“模型+題組”，激活學生觀察能力*
——以“三棱錐外接球問題的模型分析和教學題組設計”為例

☉廣東省廣州市玉巖中學 吳光潮

學困生，主要是“困”在思維的活躍性未被足夠喚醒，而思維的活躍首先是觀察力的敏銳.觀察力是各種能力的基礎和起點，觀察力和其他能力互相促進.蘇霍姆林斯基說：“思維培養訓練的本質在于，讓學生一邊觀察一邊思考，一邊思考一邊觀察，在觀察中思考，在思考中觀察.”如何激活學生，尤其學困生的觀察能力？

本文以“三棱錐外接球問題的模型分析和教學題組設計”為例，探究“模型+題組”解題教學模式在激活學生觀察能力方面的具體做法.

一、教學背景

幾何體的外接球類組合體問題，特別適合用于考查學生的空間想象和邏輯思維能力，是高考的熱點，基本屬于必考題目，一般屬于中等難度.

對于此類問題的教學，教師通常選用典型的優秀試題為例題，并按照“側棱垂直于底面的幾何體的外接球、側棱相等的錐體的外接球、…”分類教學.學生卻總是不能統領問題的基本結構，上課能聽懂，講過的題會做，一旦遇到變式題目，就沒了思路，錯誤率很高，并且難以糾正補償，尤其對藝術、體育特長生及其他學困生.

本教學設計以三棱錐外接球問題為例，對幾何體的外接球類組合體問題從另外一個視角進行模型分析、構建，并設計歸類型題組教學，有效挖掘共性，突破此類問題的教學難點，激活學生在模式化訓練之下的觀察能力，提升思維品質.

二、難點分析及教學策略

1.空間想象能力不夠——培養、提升空間作圖能力，固化作圖技巧和圖形視角

有關幾何體的外接球類組合體問題，學生首先面臨的一個問題是作圖能力不夠，不能準確畫出符合題意，且便于觀察分析的、直觀的立體圖形；再加上空間想象力缺乏，解題一籌莫展.

為此，教師需要從最簡單的球面上三點作圖——經過球面上三點的球截面的作圖方法開始，來逐步解決組合體的作圖問題，同時讓學生熟悉各幾何量內在的基本數量關系.同時，引導學生固化個人作圖技巧、固化圖形視角，以便于答題時快速反應.

為了使作圖更有立體感、更便于觀察，在畫球內接三棱錐的底面三角形時，通常將一點A畫在邊界上，另外兩點B、C放置于截面圓O1的圓弧其他位置.如圖1，圖2，圖3，當△ABC分別為任意三角形、等邊三角形、直角三角形時的情形及幾何量內在基本關系：

圖1 任意△ABC

圖2 等邊△ABC

圖3Rt△ABC

2.幾何推理思路受阻——構建、積累基本幾何模型，理順模型內在的邏輯聯系

我們把解決一類問題的思維過程細化為解題的步驟，這個程序化的步驟叫算法，我們視為一個模型.我們把幾何圖形或幾何體中具有或者轉化后具有某種共同基本結構特征的幾何圖形或幾何體（局部或整體的），也視為一種模型.本文所述模型，主要指后者.

（1）常規模型.

在有關幾何體的外接球類組合體問題，教師注重通性通法的教學，給學生講解“常規模型”的基本思路.如圖4和圖5，三棱錐PABC內接于球O，小圓圓心為O1，PP′⊥平面ABC，此模型中有兩個關鍵點和難點：

①尋找外接球的球心所在位置——OO1⊥小圓面O1，即球心在經過小圓圓心且垂直于該小圓面的垂線上（兩個小圓面中，分別過圓心且垂直于該小圓面的垂線的交點，即為球心，如圖5）；

圖4

圖5 N為△PBC外心

②構造平面幾何模型（如圖6）“直角梯形PP′O1O+Rt△OAO1”，其中各線段數量關系的尋找，難點在于垂足P′的位置的確定，以及高h=PP′，線段O1P′=ON的求解.

在直角梯形PP′O1O中，R2=（h-d）2+|O1P′|2；在Rt△AO1O中，R2=d2+r2；在△ABC中，三邊分別

圖6 模型“直角梯形PP′O1O+Rt△OAO1”

特別地，在圖5中，當ON⊥平面PBC時（即N為△PBC外接圓的圓心），還有R2=ON2+PN2；

當平面PBC⊥平面ABC，PB=PC時，P′與M重合.

關注通性通法的教學是基本原則，但此法由于上述兩個難點，基本功和接受能力一般的學生尚有難度，對數學基礎、立體直觀、分析能力較弱的學困生、藝體生基本上難以順利突破.

通過長期教學實踐，結合近幾年高考及高三各地模擬試題的分析，發現：有關幾何體的外接球類組合體問題，基本上考查上述“常規模型”的一些特殊情況.教師幫學生構建、積累、梳理、歸納若干如下特殊模型，各路“學渣”基本上都可以輕松順利突破此類問題.

（2）“面⊥面”模型.

在圖4中，當平面PAC⊥面ABC，且△ABC是以AC為斜邊的直角三角形.

圖7題設：平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC（AC為小圓直徑）.

第1步：由圖知，球心O必為△PAC的外心（即△PAC在大圓面上），先求出小圓面直徑AC的長；

圖7“面⊥面”模型

第2步：在△PAC中，可根據正弦定理

圖8題設：平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=PC（AC為小圓直徑）.

第1步：確定球心O的位置，由圖8知P、O、H三點共線；

第2步：求出小圓面半徑AH=r，求出棱錐的高PH=h；

第3步：在△OAH中，勾股定理，（h-R）2+r2=R2，求出R，

圖8“面⊥面”模型特例

也可在△PAC中，可根據正弦定理，求出R.

（3）“雙直角三角形+共斜邊”模型.

圖8中，當∠APC=∠ABC=時，顯然HP=HA=HB=HC，即H為球心.于是得到圖9模型.

圖9題設：∠APB=∠AQB=.

第1步：AB中點即為球心O的位置；

圖9“雙直角三角形共斜邊”模型

第2步，或者在等腰△POQ中，求出R.

（4）“線⊥面”模型.

圖10題設：直線PA⊥平面ABC.

第1步：將平面ABC畫在小圓面上，A為小圓面直徑一端點，作小圓面的直徑AD，連接PD，則PD中點即為球心O；

第2步：求出小圓面ABC外接圓的半徑HD=r

圖10“線⊥面”模型

第3步：在△ODH中，勾股定理，OH2+r2=R2，求出R.

圖11題設：直線PA⊥平面ABC，P的投影與△ABC的外心H重合.

第1步：確定球心O的位置，由圖知P、O、H三點共線；

第2步：求出小圓面半徑AH=r；求出棱錐的高PH=h；第3步：在△OAH中，勾股定理，（h-R）2+r2=R2，求出R.（5）“墻角”模型（三條線兩兩垂直或對棱相等的三棱錐）（如圖12，13，14三種情況）.

圖11“線⊥平面”模型特例

方法：將具有三條兩兩垂直線段的或對棱相等的三棱錐放置于長方體中，設長、寬、高分別為a，b，c.

圖14：三棱錐B′-ACD′對棱相等，設AB′=CD′=α，AC=B′D′=β，AD′=CB′=χ，

還可得到一個重要公式

圖12 AA′⊥AB⊥AD

圖13 AB⊥BC⊥CC′

圖14 三棱錐B′ACD′對棱相等

教學中，教師幫助學生分析構建基本模型時，不僅要強化各個基本模型的結構特征和基本結論，還要強化模型識別意識與能力，同時更要幫助學生理清這些“特殊模型形態”與“一般模型形態”之間、解法之間內在的特殊與一般的邏輯關系.

3.模型識別意識缺乏——設計、呈現合理歸類題組，強化各類模型識別和應用

在構建了上述關于幾何體的外接球類組合體問題的求解模型后，學生會增加模型細化后記憶上的負擔，并且解題時對模型的識別意識不強，也將勞而無功.

新行為主義心理學創始人斯金納，認為“教學成功的關鍵就是精確地分析強化效果，并設計特定的強化列聯”.他的程序教學法要求：把教學材料科學地分解成循序漸進而又有機地相互聯系的程序性小問題，以便學生總是能積極反應，及時反饋學習成果.根據斯金納上述觀點，設計科學合理的若干題組，分別對每種模設計歸類題組，逐個推進，最后綜合強化訓練，增強學生模型識別意識.學生只要完成相應題組，就可熟練掌握應用模型的技巧，從而提升解題能力.

三、教學題組設計

教師教學過程實施注意事項：

1.教師在上述各個小模型構建完畢后，分別進行下列各相應題組訓練，如此“夾敘夾議式”循環推進.

2.每個題組的題量選擇，教師根據學生落實實際效果，可部分選做，其余留課后鞏固練習.

3.對于各題組中的題目，教師要強化解題的基本操作程序，引導學生：先在草稿紙上單獨畫出“棱錐”，熟悉相關幾何關系；然后按作圖技巧、選擇合適視角，將其“植入”球體；最后去探索思考尋找適合的基本模型求解.

4.教師根據學生落實題組情況，及時點撥、講評，同時鼓勵全體學生“能者多勞”，從而實現教學的“分層落實”、“同步學習與異步學習”的統一.

【題組1】利用“面⊥面”模型解決三棱錐外接球問題

例1 三棱錐ABCD的一條長為a，其余棱長均為1，當三棱錐ABCD的體積最大時，它的外接球的表面積為（ ）.

例2 平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′BCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為（ ）.

例3 已知：直角梯形ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=4，沿AC折疊成三棱錐DABC，當三棱錐DABC體積最大時，其外接球的表面積為（ ）.例4 已知在三棱錐PABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱錐PABC外接球的體積為______.

例5 表面積為60π的球面上有四點S、A、B、C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐SABC體積的最大值為______.

【題組2】利用“雙直角三角形+共斜邊”模型解決三棱錐外接球問題

例6 在三棱錐SABC中，∠SAC=∠SBC=90°，SA=，則三棱錐SABC外接球的半徑為______.

【題組3】利用“線⊥面”模型解決三棱錐外接球問題

例7 已知A、B、C是球O的球面上三點，AB=2，AC=則球O的表面積為（ ）.

（A）10π （B）24π （C）36π （D）48π

例8 已知A、B、C、D在同一球的球面上，AB=BC=，AC=2，若四面體ABCD外接球的球心O恰好在側棱DA上，DC=2則該球的表面積為（ ）.

例9 已知三棱錐PABC，在底面△ABC中，∠A=，BC=，PA=2，PA⊥平面ABC，則此三棱錐的外接球的體積為（ ）.

【題組4】利用“墻角”模型解決三棱錐外接球問題

例10 在三棱錐PABC中，側面PAB、側面PAC、側面PBC兩兩互相垂直，且PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3，設三棱錐PABC的體積為V1，三棱錐PABC的外接球的體積為V2，則

例11 已知三棱錐SABC，滿足SA、SB、SC兩兩互相垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱錐SABC外接球上的一動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為______.

例12 三棱錐OABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，BC=，AC=，O、A、B、C四點均在球S的球面上，則球S的表面積為______.

例13 在三棱錐PABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=，則三棱錐PABC的外接球的表面積為______.

例14 在三棱錐SABC中，SA=BC=，SB=AC=，SC=AB=，則三棱錐SABC的外接球的體積為______.

例15 已知三棱錐PABC中，PA=BC=2，PB=AC=10，PC=AB=2，則三棱錐PABC的的體積為______.

點評：這種“模型+題組”模式：模型的介入，讓學生縮短了觀察時間，提高了觀察的敏銳力.題組訓練，首先讓學生抓住了“舉一反三”中“一”與“三”的某種相似性，在學困生頭腦中建立了一種條件反射.“模型+題組”不僅可以提高學習效率，還可以讓學生通過有效挖掘題目的共性，對模型有更深刻的理解，同時也培養了思維的深刻性.設計歸類型題組，對各類知識點進行拓展，加深學生對同一類問題的理解.對于同一難點知識或難度大的題目，可以圍繞難點，按照從易到難的梯度設計一系列小題，以化大為小，各個擊破.

四、教學反思

以上設計是筆者在平行班，含藝術、體育特長生教學實踐中實施成功的一些教學案例.課堂教學過程比較順利，每一個小問題，大多數學困生通常都能做出積極反應；在課后作業和考試中，學生也都表現出令人滿意的遷移能力和應變能力.這種“模型+題組”的教學模式對學困生的解題能力的提升，有著顯著效果.

“模型+題組”教學模式，首先，模型構建過程要注意理順各模型之間的“特殊與一般”之間的邏輯關系；其次，教師要善于引導學生積極構建、提煉、總結“知識模型”；最后，題組設計要能很好地挖掘出深層次的知識點，縱橫聯系，讓學生不僅會解一道題，而且會解一類題，實現“以少勝多”的目標.

值得注意的是：本課題采用程序教學法，教師在處理教學材料時下足了功夫，但學生的學習主動性發揮不夠，在課堂上要注意留時間讓學生充分的思考和交流.

“模型+題組”教學模式，問題簡潔，內涵完整，目標明確；構建模型程序合理，難點分解，符合學困生的思維特點和接受方式.可以激發學生學習數學的興趣，逐步構建起學生從“學會”到“會學”的橋梁，能夠有效激活學困生的觀察力，從而有效培養學困生的思維品質.此外，由于備課充分，教師在課堂上有更多的精力關注學生的學習活動，能及時點撥釋疑，甚至及時添加類似的小題進行補償教學.

1.張璐.再議有效教學.教育理論與實踐，2002.3.

2.王廣余.有效課堂——數學教學的永恒追求.中學數學月刊，2009（1）.

3.許惠珍.關注基本“套路” 建構系統數學認知.中學數學（上），2018（3）.J