巧用漸近線解雙曲線離心率

吳芳

摘 要 本文采用數形結合的方法，通過對雙曲線中的離心率與漸近線關系的研究，巧妙計算雙曲線離心率的問題，簡化計算過程，有效提高了解題效率，進而提高學生數字核心素養。

關鍵詞 雙曲線；漸近線；離心率；數形結合

中圖分類號：TH132.415 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）36-0241-01

漸近線是雙曲線所特有的一個性質，在雙曲線的學習中占據一定的空間。由于雙曲線的離心率 ，所以雙曲線中的離心率問題與漸近線問題密切相關，兩者可相互轉化。

而在運用雙曲線 的漸近線解決問題時，我們往往更多地關注漸近線的代數表達式 ，而忽略了與離心率直接相關的 與漸近線傾斜角 這一幾何要素之間的關聯 。巧用漸近線的傾斜角，從“形”的角度去建構 的等量關系，能夠大大地簡化計算，提高解題效率。

例1：已知 ， 分別是雙曲線 的左、右焦點，過 與雙曲線的一條漸近線平行的直線交另一條漸近線于點M，若 為直角，則雙曲線離心率為_________

解：記 ，不妨設 ，則有 。

又∵ ∴ ，由此可得

即 ，根據 可算得離心率 。

此解法是從漸近線的形出發，利用平行和直角三角形的性質，直接求解漸近線的傾斜角，從而得到 的等量關系，簡潔明了，所以在涉及漸近線問題時，我們不僅僅注意它的方程，還要抓住“角”這一形的代表，體現了數形結合的數學思想。

例2：已知雙曲線 的右頂點為 為坐標原點，以 為圓心的圓與雙曲線 的某漸近線交于兩點 .若 ，則雙曲線 的離心率為________

解：過 作 ，設 ，根據圓的性質可知， ，所以在 中， ，由此，可算得 。

此解法構建了關于漸近線傾斜角的直角三角形，利用邊長關系求得傾斜角的正切值，進而求得離心率，以形助數，簡化計算。

例3：已知雙曲線 的右焦點為 ，過 的直線 交雙曲線的漸近線于 兩點，且與其中一條漸近線垂直，若 ，則該雙曲線的離心率為______

解：如圖，不妨設 ，易知 ，∴ ，則在 ，可得 ，即 ；

另解：由漸近線的對稱性可知 的角平分線，由此可知 ，∴ ，根據勾股定理可得 ，即 ，得 。

此題借助漸近線有關的特征三角形及漸近線傾斜角的邊角關系進行列式。

在雙曲線漸近線的教學中，筆者認為既要學生掌握雙曲線漸近線的方程這一代數表達式，也要關注漸近線傾斜角這一幾何要素，以形助數，以數解形，有利于問題的簡化，也有利于學生把握數學問題的本質，滲透數形結合的思想方法，提升學生數學核心素養。

參考文獻：

[1]王興月.巧解雙曲線中有關漸近線的問題[J].中學數學教學參考，2015（7X）：54-55.