基于“圖形與幾何”的教學(xué)實(shí)踐和思考

朱長(zhǎng)和

【摘要】“圖形與幾何”的內(nèi)容是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中很重要的部分，在教學(xué)中，我們要注重聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過觀察、比較和分析、抽象和概括、推理和判斷等活動(dòng)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形并揭示規(guī)律，要加強(qiáng)對(duì)圖形本質(zhì)的理解；要溝通知識(shí)間的聯(lián)系，整體建構(gòu)，統(tǒng)攬全局，加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)間的勾連，在安排每一次教學(xué)活動(dòng)時(shí)，必須在教學(xué)目標(biāo)的制定、教學(xué)策略的匹配、教學(xué)效果的評(píng)估等教學(xué)要素上充分考慮，做到心中有全局。

【關(guān)鍵詞】圖形與幾何；教學(xué)實(shí)踐；整體構(gòu)建

“圖形與幾何”的內(nèi)容是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中很重要的部分，主要內(nèi)容為：空間和平面基本圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)。幾何圖形為人們直觀理解和認(rèn)識(shí)其他事物提供了很好的模型，是人們認(rèn)識(shí)和描述生活空間并進(jìn)行交流的重要工具，也為人們解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行交流提供了重要的手段和工具。為此，本年度工作坊進(jìn)行了“圖形與幾何”的專題教學(xué)研討活動(dòng)，共展示研討了10多節(jié)課。通過研討和專家講座，大家形成共識(shí)，這部分內(nèi)容的教學(xué)，要建立在學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)基礎(chǔ)之上，通過觀察、比較和分析、抽象和概括、推理和判斷等活動(dòng)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)常見幾何圖形和幾何體的形狀、大小、位置關(guān)系、運(yùn)動(dòng)方式并揭示簡(jiǎn)單的規(guī)律，使學(xué)生以圖形為載體，更好地認(rèn)識(shí)和描述現(xiàn)實(shí)空間，初步形成空間觀念，感受幾何直觀的作用，發(fā)展合情推理能力，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。筆者結(jié)合一些課例，有自己的一些思考。

一、注重經(jīng)歷，因勢(shì)操作

“圖形與幾何”的教學(xué)，主張教學(xué)活動(dòng)開放，強(qiáng)調(diào)聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活和學(xué)習(xí)實(shí)際，在已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，通過猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等活動(dòng)，使學(xué)生感受物體的位置關(guān)系，初步形成空間觀念，發(fā)展合情推理能力。比如在教學(xué)《平行和垂直》時(shí)，對(duì)垂直和平行的特征，教者首先讓學(xué)生猜想：“相交的兩條直線什么情況下是垂直關(guān)系？”然后告訴學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)不能僅憑感覺，要科學(xué)驗(yàn)證，讓學(xué)生用三角尺的直角去比，得到結(jié)論“兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線互相垂直。”而對(duì)于平行的特征，學(xué)生理解起來就困難得多，怎么樣才是不相交，學(xué)生往往是心有余而“口”不足，又無法用三角尺等工具去測(cè)量驗(yàn)證。筆者思考，對(duì)于這部分的處理是否可以借助于方格圖，在方格圖上畫一組平行線，兩條直線兩端（實(shí)際上直線是沒有兩端的，為了教學(xué)此時(shí)需要將直線看著線段）的距離是3格，中間的距離也是3格 ，距離始終相等，所以它們是不會(huì)相交的。學(xué)生經(jīng)歷了這樣的操作和驗(yàn)證，對(duì)于平行的特征便能夠深刻體會(huì)領(lǐng)悟。再比如教學(xué)《圓的周長(zhǎng)》時(shí)，可以先讓學(xué)生猜一猜：“圓的周長(zhǎng)和什么有關(guān)？”“圓的周長(zhǎng)大約是它直徑的幾倍？”在學(xué)生測(cè)量、計(jì)算和比較不同圓形紙片的周長(zhǎng)和直徑比值的環(huán)節(jié)時(shí)，可以先組織學(xué)生討論“圓的周長(zhǎng)一定是直徑的3倍多嗎？要知道猜想對(duì)不對(duì)，我們可以怎么辦？”經(jīng)歷這樣的一個(gè)過程，就使學(xué)生形成“要驗(yàn)證結(jié)論必須找一些大小不同的圓，通過測(cè)量、比較這些圓的周長(zhǎng)和直徑，然后計(jì)算”這樣的一個(gè)總體思路，學(xué)生操作的過程既是對(duì)猜想的驗(yàn)證，同時(shí)也是對(duì)圓周率的內(nèi)涵進(jìn)行充分感知的過程。這樣的教學(xué)處理同時(shí)又讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和認(rèn)識(shí)世界的方法，即先整體把握、感知猜想，再驗(yàn)證得到結(jié)論，能夠使學(xué)生感受數(shù)學(xué)探究的嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的態(tài)度。

二、正確處理操作的度的問題

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。課堂上教師組織學(xué)生在操作中探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，數(shù)學(xué)是做出來的，學(xué)生只有親歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，才能真正理解和掌握。但動(dòng)手操作不是最終目的，它是實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一個(gè)載體。在40分鐘的數(shù)學(xué)課堂上，教師所能利用操作材料的種類和時(shí)間是有限的，必須要精選操作的材料，要嚴(yán)控操作的次數(shù)，必須深挖每一種操作材料的價(jià)值，讓它最大限度地為發(fā)展學(xué)生的思維服務(wù)。例如在教學(xué)《怎樣折容積最大》中，課上學(xué)生一共經(jīng)歷了三次操作探究的過程。教者首先提出猜想：“從4個(gè)角上剪去相同的正方形，怎樣剪、折出的容積最大？”第一次是邊長(zhǎng)6厘米的正方形，4個(gè)角可以各剪邊長(zhǎng)多少厘米的小正方形。學(xué)生從整厘米數(shù)開始，按順序進(jìn)行操作。然后學(xué)生匯報(bào)數(shù)據(jù)，師生共同填表。第二次和第三次分別是邊長(zhǎng)12厘米、18厘米的正方形，4個(gè)角可以各剪邊長(zhǎng)幾厘米的正方形，共幾種整數(shù)剪法？按順序說一說，實(shí)驗(yàn)并搜集數(shù)據(jù)。然后學(xué)生匯報(bào)數(shù)據(jù)，師生填寫表格。最后進(jìn)行觀察、分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論。這一過程固然使學(xué)生真正成了學(xué)習(xí)的主人，都動(dòng)了起來，學(xué)生的主體地位更加顯現(xiàn)。但是筆者以為凡事有度，后面的第二、三兩次的操作是否有必要，結(jié)論的得出與其說是操作的結(jié)果，還不如說是學(xué)生通過計(jì)算得來的，很明顯這里的操作探究顯得可有可無，浪費(fèi)了寶貴的課上時(shí)間；其實(shí)，在課堂教學(xué)中，“知識(shí)”是本位的，而“探究過程”要做到何種程度，那就需要根據(jù)具體情況具體分析，每節(jié)課都要講過程，每個(gè)環(huán)節(jié)都要去探究，那是不必要的也是辦不到的。毫無疑問，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性很重要，通過探究發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生獲得直觀經(jīng)驗(yàn)的做法值得提倡，但我想操作探究的目的必須有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，必須有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，為了“探究”而探究，就背離了數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，能通過計(jì)算或推理直接可以得出的結(jié)論，為什么還要浪費(fèi)大量時(shí)間和精力去探究呢？畢竟通過教師傳授間接經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生獲取知識(shí)的主要渠道。

三、把握學(xué)情，溝通聯(lián)系，整體建構(gòu)

溝通聯(lián)系，整體建構(gòu)，是指著眼整體，統(tǒng)攬全局，加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)間的勾連，就是教師在安排每一次教學(xué)活動(dòng)時(shí)，必須在教學(xué)目標(biāo)的制定、教學(xué)策略的匹配、教學(xué)效果的評(píng)估等教學(xué)要素上充分考慮，做到心中有全局。每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、每一步的教學(xué)環(huán)節(jié)都放到整個(gè)大系統(tǒng)中去考量，所有的細(xì)節(jié)都圍繞整個(gè)教學(xué)目標(biāo)去考慮。這就要求我們?cè)谠O(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，要從整體、全局的角度處理教學(xué)活動(dòng)的各個(gè)環(huán)節(jié)，既要將某一教學(xué)內(nèi)容置于完整的學(xué)科體系中考量；還要進(jìn)行縱向比較，通過與之相關(guān)的前后幾塊教學(xué)內(nèi)容的比較，清晰本課時(shí)教學(xué)內(nèi)容在板塊中的地位，明確其教學(xué)重點(diǎn)。例如在蘇教版四年級(jí)上冊(cè)《垂線和平行線》單元，教材中首先教學(xué)垂直、點(diǎn)到直線的距離、畫垂線，接著教學(xué)平行、畫平行線。而在教學(xué)中，可以打破教材編排，深度融合，整體建構(gòu)。首先執(zhí)教平面內(nèi)兩條直線的關(guān)系，然后講點(diǎn)到直線的距離，接著講平行的畫法，最后進(jìn)行綜合練習(xí)。課上首先出示兩條直線，問學(xué)生是什么關(guān)系，接著出示4組兩條直線讓學(xué)生分類，初步感知平面內(nèi)直線的位置關(guān)系有相交和平行。而在教學(xué)點(diǎn)到直線的距離時(shí)，則反過來教。通常是先教學(xué)生畫點(diǎn)到直線的直線，然后讓學(xué)生比較，得出結(jié)論：在眾多的線段中，點(diǎn)到直線的垂直線段最短。從教學(xué)實(shí)踐來看，這部分內(nèi)容是個(gè)難點(diǎn)，即使學(xué)生機(jī)械模仿，方向一變?nèi)匀划嫴缓命c(diǎn)到直線的垂線，更難體會(huì)它是最短的。其實(shí)我們可以換個(gè)思路，調(diào)整一下順序，先讓學(xué)生將直線外一點(diǎn)和直線上幾個(gè)任意點(diǎn)連接，提出問題“量一量，比一比，看看有什么發(fā)現(xiàn)？”經(jīng)過幾番測(cè)量幾番比較，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)有一條線段很特殊，它不但最短，而且和直線交叉成直角，這時(shí)再來教學(xué)如何畫點(diǎn)到直線的垂線，效果會(huì)更好。一是學(xué)生更好地體會(huì)到了點(diǎn)到直線的含義，而不是片面地理解為點(diǎn)和直線上任意一點(diǎn)的連接線都叫點(diǎn)到直線的距離；二是很自然地溝通了前面所學(xué)平面內(nèi)畫垂線的方法。

四、關(guān)注圖形的本質(zhì)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目的主要是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，那么在“圖形與幾何”的教學(xué)中不能僅僅看到它的表面特征，必須要加強(qiáng)對(duì)圖形本質(zhì)內(nèi)涵的理解。比如在《圓的認(rèn)識(shí)》一課的教學(xué)中，我們必須要加強(qiáng)對(duì)圓的本質(zhì)內(nèi)涵的感悟理解。圓的本質(zhì)特征是“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”。由于小學(xué)生認(rèn)知水平還處于直觀形象階段，為此教材并沒有給出圓的定義，但是我們教師不能認(rèn)為這樣就不能對(duì)圓的上述內(nèi)涵進(jìn)行感悟。筆者以為，可以通過一些操作活動(dòng)將對(duì)圓的本質(zhì)內(nèi)涵的感悟融入其中。比如可以引導(dǎo)學(xué)生列舉生活中的圓，從與圓有關(guān)的自然現(xiàn)象聯(lián)想到與圓有關(guān)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，從中體會(huì)“定點(diǎn)”“定長(zhǎng)”的意思；在學(xué)生用圓規(guī)畫圓后，總結(jié)畫圓的基本操作步驟，讓學(xué)生體會(huì)圓規(guī)兩腳叉開的距離就是定長(zhǎng)，即半徑；固定針尖就是定點(diǎn)，即圓心；旋轉(zhuǎn)成圓其實(shí)就是無數(shù)個(gè)點(diǎn)的集合。最后可以讓學(xué)生解釋車輪為什么做成圓的而不是方的，車軸應(yīng)該安裝在車輪的什么位置，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到，圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都是相等的，將車輪做成圓形并將車軸安裝在圓心位置，就能使車輪滾動(dòng)時(shí)車軸到地面的距離始終是相等的，就使得行駛的車輛始終保持平穩(wěn)的狀態(tài)。這樣的操作和感悟相輔相成，學(xué)生對(duì)圓的本質(zhì)內(nèi)涵的理解就很深刻。

【參考文獻(xiàn)】

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