從無理數的實際使用看高等數學教學內容的展開

張志海 龐培林 栗文國

摘 要：文章以無理數的實際使用為驅動，以數值算法構造思想為拓展，闡述了高等數學相關內容教學如何進行實施性的展開。過程體現以教師啟發、引導為前提，以師生間互動的討論式進行探究、發現，以歸納、概括、總結抽象一般結果的教學理念。

關鍵詞：問題驅動；探究式；無理數

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）21-0112-03

Abstract： Along with the actual use of irrational numbers and the idea of numerical algorithm construction， the problem of how to carry out the instructional design of related content about higher mathematics is discussed. By the means of teachers' inspiration and the discussion between teachers and students， this thesis explores the teaching idea which can discuss， discover and summarize the general results.

Keywords： problem driven； inquiry teaching method； irrational numbers； higher mathematics

高等數學是以函數作為研究對象，核心內容是微積分學，思想、方法的實質則是以動的、變化的、聯系的看待和處理問題。課程所涉內容建立的方法體系決定了它是開展一切科研活動的重要工具，確立了它在提高學生綜合、靈活使用知識解決實際問題能力的作用；蘊含有哲學性、科學性的思想體系和語言描述上的嚴謹、完美奠定了它在人的世界觀改造和素質教育中的地位和價值。這是大學教育中普遍開設此課程理由，也是其成為理工科各專業重要的一門基礎課的原因。

人類對數的認識始于自然數，接著認識了分數，借助數“零”和負數的引入，順利形成了有理數系。無理數的發現源于畢達哥拉斯學派，從它的發現、普遍概念的形成，到用代數方法更精確地形成無理數的理論基礎，人們對無理數的本質及其理論的完整認識經歷了一個極為艱難的時期，期間有人為此付出了生命的代價，也引發了第一次數學危機。直到19世紀中葉之后， 隨著實數理論的完整建立，人們對無理數的認識從理論上才得以解決，并被廣泛接受。正是有了以有理數、無理數組成的實數理論，才真正建立了數與數軸上的點間“一一”對應，進而借助數軸上點的連續性，實現了對數的認識由離散向連續的升華。這是現代分析學（包括微積分學）和幾何學發展的基礎，也是數學發展史上一次重大的進步。

實數由有理數和無理數構成，任意兩個實數間既有大量的無理數，亦有大量的有理數。有理數可被表為小數或無限循環小數，無理數則被表為無限不循環小數。正是無限不循環性使得準確的無理數看得見摸不著，這即是無理數最初不被接受的原因，也是造成無理數在實際使用中的困難所在.準確的無理數使微積分學及現代分析學有了堅實的立足點，實際使用的無理數對理解和認識微積分學會提供什么幫助呢？我們以為例，走進實際使用的無理數看問題驅動下高等數學相關內容的教學展開。

1. 比較的目的是提供近似計算公式建立過程中對初始近似補償部分選取的依據；

2. 比較的是無窮小趨于零的速度的快慢程度；

3. 比較的基礎是都為同一自變量變化過程下的無窮小。

結合曾處理過的兩個無窮小之商極限所出現的結果，不難建立比較的方法。

二、函數的微分

數學理論的產生源自于人們實際生活和生產活動.它或是人們實際生活和生產活動所遇不同背景下問題在解決過程中的研究對象、處理方法所呈現出共性的高度抽象、歸納、概括和總結；或是利用處理特定問題過程中觀察、發現所得的具有一般意義下的特殊結果，建立從群體中進行類別區分的原則，并通過類比方法找到各類別所具有的不同規律、存在的環境和條件，進而形成歸類的判斷方法。

函數的微分概念建立后，剩余的問題就是本著數學處理問題的一貫思想，1. 在新建立的微分與已有結果間關系的探索中去獲取函數可微的判斷及如何求函數微分的方法；2. 數學理論的實際指導意義，即利用微分所建立的近似式結構樹立實際問題解決過程中可實現以直代曲，非線性問題線性化。

探究函數能這樣寫且滿足要求的條件，便可針對一般函數引導出泰勒公式。

數學是一門追求準確性的科學，以泰勒公式提供的計算近似值算法為基礎，以追求準確為目標引發的無窮項求和及函數的冪級數展開等問題不再一一描述。

四、結束語

教學實踐表明：以貼近生活和實際的問題為驅動，營造數學理論產生的意境，在教師的啟發、引導下，通過師生間的互動、討論，在問題求解所呈現出的規律和共性的探索、發現中去抽象、歸納、概括和總結，在結論富有嚴密邏輯性的推導中去驗證，在完美和嚴謹的語言描述下去體驗，不僅可提高學生學習數學的興趣和動力，也可充分展現數學教育在提高學生素質上的教學功能，發揮其對學生創新意識、創新能力培養的作用。

參考文獻：

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