量子信息中的熵不等式

摘要：設ρ和σ是表示量子狀態的兩個密度算子（跡為1的半正定算子），定義ρ到σ的相對熵為S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）。分別應用密度算子的標準正交分解和凹函數的相關知識證明了S（ρ‖σ）≥0，同時把凹函數定義推廣到矩陣的跡形式。

關鍵詞：密度矩陣；量子的相對熵；跡

一、 引入

在經典信息論中，設系統X={（xi，p（xi））}，i=1，…，n，隨機變量Shannon熵可以定義為隨機變量取不同值的一個函數，可以看作是概率分布的函數。

定義1設X={（xi，p（xi））}，i=1，…，n為一個系統，Shannon熵定義為H（X）=H（p1，…，pn）≡-∑ni=1（pxlogpx），本文中“log”是以2為底的，“ln”是自然對數，因為log0沒有定義，從直觀上講，不發生事件對Shannon熵沒有貢獻，因此可規定0log0=0。

定義2設p（x）和q（x）是定義在同一指標集上的概率分布，p（x）到q（x）的相對熵定義H（p（x）‖q（x））≡-∑xp（x）logq（x）p（x），定義當p（x）>0時，-p（x）log0=+∞。

定理1設p（x）和q（x）是定義在同一指標集上的概率分布，則p（x）到q（x）的相對熵是非負的，即H（q（x）‖p（x））≥0，當且僅當p（x）=q（x）時等號成立。

證明對所有的正整數x>0，logxln2=lnx≤x-1當且僅當x=1時等號成立。那么其可以變形為-logx≥1-xln2，H（q（x）‖p（x））≡-∑xp（x）logq（x）p（x）≥1ln2∑xp（x）1-q（x）p（x）=1ln2∑x（p（x）-q（x））=1ln2（1-1）=0。由上面的可知，當且僅當p（x）=q（x）對所有的x成立時取等號。

Shannon熵測量的不確定性與經典概率的分布相關聯。描述量子狀態的方式是類似的，只是用密度算子代替概率分布，把Shannon熵推廣到量子狀態。以下把量子狀態下的相對熵的非負性證明做一些討論。

二、 內容

定義3設pi是量子系統中一組狀態|ψi〉對應的概率，稱ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|為一個純態系統的密度算子（或者成為密度矩陣）。

定理2密度算子ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|是一個跡為1的半正定算子。

證明因為ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|，所以tr（ρ）=tr（∑iρi|ψi〉〈ψi|）=∑iρitr（|ψi〉〈ψi|）=∑iρi=1，且對于任意的一個表示狀態的向量|φ〉，〈φ|ρ|φ〉=〈φ|∑iρi|ψi〉〈ψi||φ〉=∑iρi〈φ，ψi〉〈ψi，φ〉=∑iρi〈ψi，φ〉2≥0

定理3一個跡為1的半正定算子ρ一定是一個密度算子。

證明因為ρ是一個半正定算子，所以ρ一定有譜分解。ρ=∑iλi|i〉〈i|，其中λi是半正定算子的非負特征值，向量組|i〉是正交的，又因為∑iλi=1，所以以λi為一組狀態|i〉對應的概率的量子系統存在密度算子。

定義4設ρ是表示量子狀態的密度算子，（即Von Neumann熵）定義量子狀態下的熵為S（ρ）=-tr（ρlogρ）。如果λx是ρ的特征值，那么定義可以寫成S（ρ）=-∑xλxlogλx

定義5設ρ和σ是表示量子狀態的兩個密度算子，那么ρ到σ的相對熵定義為S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）

定理4設ρ和σ是密度算子，那么S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）≥0，其中ρ=σ時等號成立。

證明令ρ=∑ipi|i〉〈i|和σ=∑jpj|j〉〈j|分別為ρ和σ的標準正交分解，那么有tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）=∑ipilogpi-∑〈i|ρlogσ|i〉，因為〈i|ρ=pi〈i|，并且〈i|logσ|i〉=〈i|（∑jlog（qj）|j〉〈j|）|i〉=∑log（qj）pij，其中pij=〈i||j〉〈j||i≥0〉，由此可得S（ρ‖σ）=∑ipi（logpi-∑jpijlogqj），其中pij≥0，并且∑ipij=1，∑jpij=1。由于log（·）是嚴格的凹函數，所以∑jpijlogqj≤logri，其中ri=∑jpijqj，當且僅當存在某個j，使得pij=1時等號成立，于是S（ρ‖σ）≥∑ipilogpiri，當且僅當對于每一個i都存在一個j使得pij=1時取等號。即當且僅當pij是置換陣，由經典相對熵的非負性，即定理1可知S（ρ‖σ）≥0。

定理4的又一個證明要用到以下知識。

定義5設f（x）是關于實數變量x的可微實函數，如果對于所有的x和y，都有f（y）-f（x）≤（y-x）f′（x）成立，那么函數f（x）是凹的。

例如，設函數f（x）=-xlogx，當x>0時就是凹的，因為將它代入上式中，整理可得logxy≤xy-1，此式當x>y>0時成立，因為對x>0，有不等式log（1+x）

可將上面的定義推廣到矩陣求跡形式，可以得到以下定理。

定理5設ρ和σ是兩個n維矩陣，且不一定對易（如果ρσ=σρ，那么就稱n維矩陣ρ和σ是對易的），如果f（x）是一個凹函數，那么tr[f（σ）-f（ρ）]≤tr[（σ-ρ）f′（ρ）]。

證明設ρ和σ的特征值分別為α1，α2，…，αn和β1，β2，…，βn，將這兩組數按降冪排列，得到新的兩組數α′1，α′2，…，α′n和β′1，β′2，…，β′n，于是令定義2中的x和y分別取這里的α′i和β′i，利用函數的凹性，有

f（β′1）-f（α′1）≤（β′1-α′1）f（α′1）

…

f（β′n）-f（α′n）≤（β′n-α′n）f（α′n）

將這n個方程求和，注意有

∑ni=1f（α′i）=∑ni=1f（αi）=trf（ρ）

∑ni=1f（β′i）=∑ni=1f（βi）=trf（σ）

∑ni=1α′if′（α′i）=∑ni=1αif′（αi）=tr[ρf′（ρ）]

∑ni=1β′if′（α′i）=∑ni=1βif′（αi）=tr[σf′（ρ）]

因此可得tr[f（σ）-f（ρ）]≤tr[（σ-ρ）f′（ρ）]。

現在可以利用定理5給出定理4的另一種證明。

證明對于任意兩個表示量子狀態的密度算子ρ和σ，定義f（ρ）≡-ρlogρ和f（σ）≡-ρlogσ，利用定理3，有-S（ρ‖σ）=tr[-ρ（logρ-logσ）]=tr[f（ρ）-f（σ）+f（σ）+ρlogσ]≤tr[（ρ-σ）（-logσ-1）-（σ-ρ）logσ]=tr（σ-ρ）=0。

所以S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）≥0。

參考文獻：

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作者簡介：

劉波，講師，陜西省西安市，陜西學前師范學院理學。