巧用漸近線解雙曲線離心率

吳芳

摘 要 本文采用數(shù)形結(jié)合的方法，通過(guò)對(duì)雙曲線中的離心率與漸近線關(guān)系的研究，巧妙計(jì)算雙曲線離心率的問(wèn)題，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，有效提高了解題效率，進(jìn)而提高學(xué)生數(shù)字核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 雙曲線；漸近線；離心率；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：TH132.415 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）36-0241-01

漸近線是雙曲線所特有的一個(gè)性質(zhì)，在雙曲線的學(xué)習(xí)中占據(jù)一定的空間。由于雙曲線的離心率 ，所以雙曲線中的離心率問(wèn)題與漸近線問(wèn)題密切相關(guān)，兩者可相互轉(zhuǎn)化。

而在運(yùn)用雙曲線 的漸近線解決問(wèn)題時(shí)，我們往往更多地關(guān)注漸近線的代數(shù)表達(dá)式 ，而忽略了與離心率直接相關(guān)的 與漸近線傾斜角 這一幾何要素之間的關(guān)聯(lián) 。巧用漸近線的傾斜角，從“形”的角度去建構(gòu) 的等量關(guān)系，能夠大大地簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率。

例1：已知 ， 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過(guò) 與雙曲線的一條漸近線平行的直線交另一條漸近線于點(diǎn)M，若 為直角，則雙曲線離心率為_(kāi)________

解：記 ，不妨設(shè) ，則有 。

又∵ ∴ ，由此可得

即 ，根據(jù) 可算得離心率 。

此解法是從漸近線的形出發(fā)，利用平行和直角三角形的性質(zhì)，直接求解漸近線的傾斜角，從而得到 的等量關(guān)系，簡(jiǎn)潔明了，所以在涉及漸近線問(wèn)題時(shí)，我們不僅僅注意它的方程，還要抓住“角”這一形的代表，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

例2：已知雙曲線 的右頂點(diǎn)為 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 為圓心的圓與雙曲線 的某漸近線交于兩點(diǎn) .若 ，則雙曲線 的離心率為_(kāi)_______

解：過(guò) 作 ，設(shè) ，根據(jù)圓的性質(zhì)可知， ，所以在 中， ，由此，可算得 。

此解法構(gòu)建了關(guān)于漸近線傾斜角的直角三角形，利用邊長(zhǎng)關(guān)系求得傾斜角的正切值，進(jìn)而求得離心率，以形助數(shù)，簡(jiǎn)化計(jì)算。

例3：已知雙曲線 的右焦點(diǎn)為 ，過(guò) 的直線 交雙曲線的漸近線于 兩點(diǎn)，且與其中一條漸近線垂直，若 ，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_____

解：如圖，不妨設(shè) ，易知 ，∴ ，則在 ，可得 ，即 ；

另解：由漸近線的對(duì)稱性可知 的角平分線，由此可知 ，∴ ，根據(jù)勾股定理可得 ，即 ，得 。

此題借助漸近線有關(guān)的特征三角形及漸近線傾斜角的邊角關(guān)系進(jìn)行列式。

在雙曲線漸近線的教學(xué)中，筆者認(rèn)為既要學(xué)生掌握雙曲線漸近線的方程這一代數(shù)表達(dá)式，也要關(guān)注漸近線傾斜角這一幾何要素，以形助數(shù)，以數(shù)解形，有利于問(wèn)題的簡(jiǎn)化，也有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王興月.巧解雙曲線中有關(guān)漸近線的問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（7X）：54-55.