淺析數(shù)形結合方法在高中數(shù)學教學中的應用

韋技良

【摘要】數(shù)形結合是數(shù)學中的一類數(shù)學思想，也是一種數(shù)學方法，其既可以在教學中發(fā)揮作用，也可以在學習上形成助推。本文針對數(shù)形結合的基本概念作了簡單分析，然后從高中數(shù)學的角度切入，分析了數(shù)形結合方法所能發(fā)揮的作用以及其應用的基本原則，最后結合實例剖析了數(shù)形結合方法在高中數(shù)學教學中的具體應用，希望可以對高中數(shù)學教師起到一定的參考作用。

【關鍵詞】數(shù)形結合 高中數(shù)學 作用 原則 應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）21-0077-02

數(shù)學是高中階段一門非常難的科目，對于學生而言，學習起來比較吃力，很多學生表示數(shù)學最難。根據(jù)很多教師的反饋，數(shù)學科目教學活動也比較吃力，而且效果往往不佳。究其原因，主要是因為教學模式比較抽象刻板，學生理解起來存在阻礙，不能有效明確教師所講內(nèi)容。因此，有教師提出了將數(shù)形結合方法運用到教學中的思想，通過實踐運用，該方法對于高中數(shù)學教學活動表現(xiàn)出了有效的助推作用。因此，下文就對其展開了深入的研究。

一、數(shù)形結合方法的概念內(nèi)涵

鑒于數(shù)字和圖形可以實現(xiàn)相互轉化，由此歸納總結得出了數(shù)形結合這一數(shù)學思想。具體說來，屬性結合指的是將數(shù)字和圖形結合起來，作為一個整體對待，由此對相關問題進行深入分析和理解。在實際運用中，數(shù)形結合方法可以分為兩種形式，一種是以形助數(shù)，即通過圖形對數(shù)字方面的問題進行求解；另一種是以數(shù)解形，即通過數(shù)字對圖形進行求解。這兩種形式，也是在教學活動中最常用的手段。

二、數(shù)形結合在高中數(shù)學教學中的作用和應用原則

（一）作用

高中數(shù)學涉及到的知識內(nèi)容較廣，這個數(shù)形結合方法的應用提供的廣闊的空間。具體說來，在集合問題上，經(jīng)常使用Venn圖或是數(shù)軸等圖像，對集合匯總的補集、交集、并集等問題進行求解，由此簡化單純數(shù)字問題的復雜關系。在方程與不等式的問題上，往往涉及到根、交點等要素，結合圖像對交點、增減趨勢進行判斷，可以比較簡便的解答問題。在三角函數(shù)上，往往涉及到三角函數(shù)值大小、單調區(qū)間等問題，通過三角函數(shù)圖像或是單位圓，可以簡化求解流程。而在解析幾何、立體幾何等方面，面對點、線、面等圖形關系，可以利用單穿的代數(shù)運算解決問題，方便快捷。

（二）應用原則

在運用數(shù)形結合方法進行高中數(shù)學教學的時候，需要遵循一定的基本原則，確保教學活動的有效性。首先，數(shù)形結合方法的使用，應該簡化教學活動，使其直觀簡便。運用數(shù)形結合的方法進行教學，就是為了實現(xiàn)知識點的立體化透視，讓學生能夠更加深入了解其中要點，形成有效掌握。因此在運用數(shù)形結合方法的時候，就要本著簡單直觀的目的，突出其作用。其次，數(shù)形結合方法的運用需要體現(xiàn)出創(chuàng)新，不能落于俗套。數(shù)形結合的方法雖然近些年比較火熱，但是其運用在很久之前就開始了。因此在全新的教育形勢下，對數(shù)形結合思想的運用不能再局限在過去的老舊思維，需要跳出來，依照當前的實際情況，創(chuàng)新出更加新穎的教學方法。

三、高中數(shù)學教學中數(shù)形結合方法的具體應用

（一）以形助數(shù)

以形助數(shù)，就是通過圖形的形式方法幫助解決代數(shù)問題。在高中數(shù)學中，數(shù)列、集合、不等式、方程等都屬于代數(shù)部分，而這些知識點有都和圖形存在非常緊密的關聯(lián)。以形助數(shù)就可以通過圖形對這些方面的知識點形成全面透視。在教學活動中，要實現(xiàn)以形助數(shù)這一方法的運用，需要教師做好三個方面的工作。第一，明確內(nèi)容與數(shù)形結合的關系。在高中數(shù)學中，雖然大部分知識都能夠通過數(shù)形結合這一渠道展開教學，但是也有少部分知識不適宜這一教學方法。

比如，在教學三角函數(shù)的相關知識時，會涉及到正弦、余弦、正切、余切等方面的概念知識。這些概念比較抽象，因此在教學中就可以運用以形助數(shù)的方法，加強學生的理解。然后教師可以設置一定的例題，對以形助數(shù)進行實際運用。如：

求π的正弦、余弦和正切值。對于這個題目，通過分析可以得知，利用特殊值法和圖像法都可以進行求解，但是特殊值法涉及到角度轉化，因此利用圖像法更為簡便，即以形助數(shù)。可以畫出π的圖像，如下圖1所示。然后進行求解，在角π的終邊上任取一點P（1，y），在直角三角形PAO中，AO=1，則r=|OP|=2，|AP|=，即p（1，-）。由定義可以。

（二）以數(shù)解形

和以形助數(shù)不同，以數(shù)解形主要是通過代數(shù)方法求解圖形方面的問題。但是并不是直接進行代數(shù)求解，而是先對圖形進行分析，找出其中點、線、面之間的相互關系，然后再通過代數(shù)的形式解出問題.如此，就能夠大大簡化復雜的幾何空間邏輯推斷，提升學生的解題正確率。

比如，在教學圓錐曲線的過程中，教師就可以設置這樣的典型案例引入以數(shù)解形的教學活動：F1、F2是橢圓C：（）的兩個焦點，P是橢圓C上一點，且，若的面積為9，求b值，具體如圖2所示。

從圖中就可以看出，其中存在比較明顯的代數(shù)關系，因此可以利用以數(shù)解形的思想，將其轉化為代數(shù)問題：設，，結合橢圓曲線相關性質得出：

解方程組：，所以，從而解得。

通過典型案例的分析講解，讓學生認識到數(shù)形結合的好處所在，然后教師在設置相應的練習題目讓學生鞏固練習。如：圖3中，有正方體ABCD—A1B1C1D1，其棱長為1，P是DD1中點，O1、O2、O3分別是面A1B1C1D1，面B1BCC1，面ABCD的中心。求證：。

四、結束語

數(shù)形結合方法在高中數(shù)學教學中具有重要的作用，對于提升教學效果意義重大。因此，對于高中數(shù)學教師而言，需要認識到數(shù)形結合的內(nèi)涵實質，從以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面展開教學，增強學生的數(shù)學水平。

參考文獻：

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[2]耿海龍.高中數(shù)學教學中數(shù)形結合法的應用研究[J].亞太教育，2016，13：78

[3]吳凌云.高中數(shù)學教學中數(shù)形結合法的應用[J].品牌，2015，05：214

【摘要】本文主要論述了思維導圖在數(shù)學教學中的運用情況，它的發(fā)生、發(fā)展背景，以及在現(xiàn)階段的優(yōu)勢，也傳遞了作者的反思與困惑。

【關鍵詞】思維導圖 數(shù)學教學 應用 反思

【基金項目】河南省基礎教育教學研究專項課題課題名稱：電子白板及思維導圖軟件輔助初中數(shù)學教學的應用研究課題編號：XBJY1476。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）21-0073-03

一、問題的提出

素質教育，實質是強調以學生為學習的主體，發(fā)展學生的學科思維為目的的，同時培養(yǎng)健康人格的教育，而不是知識的容器，在知識大爆炸的如今，素質教育對知識的傳承和體驗要求更高的速度和精準度，在開展素質教育的過程恰當?shù)慕虒W學習方法和思路特別重要，作為一線教師，筆者從沒放棄對此教學問題的探索，努力探求學生學習的最佳方法和途徑，以期最佳的學習效果和思維能力的培養(yǎng)。

在初中數(shù)學教學實踐中，經(jīng)常會碰到這樣的情況：老師上課時學生都能聽懂，對著例題練習都會做。但到考試或實際應用數(shù)學知識解決問題時卻覺得無從下手。學生經(jīng)常感嘆數(shù)學“一聽能懂，一看可會，一做出錯”；而許多教師則感嘆，為什么我講得越來越多，而學生掌握的越來越少呢？為什么現(xiàn)在的學生越來越難教呢？……所有這些都暴露出所教知識片面、孤立沒有形成知識網(wǎng)絡，對知識所處的環(huán)境認識不夠，缺乏知識點間邏輯關系的理解，對學科知識產(chǎn)生的思維過程不連續(xù)等傳統(tǒng)課堂教學的嚴重弊端。我們傳統(tǒng)的知識傳授的課堂教學方式，從根本上講，它忽視了學科知識網(wǎng)絡化、全面化，其表現(xiàn)就是“一學就會，模仿會做，一變就錯”、“綜合題不會分析，不會知識遷移”，使大批學生片面接受的知識點，不連貫，不系統(tǒng)，嚴重扼殺了學生的學習積極性和創(chuàng)新精神。學生不能較好地辨別和建構概念與命題框架，只是片面死記硬背大量的公理與公式。這樣，知識的存儲就處于零星狀態(tài)，沒有形成知識的網(wǎng)絡。并且學習過程中只重視模仿性地做題，而對數(shù)學中的概念、規(guī)律缺乏深入的理解，對實際數(shù)學中問題的分析缺乏正確的方法，所以在知識提取時表現(xiàn)出較大的難度。

眾所周知，當今時代是信息爆炸的時代，僅靠課堂所傳授的那點知識是遠遠不能滿足學生需要的。因此，課堂教學要與時俱進，就不僅要傳授知識點的概念、原理，而且要引導學生認識學科知識產(chǎn)生的思維過程，引導幫助學生建立自己的學科知識體系，從而使學生自己學會學習，而思維導圖就可以實現(xiàn)這一目標。

本文正是在此前提下，針對傳統(tǒng)初中數(shù)學教學中存在的問題，就指導學生如何應用思維導圖進行課前預習、課堂筆記、課后復習教學開展一些有益的探索和嘗試。

二、思維導圖的制作與教學優(yōu)勢

1.思維導圖的認識與近段發(fā)展

思維導圖（MindMapping）又叫心智圖，由英國心理學家托尼·巴贊（TonyBuzen）于1970年提出，它以放射性思考為基礎，是一個簡單、高效、放射性、形象化的思維工具，能夠全面調動左腦的邏輯、順序、條例、文字、數(shù)字以及右腦的圖像、想象、顏色、空間、整體思維，使大腦潛能得到最充分的開發(fā)，從而極大地激發(fā)人們的創(chuàng)造性思維能力。是一種有效的思考策略、思考方法、思考工具。

“思維導圖”按照發(fā)散性思考的特征，把注意的焦點清晰地集中在中央圖形上，主題的主干從中央向四周放射；分支由一個關鍵的圖形或寫在產(chǎn)生聯(lián)想的線條上面的關鍵詞構成，次級話題也以分支形式表現(xiàn)出來，附在較高層次的分支上；各分支形成一個連接的節(jié)點結構并且末端開放。因此，思維導圖在表現(xiàn)形式上是樹狀發(fā)散結構。

美國管理學作家DrTonyTurrill評價說：“思維導圖可以讓復雜的問題變得非常簡單，簡單到可以在一張紙上畫出來，讓你一下子看到問題的全部。它的另一個巨大優(yōu)勢是隨著問題的發(fā)展，你可以幾乎不費吹灰之力地在原有的基礎上對問題加以延伸。”波音公司將原本須費時一年才能上完的關于飛機維修技術的培訓，運用思維導圖方法重新整理課程之后（將所有的飛機維修工作手冊繪成一張25英尺的思維導圖），僅花了短短數(shù)周便有效地執(zhí)行完成了訓練計劃，估計因為運用思維導圖作為教育訓練工具所節(jié)省的經(jīng)費達美金一仟一百萬。

思維導圖如何有效的應用到教學中，在我們國家許多人也做了大量的嘗試，最有影響力的是全國教育信息技術研究“十二五”規(guī)劃（2011）重點課題《思維可視化技術與學科整合的理論和實踐研究》，是由華東師范大學現(xiàn)代教育技術研究所特聘研究員、思維可視化教學實驗中心主任劉濯源教授主要開展，他是思維可視化教學模式系統(tǒng)架構設計者、總培訓指導師，他提出“學科思維導圖”的概念，作為一種“基于系統(tǒng)思考的知識建構策略”強調了以學科知識為載體，以發(fā)展學生的學科邏輯思維能力為目標的理念，是一種較好的思維導圖與學科知識教學學習相結合的思路策略，已被全國五百多所課題實驗學校引進，并在教學實踐中取得顯著成效。

2.思維導圖的制作過程

目前制作思維導圖的工具很多，除了word、ppt外，還有專門制作思維導圖的專業(yè)軟件如mindmanager、mindmapper等。現(xiàn)就簡單的手繪給予介紹一下。

制作準備：幾張白紙和多種顏色筆。

制作步驟：

⑴把主題畫在紙的中央。主題可以用關鍵字和圖像來表示。所謂關鍵字，是表達本節(jié)或本學科相關核心概念的字或詞，或用我們數(shù)學中的符號語言或圖來代替。其應該是表示學科內(nèi)具體的容、有體現(xiàn)對學科內(nèi)容理解的意義。這樣，有助于我們進行理解記憶。

⑵“次主題”，也就是在上一層主題下延伸的具有某種邏輯關系的知識點或環(huán)節(jié)。次主題關鍵詞的提煉，同主題關鍵詞的提煉一樣。

⑶“次主題”后，羅列更為細節(jié)的具有邏輯關系的要點。這個時候要注意的是，任何一個要點出現(xiàn)的時候，盡可以自然地將它用學科“關鍵詞”的方式表達出來，并把它和最相關的“次主題”連接起來。

⑷整理思維過程時，任何一個“次主題”都要用一種顏色來表示。而且，如果可能的話，要盡可能用直觀的相關數(shù)學符號語言或圖像來表達知識的內(nèi)涵，這可以大大加深理解和記憶。

3.思維導圖輔助數(shù)學教學的優(yōu)勢

在初中數(shù)學的學習過程中，學生需要記憶和理解的知識點較多，基本概念、定義、公理、運算的法則和技巧等。內(nèi)容多、易混淆，嚴重影響了學生的學習能力，增加了學習負擔，加上還有些學生聽課時不善于整理筆記，往往以記的不全面、完整造成筆記質量不高，思路不清，對知識形不成完整的認識，和對知識間的邏輯關系缺少思考，不會遷移等，更加影響了學生學科思維的形成，也談不上分析問題解決問題能力的提高。

而思維導圖可以讓學生的學習變得輕松而快樂。思維導圖是一種記憶與思維方式，它以直觀形象的圖示建立起各個概念之間的聯(lián)系。思維導圖僅用關鍵詞、圖形和各種顏色的連線等可以把一節(jié)課、一個單元的知識甚至一本書、一門課程的內(nèi)容“梳理”并“壓縮”成由關鍵信息及其顯現(xiàn)的邏輯關系所組成的一張圖，去除了冗余雜亂的信息，保留了關鍵內(nèi)容，這不僅便于加速資料的累積量，大大減輕了記憶的負擔，更將知識點內(nèi)容依據(jù)本學科的知識系統(tǒng)的邏輯關系分層分類管理，使資料的儲存、管理及應用更加系統(tǒng)化，從而提高大腦的思維能力的發(fā)展，使學習者在浩瀚無邊的知識海洋中能夠快速獲取所需的知識，體驗知識的邏輯關系，提高對知識的理解遷移能力，獲得成就感。思維導圖和傳統(tǒng)的記筆記方法相比有較大的優(yōu)勢。⑴它順應了學科的邏輯思維模式，可以讓我們對學科知識的各種觀點自然地在圖上表達出來。⑵能夠加強記憶，因為在圖示中通過使用關鍵詞，既可以積極地聽講，又強迫我們在做筆記的時候就要思考知識體系的要點到底是什么。⑶激發(fā)右腦，因為在創(chuàng)作導圖的時候還使用顏色、形狀和想象力。

數(shù)學課上，新知識產(chǎn)生，知識點歸類、復習可用思維導圖。學生借助他們自己喜歡的圖形或關鍵詞，把自己對學科知識系統(tǒng)的理解以導圖的形式構建出來，不斷完善就是不斷對學科知識系統(tǒng)的不斷思索，同時做到了思維可視化，知識內(nèi)容具體化，達到抽象思維和形象思維的有機結合和轉化。長期使用思維導圖可以增強學生的概括分析能力，增強學生的立體思維能力，增強學生的總體把握能力，及記憶力。

思維導圖在教學方面的使用可以幫助老師迅速了解學生對知識的理解掌握情況，并對教學策略作出調整，使教學更有針對性，更有成效；同時它的可視化也使學生理順抽象的知識脈絡結構的問題落到實處，具有很好的可操作性，提高記憶力，增強學習能力。思維導圖也有利于老師的課堂教學，上好課的前提是要備好課，而以思維導圖的形式備課比寫出來更快，而且可以讓講課的人和學生始終都能掌握全盤內(nèi)容。另外，它也能使教師的教案不僅不會隨著年歲增加而變得相對僵硬，反而會更有彈性，更容易更改。

三、思維導圖在數(shù)學教與學中的應用

1.學科思維導圖在課前預習中的運用

課前預習是學生提高聽課效果的重要環(huán)節(jié)。如何才能讓學生們短時間內(nèi)的預習能達到較好的效果呢？可嘗試指導學生運用思維導圖進行預習。學生在預習新課內(nèi)容時，可以采用思維導圖的方式。可以在原有知識的基礎上延伸出新的知識，這個時候，思維導圖就能清晰地展現(xiàn)了新舊知識間的關系，可以促進學生的有效學習。先讓學生預習完新的學習內(nèi)容之后，思考與舊知識的關系，完成本學科內(nèi)已學過的相關知識網(wǎng)絡，說出新舊知識的邏輯關系。具體做時，讓學生在白紙的中央以一個常用的習慣的圖像（例如一個太陽或一朵云）為中央主題，在繪制草稿圖形時能讓大腦一下子進入快速思考學習的步驟，此動作會接著產(chǎn)生一系列的學習思考動作。如畫上一朵云后，在云朵中央用一個關鍵詞或數(shù)學符號語言及幾何圖象等形式寫下預習的主要內(nèi)容所屬的核心概念，同時從云朵中央向外畫上幾條曲線作為主要分支（視內(nèi)容定分支數(shù)），在主要分支的基礎上可以有更小的分支。在預習時快速閱讀內(nèi)容，思考知識產(chǎn)生的過程，找出概念中的關鍵詞或符號語言及幾何圖形等形式，填到主要分支的線上。當該主要分支上還有更細小的分支時，則繼續(xù)重復上述操作。完成所有關鍵詞填寫后，接著在思維導圖上做好相關的標記。例如，在對已理解、有疑惑、完全不明白的各分支上用有色筆分別標注上“√”、“√﹨”、“×”等等。

2.思維導圖在數(shù)學課堂教學中的運用

（1）在學生聽課中的運用

心理學家指出，中學生能持續(xù)集中精神聽課的時間約20分鐘左右。因此，聽課過程中學生走神是很正常的現(xiàn)象。為避免或減少因學生走神而造成知識點遺漏的現(xiàn)象，很多教師都采取了多種有效的方法，例如在課堂教學設計時多讓學生參與課堂教學活動、或運用多媒體教學吸引學生注意力等。除了運用上述方法外，運用思維導圖的方法來引導學生聽課也是不錯的方法。在學生預習的思維導圖的基礎上，學生聽課時要做的工作其實就是補充和完善該思維導圖，把標有“×”、“√﹨”的地方認真聽取老師或其他同學對知識的邏輯理解，并積極對知識進行拓展，“拓展知識點”前用“○+”標注清楚。

例如，先在導圖中心位置填寫上本節(jié)內(nèi)容；在“新課導入”時把老師導入的舊知識作邏輯上的整理、對導入的新問題如何解決給予提前的思考；而在老師講到具體的知識點時，抽象出數(shù)學學科專業(yè)的知識點，并對知識點的產(chǎn)生、原理、應用環(huán)境等進行思考和認識，把自己對知識點的感知情況通過思維導圖清晰地反映出來。當然，這一過程，學生是在不斷地思索，不斷地對學科知識進行再認識，不斷地對數(shù)學學科知識的內(nèi)核進行提煉，極大地促進了學生學科思維的提升，也就把培養(yǎng)用數(shù)學知識去分析問題、解決問題的能力落到了實處。

（2）在探究式課堂教學中的運用

在探究式課堂教學中，學生以小組為單位進行討論是非常普遍開展的一種學習交流方式，然而在通常的討論過程中由于缺乏有效的溝通方式，小組交流以對答案為主，只重結果，而對解題的過程交流不多，或對解題過程進行口述及看對方繁瑣的解題過程，這些都大大降低了溝通效果和速度，最終影響了小組或集體討論效果，完全達不到交流討論的目的。在討論式教學中教學效率不高的現(xiàn)象是普遍存在的。要改變這種情況，只有將學生把對問題的理解及解題的思路過程用思維導圖的形式可視化的體現(xiàn)出了，讓別的同學一看就明白他思路的對錯，或錯在哪個環(huán)節(jié)，認識自己對數(shù)學問題的偏差。所以思維導圖的可視化能更好的解決學生對學科知識思維的交流，完善學生對學科問題的再認識，重新完善自己的思維導圖，提高了交流的深度、廣度和速度，可以達到較好的教學效果。