常微分方程課程中高階非齊次線性微分方程教學(xué)改革初探

摘要：常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的必修課程之一，具有推理嚴(yán)謹(jǐn)、公式復(fù)雜等特點(diǎn)，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力具有不可替代的作用。文章分析了高階非齊次線性微分方程課程中出現(xiàn)的幾道題目，為該課程的進(jìn)一步教學(xué)改革提供了一點(diǎn)思考。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)改革；嚴(yán)謹(jǐn)

作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的常微分方程在整個(gè)數(shù)學(xué)大廈中占有重要的地位。教師在實(shí)際教學(xué)中，針對學(xué)生的解題能力不足，應(yīng)注意將課程中提到的公式、定理仔細(xì)的進(jìn)行講解，對于復(fù)雜的公式進(jìn)行具體、細(xì)致的提醒，更要讓學(xué)生針對不同題型多加練習(xí)，使學(xué)生熟練掌握課程中出現(xiàn)的各種題目，從而達(dá)到舉一反三的效果。下面，我們以高階非齊次線性微分方程中出現(xiàn)的幾道題目舉例，來說明解題思路在教師授課過程中的重要作用。

例1設(shè)x-4x″+5x′-2x=2t+3，求該方程的通解。

分析：此題是學(xué)生學(xué)習(xí)了高階非齊次線性微分方程的右端函數(shù)為第一種形式后的題目。這類題目的一般思路為先求對應(yīng)齊次方程的通解，再求出該方程的一個(gè)特解，最后將這兩個(gè)相加即為非齊次線性微分方程的通解。教師在講解此類題目時(shí)，應(yīng)將此類題目的具體解題步驟介紹清楚，這樣學(xué)生就會(huì)有一個(gè)清晰的思路。若學(xué)生掌握了具體方法，相信學(xué)生能夠做出此題。

解：由題目可知對應(yīng)齊次線性微分方程為x-4x″+5x′-2x=0，其特征方程為

r3-4r2+5r-2=0，

特征根為：r=1，2，其中1為二重根。因此齊次線性微分方程的通解為

x*=（c0+c1t）et+c2e2t。

下面再求原方程的一個(gè)特解。觀察題目發(fā)現(xiàn)右端函數(shù)中eλt里面的λ=0，因此不妨設(shè)原方程的一個(gè)特解形如x0=B0+B1t。將其代入原方程可得

5B1-2B0-2B1t=2t+3。

比較系數(shù)有B0=-4，B1=-1，則x0=-t-4。

因此原方程的通解為：x=x*+x0=（c0+c1t）et+c2e2t-t-4，其中c0，c1，c2為任意常數(shù)。

例2求方程

x″-2x′+2x=tetcost

的通解。

分析：此題是學(xué)生學(xué)習(xí)了高階非齊次線性微分方程的右端函數(shù)為第二種形式后的題目。思路與例1類似，但要注意的是右端函數(shù)的不同導(dǎo)致所求特解形式的不同，因此教師在課堂上一定要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)右端函數(shù)不同時(shí)所對應(yīng)的特解也不一樣，讓學(xué)生明白之間的區(qū)別以便于計(jì)算。若學(xué)生明白了思路和具體的特解形式，相信學(xué)生能夠順利做出此題。

解：由題目可知對應(yīng)齊次線性微分方程為x″-2x′+2x=0，其特征方程為

r2-2r+2=0，

特征根分別為：r=1±i，其對應(yīng)的實(shí)值解為etcost和etsint，因此齊次線性微分方程的通解為

x*=c1etcost+c2etsint。

下面再求原方程的一個(gè)特解。設(shè)原方程的一個(gè)特解形如

x0=t（B0+B1t）etcost+t（C0+C1t）etsint，

將其代入原方程可得

2[（B1+C0+2C1t）cost+（C1-B0-2B1t）sint]et=tetcost。

比較系數(shù)有B0=C1=14，B1=C0=0，則x0=14tetcost+14t2etsint。

因此原方程的通解為：

x=x*+x0=（c1+14t）etcost+（c2+14t2）etsint，

其中c1，c2為任意常數(shù)。

例3求方程

x″+9x=6e3t，x（0）=x′（0）=0

的初值問題。

分析：此題是在前兩種類型題目基礎(chǔ)上的進(jìn)一步擴(kuò)展，該題不但要求出方程的通解，還要利用已知條件將通解中的參數(shù)確定出來才是最終的結(jié)果。因此，教師在課堂上在講解此類題目時(shí)，一定要讓學(xué)生徹底明白之前兩種類型題目應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算，才能進(jìn)一步拓展。甚至學(xué)生只要明白了前面兩種題型，那么此題也可以做出。

解：由題目可知對應(yīng)齊次線性微分方程為x″+9x=0，其特征方程為

r2+9=0，

特征根分別為：r=±3i，其對應(yīng)的實(shí)值解為cos3t和sin3t，因此齊次線性微分方程的通解為

x*=c1cos3t+c2sin3t。

下面再求原方程的一個(gè)特解。設(shè)原方程的一個(gè)特解形如

x0=Ae3t，

將其代入原方程可得

18Ae3t=6e3t。

比較系數(shù)有A=13，則x0=13e3t。

因此原方程的通解為：

x=x*+x0=c1cos3t+c2sin3t+13e3t，

其中c1，c2為任意常數(shù)。

又因?yàn)閤（0）=x′（0）=0，所以有

c1+13=0

3c2+1=0

從而得出滿足初值問題的解為x=-13cos3t-13sin3t+13e3t

通過上面幾道例題的分析，我們可以看到對于高階非齊次線性微分方程這部分內(nèi)容解題的一些重要技巧和方法，事實(shí)上都是建立在對兩類右端函數(shù)的具體運(yùn)算的思路非常明確的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。這說明教師在課堂上對于此類問題的講解，一定要將解題的具體思路、方法講解透徹，同時(shí)還需要學(xué)生進(jìn)行大量的練習(xí)，才能使學(xué)生達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：

趙侯宇，重慶市，重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。