“怎樣解題表”四階段解題的實踐與思考
——以2017年甘肅省張掖市中考數學卷第28題為例

☉甘肅省張掖市第三中學 李永明

怎樣解題是學生必備的一種核心素養.所謂的“怎樣解題表”就是“怎樣解題”、“教師應教學生做些什么”等問題，把“解題中典型有用的智力活動”，按照學生解決問題時思維的自然過程分為弄清問題、擬定計劃、實現計劃、反思回顧四個階段，描繪出解題理論的一個總體輪廓.那么，在解題中教師應教學生做些什么？學生在解題過程中應思考些什么問題？如何達到舉一反三的效果？如何把“解題中典型有用的智力活動”，按照四階段的自然思維過程正確的展示出來呢？筆者以2017年甘肅省張掖市中考數學卷第28題為例，從教師如何教和學生如何做兩個方面入手，認真分析解題過程中的解題思路，反饋解題的思維過程.現拙文呈現其思維過程，以期拋磚引玉，與同行交流.

一、解題的思維分析

原題（2017年甘肅省張掖市中考第28題）如圖1，已知二次函數y=ax2+bx+4的圖像與x軸交于點B（-2，0），點C（8，0），與y軸交于點A.

（1）求二次函數y=ax2+bx+4的表達式；

（2）連接AC，AB，若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求N點的坐標；（3）連接OM，在（2）的結論下，求OM與AC的數量關系.

1.弄清問題

問題是數學的心臟.認真閱讀題目后，教師應教學生做些什么？學生應思考些什么問題呢？首先，應該教會學生找出未知、已知條件是什么？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？學生應該畫張圖，引入適當的符號，把條件的各個部分分開，并把它們寫下來.

教師方面：認真閱讀分析已知條件：

拋物線y=ax2+bx+4的解析式；

圖1

拋物線經過B（-2，0）；

拋物線經過點C（8，0）；

從拋物線y=ax2+bx+4的解析式可得A（0，4）.

未知有三問：

（1）第一問求二次函數y=ax2+bx+4的表達式；

（2）第二問當△AMN面積最大時，求N點的坐標；

（3）第三問在（2）的結論下，求OM與AC的數量關系.

圖2

學生方面：如圖2，這是已知條件與每一問的層次關系圖，它是一個逐漸遞近的求解順序關系圖.從這個關系圖上我們可以清楚地知道，它們之間是由淺入深的、逐漸遞進的關系，其求解關系也是逐漸遞進的.

2.擬定計劃

計劃就是解題的思路.是一個尋根溯源，化繁為簡的化歸過程.如何實現這一過程呢？教師應教學生做些什么？學生應思考些什么問題呢？

教師方面：引導學生回憶是否在之前見過類似問題.

（1）第一問求二次函數y=ax2+bx+4的表達式，是一個常見的題型；

（2）第二問當△AMN面積最大時，求N點的坐標，最大值問題也見過；

（3）第三問在（2）的結論下，求OM與AC的數量關系，這個要計算它們的長度，才能求出其數量關系.

學生方面：學生針對以上問題，要努力追憶在課本、資料出現過的類似題目，從大腦中提出與本例題有關的定義、公式、定理、類題等解題依據，把想到的與本題有關的信息都羅列出來，供下一步解題使用.

（1）第一問求二次函數的表達式，常用方法有待定系數法；

（2）第二問稍作改變，就是通過二次函數求最值問題.

（3）第三問在（2）的結論下，求OM與AC的長度，利用勾股定理和直角三角形斜邊上的中線的性質很容易就會解決.

3.實現計劃

實現也就是解題，解題就是解決問題，即求出問題的解.這一過程主要是學生如何能正確的寫出求解過程，并能檢驗每一個步驟.教師要引導學生能夠確認自己寫出的每一步都是正確的.

解：（1）將點B，點C的坐標分別代入y=ax2+bx+4，

（2）設點N的坐標為（n，0）（-2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8-n.

因為B（-2，0），C（8，0），所以BC=10.

令x=0，解得y=4，所以點A（0，4），OA=4.

所以當n=3時，即N（3，0）時，△AMN面積最大.

（3）當N（3，0）時，N為BC的中點，

4.反思回顧

反思回顧的過程主要是驗證.驗證也就是驗算所得到的解，是對解題過程的反思.既充分展示了思維的嚴謹性，又深入剖析解題思維過程的正確性，還從中感悟回顧反思“思什么、怎么思”的問題.

教師方面：教師如何引導學生去驗證每一個結果？能否用別的方法導出每一問的結果？

（1）求出二次函數的解析式后，教師可以引導學生把A、B、C三點的坐標代入解析式，如果滿足解析式，那么說明結果正確，反之錯誤.

（2）第（2）問還可用以下方法來解：如圖1，設MN=x，由上題可計算出，tan∠ABC==2.又因為tan∠ABC=，S△AMN的面積最大.也就是MN是△ABC的中位線.

學生方面：學生能否一下子看出結果來？并檢驗這個論證？或是把這結果和方法用在其他的問題？

如果知道當S△AMN的面積最大時MN是△ABC的中位線，那么學生就很容易求出點N的坐標.第（3）問通過觀察，也可以得出結論.

二、解題過程的思考

追求解題過程的簡單、思維過程的嚴謹高效，是數學教師的一個共同性格.如何達到這一效果呢？我們可以通過對解題過程的改進和分析，舉一反三，使解題能力大幅提升，解答的理解水平更加深刻，思維鏈更加優化.那么，教師和學生如何對一道題進行改進呢？一般地，解題過程通常要經歷兩個階段并進行四個方面的分析.

1.兩個階段：整體分解與信息交合

整體分解就是把原解法的全過程分拆為一些信息單元，看用了哪些知識和方法，它們是怎樣結合在一起的，并從中提煉出幾個最本質的步驟.

從上題中，把題目分拆成三類題型，第（1）問用待定系數法求解析式，第（2）問求三角形的最值，第（3）問利用勾股定理和直角三角形斜邊上的中線的性質求線段的長.

信息交合就是抓住整體分解中提煉出來的本質步驟，將信息單元轉換或重組成新的信息塊，這些信息塊的有序化將刪去多余的思維回路，用更一般的原理去代替一些過程，通過一個簡單的技巧代替現有的常規步驟，如此，一個新的解法便誕生了.

第（1）問求二次函數y=ax2+bx+4的表達式，已知系數c=4，a、b未知，已知兩點B（-2，0），點C（8，0）的坐標，條件充分，一般方法有待定系數法，但由上面分析可知，拋物線與坐標軸的三個交點坐標都已知，也可用特殊的交點式來求函數表達式，設二次函數的表達式y=a（x+2）（x-8），把A（0，4）的坐標代入上式，得a=-.

第（2）問當△AMN面積最大時，求N點的坐標，如果做DN⊥AC，垂足為D，如圖3，則題目就轉化為直角三角形中矩形的最大值問題，也就是當點N運動到線段BC的中點時，矩形AMND的面積最大，即△AMN面積也最大，這樣就很容易求出點N的坐標.

圖3

圖4

2.四個方面的分析

（1）看解題過程是否浪費了更重要的信息，以開辟新的解題通道.本題的難點在第（2）問，我們可由第（1）問求各點的坐標和線段的長，由勾股定理的逆定理發現，△ABC是直角三角形，這樣又為解決第（2）提供了新的信息.

（2）刪去多余步驟，使解題過程簡潔又不失重點.如果第（2）中直接去求矩形AMND的最大面積，不去直接求點N的坐標，這時候的思路將無暇顧及更多的解題細節，也來不及選擇更合適的方法，當把拋物線等多余的線條刪除以后，如圖4，思路就打通了，求出最大面積，點N的位置就可確定，題型也就變的簡單，思路也更加清晰明了.

（3）看是否可以用更一般的原理去代替一些步驟，提高整個解題的觀點和思維層次.第（1）問求二次函數的解析式，用的方法是待定系數法，這是通用方法，但是根據題意，我們也可以應用特殊的技巧來重新設拋物線的解析式為交點式和頂點式來解，這為我們尋找優美解提供了重要的保證.

（4）看是否可以用一個更特殊的技巧代替現有的常規步驟，以體現解題的奇異美.第（2）問可以把△ABC和△AMN分離出來并進行補充，問題就轉化成為直角三角形內矩形的最大面積問題，這是課本中二次函數最典型的題型.

三、結束語

總之，解題就是實驗、猜想、類比、聯想、歸納、演繹、分析、綜合等方法的綜合應用過程，更是把復雜的題型簡單化、陌生的題型熟悉化、常見的題型模式化的一個改編過程，是按“問題、計劃、實現、驗證”的自然思維過程.通過對已知和結論不斷地去尋根溯源，分析它們的聯系，才能找到一個簡潔高效的解題方法.