基于發散性思維培養的數學課堂建構探索
——以“同旁內角”的概念教學為例

☉江蘇省如皋經濟技術開發區實驗初中 謝培培

初中數學教學不但要關注學生對數學知識的學習，更要注重學生思維素質的發展.其中，學生的發散性思維更是數學思維靈活性的基本體現，那么如何圍繞學生發散性思維的培養來建構我們的初中課堂呢？下面，筆者就以“同旁內角”的概念教學為例，探討一下自己在教學中的實踐和操作.

客觀地講，同旁內角是一個很簡單的概念，但是學生在實際問題中很難找準同旁內角，原因何在？筆者認為這主要是七年級的學生才剛剛系統化地接觸幾何，他們的幾何直觀能力還在逐漸的培養過程中，而且初次接觸某些新的概念，學生的思維總是束手束腳.這也表明我們發展學生發散性思維的必要性，同時這一課題也可以成為學生發展發散性思維的一個重要素材，我們還可以通過對學生的指導和啟發，引導他們采用不完全歸納的方法總結同旁內角的尋找方法.以下是筆者教學過程的基本設計.

一、總結概念，明確內涵

提出問題：如圖1所示的情境中，有兩條直線AB和CD，它們被同一條直線EF所截，形成了若干個角，請辨析∠1與∠2；∠3與∠4分別存在哪些共同的特點？

學生觀察圖形，并結合自己的思考在小組內部進行交流，最終匯總出如下結論：上述兩組角有以下三個特點：都存在兩個頂點；都出現在兩條直線之間；都出現第三條直線的同一側.

在此基礎上，教師引導學生進行總結：我們將滿足上述條件，且能搭建成一個“U”字形圖形的兩個內角叫做“同旁內角”.

圖1

二、理解概念，延展認識

在學生已經對概念形成初步認識之后，教師提供問題，引導學生在應用中理解概念.

例1 如圖2所示的圖形中，請確認一共存在幾對同旁內角？

學生分析這個問題時的唯一工具是同旁內角的概念，教師也在學生的思考中有意識地引導他們對概念進行剖析，“同旁內角”這個概念的核心應該落在“同旁”和“內”這兩個詞，其中“同旁”要求角要落在截線的同一側，“內”意味著兩個角應該在兩條直線之間.在具體處理過程中，學生在圖上要準確把握兩條直線和那條截線，最終他們明確了以下三種情形：（1）AB、DE兩直線被BD所截；（2）AB、DE兩直線被BE所截；（3）△BDE的任意兩條邊都被它的第三條邊所截.

在此基礎上，學生給出了這個問題的最終答案：共有五對同旁內角，它們分別是：∠CBD和∠D；∠DBE和∠D；∠ABE和∠E；∠DBE和∠E；∠D和∠E.

圖2

三、繪制輔助線，化解難點

在學生通過例1對概念形成一定認識之后，教師再為他們提供難度稍大的問題，引導他們展開探索.

例2 請找出一個三角形和四邊形中分別存在多少對同旁內角？

圖3

這是一個純文字的問題，學生初次接觸這個問題大多會感到無處著手，因為他們才剛剛開始學習幾何，對幾何問題的處理思路還不夠熟悉.在小學階段，他們也接觸過一些幾何問題，但是基本都是題目自帶圖形，學生按圖索驥即可.而在初中階段，很多問題的處理需要學生自己構建圖形，這一點在學生以后運用數形結合的方法來處理問題時體現得尤為明顯.為此，我們指導學生自己繪制圖形，但是一般的三角形和四邊形都是由線段拼湊而成，而我們的同旁內角則是通過直線定義的，為此我們可以指導學生構建輔助線，將陌生的數學問題以更加形象的方式展示出來.我們指導學生延長三角形和四邊形各邊所在直線，如圖3所示，然后學生即可精準把握三角形中的同旁內角存在三對，四邊形中的同旁內角存在四對.

四、在類比中歸納，提煉經驗

分析過三角形和四邊形中同旁內角的存在情況，我們指導學生探求n邊形（n≥3）中所對應的同旁內角有多少對？

學生從三角形和四邊形的結論入手，再列舉出五邊形、六邊形等等，并最終確認兩個相鄰的內角都是一對同旁內角，這時學生給出結論：n邊形（n≥3）中存在n對同旁內角.

教師在此基礎上肯定學生的結論，并幫助學生明確這里采用了不完全歸納法.

1.構造變式，訓練發散性思維

從三角形和四邊形到n邊形（n≥3），學生對同旁內角已經有了較為深刻的認識，這時教師提供變式.

例3 現有一n邊形（n≥4），如果連接一條對角線之后，這個圖形一共存在多少對同旁內角？

有了之前問題的鋪墊，學生已經普遍明確n邊形中存在n對同旁內角，在此基礎上，我們在其中補上一條對角線，然后安排學生運用不完全歸納的方法進行探索和研究.學生畫出如圖4所示的情形，然后開始分析，增加了一條對角線之后，這個圖形即增加了四個角，這四個角本身就存在兩對同旁內角，同時每一個角還與原圖形中的已有內角構成一對同旁內角，因此最后的答案應該是（n+6）對.

圖4

這個問題是在原有問題上的延展和變形，讓學生充分體驗到數學問題的多變性和靈活性，學生的發散性思維能因此得到訓練.

五、舉一反三，培養創新意識

發散性思維有助于學生掙脫原有思維體系的束縛，該思維能力也必將促使學生的創新意識的發展.為了實現這一目的，筆者設計了以下問題，引導學生展開分析和探索.

例4 現有一個n邊形，如果從其內部的一點向各個頂點引出連線，請問這個圖形有多少對同旁內角？（考慮本題的難度，姑且不討論這里所選擇的點和圖中多個點共線的情況.）

學生自己繪制出如圖5所示的圖形，其中圖中的I點是原n邊形內的一點.學生在觀察中發現從I點向各個頂點引出的連線將把n邊形劃分為n個三角形、n個四邊形、n個五邊形等等，當然還有一個n邊形，他們在討論中明確可以先將這些圖形中總的同旁內角對數加起來，然后將重疊的減掉，即為最終結果.當然，我們還可以繼續提問：如果是從n邊形的外部一點向著各個頂點來連線，結論又如何呢？進一步地思考，讓學生得到更加充分的訓練.

綜上所述，在指導學生研究同旁內角時，幫助他們掌握概念是基礎性目標，訓練他們靈活而充滿變通的思維則是核心任務.在上述教學過程中，我們靈活創設情境，引導學生自己繪制圖形，并通過圖形的觀察和研究，最終形成結論，這樣的教學有助于學生發散性思維能力的培養，也有助于他們創新意識的提升.

圖5