基于兒童思維 構建幾何直觀

摘 要：數學家克萊因說過：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。”幾何直觀作為最新提出的核心概念之一，得到了普遍的認可，但是由于受兒童的思維特質的影響，該概念在數學教學中的運用還存在一定的問題。因此為了更好地實現幾何直觀的價值，教師就需要依據兒童的思維，填補兒童的思維斷層，使其得到長足的發展。

關鍵詞：兒童思維；幾何直觀；表象；語言

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2018-03-07

作者簡介：喬國鋒（1976—），男，江蘇蘇州人，江蘇省蘇州市吳江區盛澤實驗小學教師，一級教師，本科，研究方向：小學數學教學。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“幾何直觀”定位為十大核心概念之一，同時指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。”借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路、預測結果，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”由此可見，幾何直觀對學生的思維發展有著極其重要的價值，同時也是一種解決數學問題的思維方式，而這樣的思維方式的建立對學生一生的數學發展都有著決定性的作用。但是由于“幾何”本來帶有一定的嚴格抽象的推理邏輯，對兒童而言是存在一定難度的。那么如何依據兒童的思維，填補兒童的思維斷層，真正實現其發展呢？可以從以下幾個方面做好鋪墊：

一、重視兒童的直觀感知

教育家夸美紐斯把“直觀”理解為利用一切感覺器官，更好地、更鮮明地、更牢固地掌握事物。西方哲學家通常認為：“直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識。”對于兒童來說，他們的認知都不是空白的，并且進入群體生活后，他們在日常的生活體驗中會積累一定的經驗。例如，兒童在玩耍蹺蹺板時，通過哪頭翹起可以判斷物體的輕重，這為他們將來認識天平方程等式積累直觀經驗。再如，兒童在用積木拼搭物體時，會考慮使用幾何形狀來代替某些部件，甚至還會考慮數量的關系，比如搭一個餐桌，他們肯定會找四根一樣長度的積木，這樣的體驗雖然是直觀的，但是又觸及了數學的本質，同時這些直觀感知為兒童建立后期的幾何直觀奠定了基礎。

同時進入小學階段學習后，低年級兒童正處于直觀思維階段，教師可以順應兒童的認知發展規律，采用“做中學”的方式，加強和擴充他們的直觀感知素材，以此來進一步發展他們的空間觀念。例如，學生可以通過對基本圖形的分類、剪拼加深理解圖形的本質，教師還可以通過讓學生觀察某一個圖形，讓其重構一個圖形。如學生觀察一個正方形塑料片后，可以通過選擇合適的木棒進行重構，這不僅可以加深他們對圖形的表征能力，更能理解正方形的本質特征，還能使他們的思維有一定的飛躍，感覺到所學的知識是“具體現實的，親身體驗的，眼睛能看到的或是感覺到的，甚至想象的”，這樣的感性認識可以將枯燥的知識直觀化、形象化、趣味化，為“幾何直觀”奠定基礎，打開思維大門。

二、加強兒童的數學表象

著名數學家徐利治先生也有過對幾何直觀的描述：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系，產生對數量關系的直接感知。”從這個角度而言，幾何直觀是兒童走向數學本質的一種路徑。小學階段的兒童還離不開具體事物的支持，這時候教師需要利用幾何直觀圖形的直觀性，將其深刻地植入兒童的頭腦中，以便于他們在日后的數學學習中有效提取。例如，在《認識小數》的教學中，學生雖然已經在日常生活中見過小數，同時在具體的學習情境中能使用小數，甚至能比較小數的大小，但未必能對小數有本質的理解。因此，在教學中，教師可以將抽象的數和具體的形相結合，利用數形結合進行教學。在教學時教師出示一把米尺，在米尺中上找到1分米，從分數的角度得到1/10米，接著得到0.1米。教師在這樣的過程中，利用一把米尺讓原來抽象的小數顯現出來，并讓學生明確小數的來歷，更容易感受部分與整體的關系。同時通過這樣的方式，還能為學生未來學習小數的相關知識奠定基礎，比如0.5和0.50的理解，通過圖形能清晰表示出兩者的異同點。

“幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態。”兒童的數學學習依賴于幾何直觀來幫助他們理解和思考，通過圖形的直觀性，他們可以一覽無余地感受到數之間的關系，從而快速識別，拓展思維廣度，更為自己解決數學問題提供思路。

三、實現文字語言與幾何語言的轉化

華羅庚說：“數無形不直觀，形無數難入微。”從這個角度而言，其實質是把數學問題中的運算、數量關系等與幾何圖形與直觀圖像聯系起來進行思考，用“形”的直觀補足“數”的抽象，從而使“數”與“形”相互依存，優勢互補，相輔相成，為順利解決問題提供有效的抓手。在數學學習的過程中，基本都是以文字來說明條件、以文字來提出問題的。在小學階段，學生學習了整數、小數、分數，由于整數、小數日常生活常見，所以學生在理解上難度不是很大，但是，學生在五、六年級的時候學習分數，明顯會感覺到難度很大，因為分數的形式是用兩個整數表示一個不是整數的數，因此其表征性更加隱蔽，造成了學生解答上的困惑。例如，在“每小時刷一面墻的1/5，1/4小時刷這面墻的幾分之幾？”這個問題上，1/5表示的是一個分率，是把墻看成了單位“1”，但是學生在理解這個問題的時候，眼中只有分數1/5，很難將整面墻聯系起來，而教師如果在講解這個問題時，只是讓學生機械理解分數應用題的解題步驟，那么將毫無意義。因此學生要將語言文字進行幾何表達，在這個轉化的過程中，教師需要引導學生用圖畫的形式表示出條件，先用粉色表示1/5，接著再思考1/4小時如何表示，這是一個需要慢慢思考的過程，因為這個過程需要學生抓住抽象的數學語言與直觀的圖形語言之間的聯系，從而為發展幾何直觀的能力提供路徑，啟發思路，促進數學思考方法的發展，這也是學生學習數學上的一次思維飛躍。

四、推理中展現幾何直觀的思維路徑

推理是從已有的判斷得出新判斷的思維形式。在小學階段，學生比較常用合情推理來解釋問題，雖然合情推理能避免高度抽象給他們帶來的學習障礙，但是推理究其思維難度比較高，所以對絕大部分學生來說問題還是比較多。因此這就需要學生把抽象的數學問題變成直觀的幾何直觀問題，使它們成為解決數學問題的向導，從而產生更為合理的理解，實現數學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的。例如，在五年級奇偶性問題時，教師讓學生說明兩個奇數相加的和是什么數，大部分學生都舉例子進行說明，如1+3=4、3+5=8等，其中有學生進行了幾何直觀證明，他把1畫成了一個正方形，3畫成了3個正方形，“1+3=4”，4個正方形他畫成了“2×2”的正方形矩陣形式。以此類推，在畫的過程中我們可以發現，怎么畫都可以是2個倍數，不會出現余1個的情況，這樣直觀的發現不僅有助于學生進一步發現數字間的規律，還能開辟學生新的思維路徑。正如有數學家說，所謂的“看”是一種直接判斷，是建立在長期有效的觀察和思考的基礎之上的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。這是一種難能可貴的數學潛質，通過直觀引發學生的發現，讓學生在發現中得到結論，既簡潔明了又格外深刻，這就是幾何直觀的妙處。

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，在數學研究中起著聯絡、理解，甚至是提供方法的作用。而幾何直觀則沿著一條“具體—抽象—具體”的思維路徑，用圖形闡述數學問題、用圖形描述問題、用圖形討論問題，形成生動的表象，實現讓數學在抽象與直觀間不斷轉化，以此形成概念、發展規律，最后幫助學生實現自己的創造性。

參考文獻：

[1]徐利治.談談我的一些數學治學經驗[J].數學通報，2000（5）：1-4.

[2]蔣文蔚.幾何直觀思維在科學研究及數學教學中的作用[J].數學教育學報，1997（4）：67-71.