換元法在解方程中的應(yīng)用

摘 要：換元法是初中數(shù)學(xué)非常重要的思想方法，在解方程時(shí)有著極為廣泛的應(yīng)用，本文根據(jù)方程自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，舉例說明換元法解方程的常見類型。

關(guān)鍵詞：換元法；解方程；方法特點(diǎn)

換元法是初中數(shù)學(xué)非常重要的思想方法，在解方程時(shí)有著極為廣泛的應(yīng)用，本文根據(jù)方程自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，舉例說明換元法解方程的常見類型，供大家參考。

一、 直接換元

例1 解方程xx-12-2xx-1-15=0

解：設(shè)xx-1=y，則原方程可化為y2-2y-15=0，解得y1=-3，y2=5。當(dāng)y=-3，y=5。當(dāng)y=-3時(shí)，xx-1=-3，解得x=34；當(dāng)y=5時(shí)，xx-1=5，解得x=54。經(jīng)檢驗(yàn)，x1=34，x2=54是原方程的根。

二、 配方換元

例2 解方程2x2+1x2-3x+1x=1

解：原方程配方，得2x+1x2-3x+1x-5=0。設(shè)x+1x=y，則2y2-3y-5=0。

解得y1=-1，y2=52。當(dāng)y=-1時(shí)，x+1x=-1即x2+x+1=0.因?yàn)棣?12-4×1×1=-3<0，所以方程x2+x+1=0無實(shí)數(shù)根。當(dāng)y=52時(shí)，x+1x=52時(shí)，即2x2-5x+2=0。解得x1=2，x2=12。經(jīng)檢驗(yàn)，x1=2，x2=12是原方程的根。

三、 倒數(shù)換元

例3 解方程

解：設(shè)x2+1x+1=y，則原方程可化為y+2y-3=0。去分母，整理，得y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2。當(dāng)y=1時(shí)，x2+1x+1=1，即x2-x=0。解得x1=0，x2=1。當(dāng)y=2時(shí)，x2+1x+1=2，即x2-2x-1=0。解得x3=1+2，x4=1-2.經(jīng)檢驗(yàn)，x1=0，x2=1，x3=1+2，x4=1-2都是原方程的根。

四、 變形換元

例4 解方程4x2-2x+22x2-x+2=1

解：原方程可變形為2（2x2-x+2）+22x2-x2-5=0。

設(shè)2x2-x+2=y，則原方程可化為2y+2y-5=0。去分母，整理，得2y2-5y+2=0。解得y1=2，y2=12。當(dāng)y=2時(shí)，2x2-x+2=2，即2x2-x=0。解得x1=0，x2=12。當(dāng)y=12時(shí)，2x2-x+2=12，即4x2-2x+3=0。因?yàn)棣?（-2）2-4×4×3=-44<0，所以方程4x2-2x+3=0無實(shí)數(shù)根。經(jīng)檢驗(yàn)，x1=0，x2=12是原方程的根1x2+11x-8+1x2+2x-8+1x2-13x-8=0

五、 部分換元

部分換元之后，一般方程還剩下兩個(gè)未知數(shù)

例5 解方程2x2-x-2xx2+x-1+1=0

分析：方程變形：3x2-（x2+x-1）-2xx2+x-1=0，方程可進(jìn)行部分換元，設(shè)y=x2+x-1，方程整理可得3x2-2xy-y2=0，可解得y=-3x，y=x，再代入y=x2+x-1，求出方程的解并檢驗(yàn)。

例6 解方程

1x2+11x-8+1x2+2x-8+1x2-13x-8=0。

分析：設(shè)y=x2+2x-8 方程整理可得y2-4xy-45x2=0，解得，再代入y=x2+2x-8中，求出方程的解并檢驗(yàn)。

六、 系數(shù)對稱方程換元

例7 解方程：6x4+5x3-38x2+5x+6=0

分析：方程6x4和6，5x3和5x的系數(shù)相等，上面方程的系數(shù)是對稱的，可以通過變形后，換元：變形：6x2+5x-38+5x+6x2=0，

6（x+1x）2+5（x+1x）-50=0，

總之，換元法在解方程中是一種常用的方法，特別是解特殊方程中經(jīng)常能產(chǎn)生事半功倍的效果。

作者簡介：

李志若，福建省泉州市，泉州師范學(xué)院附屬鵬峰中學(xué)。