從無理數(shù)的實際使用看高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的展開

張志海 龐培林 栗文國

摘 要：文章以無理數(shù)的實際使用為驅(qū)動，以數(shù)值算法構(gòu)造思想為拓展，闡述了高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容教學(xué)如何進(jìn)行實施性的展開。過程體現(xiàn)以教師啟發(fā)、引導(dǎo)為前提，以師生間互動的討論式進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)，以歸納、概括、總結(jié)抽象一般結(jié)果的教學(xué)理念。

關(guān)鍵詞：問題驅(qū)動；探究式；無理數(shù)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）21-0112-03

Abstract： Along with the actual use of irrational numbers and the idea of numerical algorithm construction， the problem of how to carry out the instructional design of related content about higher mathematics is discussed. By the means of teachers' inspiration and the discussion between teachers and students， this thesis explores the teaching idea which can discuss， discover and summarize the general results.

Keywords： problem driven； inquiry teaching method； irrational numbers； higher mathematics

高等數(shù)學(xué)是以函數(shù)作為研究對象，核心內(nèi)容是微積分學(xué)，思想、方法的實質(zhì)則是以動的、變化的、聯(lián)系的看待和處理問題。課程所涉內(nèi)容建立的方法體系決定了它是開展一切科研活動的重要工具，確立了它在提高學(xué)生綜合、靈活使用知識解決實際問題能力的作用；蘊含有哲學(xué)性、科學(xué)性的思想體系和語言描述上的嚴(yán)謹(jǐn)、完美奠定了它在人的世界觀改造和素質(zhì)教育中的地位和價值。這是大學(xué)教育中普遍開設(shè)此課程理由，也是其成為理工科各專業(yè)重要的一門基礎(chǔ)課的原因。

人類對數(shù)的認(rèn)識始于自然數(shù)，接著認(rèn)識了分?jǐn)?shù)，借助數(shù)“零”和負(fù)數(shù)的引入，順利形成了有理數(shù)系。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)源于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，從它的發(fā)現(xiàn)、普遍概念的形成，到用代數(shù)方法更精確地形成無理數(shù)的理論基礎(chǔ)，人們對無理數(shù)的本質(zhì)及其理論的完整認(rèn)識經(jīng)歷了一個極為艱難的時期，期間有人為此付出了生命的代價，也引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機。直到19世紀(jì)中葉之后， 隨著實數(shù)理論的完整建立，人們對無理數(shù)的認(rèn)識從理論上才得以解決，并被廣泛接受。正是有了以有理數(shù)、無理數(shù)組成的實數(shù)理論，才真正建立了數(shù)與數(shù)軸上的點間“一一”對應(yīng)，進(jìn)而借助數(shù)軸上點的連續(xù)性，實現(xiàn)了對數(shù)的認(rèn)識由離散向連續(xù)的升華。這是現(xiàn)代分析學(xué)（包括微積分學(xué)）和幾何學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一次重大的進(jìn)步。

實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)構(gòu)成，任意兩個實數(shù)間既有大量的無理數(shù)，亦有大量的有理數(shù)。有理數(shù)可被表為小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)則被表為無限不循環(huán)小數(shù)。正是無限不循環(huán)性使得準(zhǔn)確的無理數(shù)看得見摸不著，這即是無理數(shù)最初不被接受的原因，也是造成無理數(shù)在實際使用中的困難所在.準(zhǔn)確的無理數(shù)使微積分學(xué)及現(xiàn)代分析學(xué)有了堅實的立足點，實際使用的無理數(shù)對理解和認(rèn)識微積分學(xué)會提供什么幫助呢？我們以為例，走進(jìn)實際使用的無理數(shù)看問題驅(qū)動下高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)展開。

1. 比較的目的是提供近似計算公式建立過程中對初始近似補償部分選取的依據(jù)；

2. 比較的是無窮小趨于零的速度的快慢程度；

3. 比較的基礎(chǔ)是都為同一自變量變化過程下的無窮小。

結(jié)合曾處理過的兩個無窮小之商極限所出現(xiàn)的結(jié)果，不難建立比較的方法。

二、函數(shù)的微分

數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生源自于人們實際生活和生產(chǎn)活動.它或是人們實際生活和生產(chǎn)活動所遇不同背景下問題在解決過程中的研究對象、處理方法所呈現(xiàn)出共性的高度抽象、歸納、概括和總結(jié)；或是利用處理特定問題過程中觀察、發(fā)現(xiàn)所得的具有一般意義下的特殊結(jié)果，建立從群體中進(jìn)行類別區(qū)分的原則，并通過類比方法找到各類別所具有的不同規(guī)律、存在的環(huán)境和條件，進(jìn)而形成歸類的判斷方法。

函數(shù)的微分概念建立后，剩余的問題就是本著數(shù)學(xué)處理問題的一貫思想，1. 在新建立的微分與已有結(jié)果間關(guān)系的探索中去獲取函數(shù)可微的判斷及如何求函數(shù)微分的方法；2. 數(shù)學(xué)理論的實際指導(dǎo)意義，即利用微分所建立的近似式結(jié)構(gòu)樹立實際問題解決過程中可實現(xiàn)以直代曲，非線性問題線性化。

探究函數(shù)能這樣寫且滿足要求的條件，便可針對一般函數(shù)引導(dǎo)出泰勒公式。

數(shù)學(xué)是一門追求準(zhǔn)確性的科學(xué)，以泰勒公式提供的計算近似值算法為基礎(chǔ)，以追求準(zhǔn)確為目標(biāo)引發(fā)的無窮項求和及函數(shù)的冪級數(shù)展開等問題不再一一描述。

四、結(jié)束語

教學(xué)實踐表明：以貼近生活和實際的問題為驅(qū)動，營造數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生的意境，在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，通過師生間的互動、討論，在問題求解所呈現(xiàn)出的規(guī)律和共性的探索、發(fā)現(xiàn)中去抽象、歸納、概括和總結(jié)，在結(jié)論富有嚴(yán)密邏輯性的推導(dǎo)中去驗證，在完美和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言描述下去體驗，不僅可提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動力，也可充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)教育在提高學(xué)生素質(zhì)上的教學(xué)功能，發(fā)揮其對學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力培養(yǎng)的作用。

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