相同結(jié)構(gòu)的問題，這樣在習(xí)題講評遇到同類問題時，就可以從自己的“資料庫”中及時提取相關(guān)問題.這樣來看，一個教師在短時間內(nèi)能找出同類問題絕不是一朝一夕的功夫，而是長期的日積月累的歸類收藏的苦功夫.

2.習(xí)題講評課要聚集主題，較難習(xí)題講評后跟進(jìn)同類再練

我們看到很多的習(xí)題講評課就題講題現(xiàn)象比較普遍，往往一些較難題講評之后學(xué)生貌似聽懂，實(shí)則多數(shù)學(xué)生是偽懂，他們只是得到了答案，對問題的結(jié)構(gòu)并不一定具有深刻的理解.我們常常發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生聽懂后并不一定會做，而會做了不一定能講.所以作為較難習(xí)題的講評建議，安排學(xué)生把思路再講解一遍是較為有效的檢查方式.另外，還需要在講評后，及時跟進(jìn)同類再練，以便加深學(xué)生對這類問題深層結(jié)構(gòu)的理解.

3.較難習(xí)題講評后易遺忘，兩周內(nèi)進(jìn)行變式改編鞏固效果

針對較難習(xí)題講評之后容易遺忘的現(xiàn)象，我們可以在兩周內(nèi)對所講較難習(xí)題在不改變原題深層結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對試題的數(shù)據(jù)、字母、圖形位置進(jìn)行一些變式改編，安排時間檢查學(xué)生對這些試題的鞏固效果.比如，針對題組1，兩周后可以挑選如下一道同類問題進(jìn)行變式再練，鞏固效果.

變式改編鞏固題：如圖8，已知點(diǎn)A（0，1），B是x軸正半軸上的一動點(diǎn)，以AB為邊作等腰Rt△ABC，使點(diǎn)C在第一象限，∠BAC=90°.設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，分析y與x的函數(shù)關(guān)系式.

圖8

三、寫在后面

習(xí)題講評是數(shù)學(xué)教師一項(xiàng)重要的專業(yè)能力，就題講題是最低層次，追求一題多解可拓寬學(xué)生對問題解法的認(rèn)識，是不少老師善于開展的解題教學(xué)追求；而由一題鏈接到其他同類問題則需要教師課前深入備課，而且要有長期的同類問題的歸類收藏與積累，非一日之功，也可看成是成熟教師與初任教師或經(jīng)驗(yàn)教師的一個區(qū)別所在，希望我們都能在“同類跟進(jìn)”這一專業(yè)能力上不斷精進(jìn).因此，我們要將習(xí)題講評由就題講題延伸到一題多解、一題多變、一題多法上來，真正達(dá)成舉一反三的效果，以此發(fā)散學(xué)生的思維、提升學(xué)生的能力.又將習(xí)題講評的課堂總結(jié)還給學(xué)生，啟發(fā)學(xué)生在總結(jié)提升的過程中學(xué)會化整歸一，真正以不變的方法與思想應(yīng)對千變?nèi)f化的題目和應(yīng)用.

1.沈麗婧.聚焦微專題：中考二輪復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考——以一組“關(guān)聯(lián)試題”復(fù)習(xí)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

2.儲秀梅.同類跟進(jìn)：試卷講評課的一種策略——以一道反比例函數(shù)把關(guān)題講評為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（5）.

3.俞丁立.解題教學(xué)，在難點(diǎn)處請勿“一帶而過”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（9）.

4.朱建民，陳雷.關(guān)聯(lián)同類微專題，鋪墊設(shè)問助突破——以中考微專題復(fù)習(xí)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2018（2）.H