條分縷析，層層遞進，漸入佳境
——新定義型閱讀理解試題的教學實踐與思考

☉重慶市大渡口區教師進修學校 廖帝學

☉重慶市第九十五中學校 李 敏

一、背景

試題 （2017年重慶市中考數學第25題）對任意一個三位數n=xyz，如果n滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”，將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F（n）.例如，n=123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.

（1）計算：F（243），F（617）；

（2）若s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數），規定：k=，當F（s）+F（t）=18時，求k的最大值.

自2015年來，重慶市中考數學試題中已經連續三年出現與上述試題類似的新定義型閱讀理解試題.與其他各地的新定義型閱讀理解題不同的是，重慶中考數學閱讀理解試題堅持把考點指向“整數”.結合背景材料，學生需借助代數式、方程、不等式、函數等相關知識進行“找數，性質研究”等解題活動.

這類試題的材料都是以“新定義”的形式呈現，語言表述風格與學生們平常見的教材的語言表述風格明顯不同，文字數量多，新定義的符號不常見，十分新穎.而且，它還是一道綜合性較強的代數類題目，解答時常常要進行比較復雜的代數式運算、不等式分析、分類討論.這類題以能力立意，考查了學生數學素養和數學應用能力，對考生的“閱讀”、“理解”、“推理”、“解答”都存在著巨大的挑戰.同時，也給后繼的教學帶來一定的困難.

怎樣教學生“閱讀”？怎樣教學生“理解”？怎樣教學生“解答”？帶著這樣的一些問題，我們以這類試題中常見的與整除有關的試題為例進行了一個課時的教學實踐與探索.

二、教學實踐

1.準備——尋找依據

從教材和教學來看，“整除”在初中三年的學習過程中并不多見，當然應用得也少.所以在本節課的第一個環節里，教師結合后繼教學給出了3道練習題：

題1 已知一個三位整數P=abc，百位上數字是a，十位上的數字是b，個位上的數字是c，則這個三位整數可以表示成______.

題2 整除：若整數a除以非零整數b，商為整數，且余數為零，我們就說a能被b整除（或說b能整除a）.例如：A能被37整除，A與37之間的關系表示為______或______.

題3 當1≤x≤9時，且x為整數，設m=3x+5，則m的取值范圍是______.當m能被11整除時，x=______.

題1旨在讓學生知道怎樣用一個代數式表示一個整數.一個三位整數，百位上數字是a，十位上的數字是b，個位上的數字是c，則這個三位整數可以表示成100a+10b+c.

題2是為讓學生在整除的條件下會用代數式表示兩個數的關系，A被37整除，也就是=k（k為整數）或A=37k.

題3是為了引導學生從不等式的角度去看數的取值范圍，尋找滿足條件的數.當1≤x≤9且x為整數時，設m=3x+5，則m的取值范圍是8≤m≤32.解答時可以直接利用不等式的基本性質.也可以根據題意得≤9，進而求出m的取值范圍.當8≤m≤32時，能被11整除的數有11、22，但由于x為整數，所以x=2.這樣設計目的在于提醒學生在解題時注意解的合理性，培養學生思維的嚴密性.

2.初讀——明白定義

要解決新定義型閱讀理解題，首先必須理解“新定義”，“新定義”規定了什么“新規則”，介紹了什么“新操作”，界定了什么“新運算”，閱讀之初，一定要著力把它弄清楚.

在這個教學環節里，教師用PPT展示下面一段文字材料讓學生自行閱讀：

若一個三位整數m=xyz（x，y，z為整數，且1≤x≤9，0≤y≤9，0≤z≤9）滿足y=2x－z，則稱m為“極美數”.如m=111，滿足2×1－1=1，則稱111為“極美數”.

閱讀之后，教師為了檢驗學生對新定義“極美數”的理解，設計了兩個教學活動：

（1）請一位同學任意說出一個三位整數，然后請其他同學來判斷它是否是“極美數”；

（2）隨意抽一位同學舉例說出一個“極美數”.

通過這兩個有激勵性的活動，讓學生很快抓住這段閱讀材料的關鍵點：y=2x－z，比較深刻地理解了“新定義”.

3.再讀——明理列式

接下來，教師用PPT展示了下面一段材料供學生“再讀”：

已知一個“極美數”m，交換“極美數”m的百位數字與十位數字得到新數n=yxz，則稱n為m的“美極數”.如m=102滿足2×1－2=0，則m為“極美數”，交換其百位數字和十位數字得到的新數n=12，則稱12為102的“美極數”.

待學生閱讀后，教師提出問題：請說明任何一個“極美數”的“美極數”都能被3整除.

在我國，創新能力研究大多以企業為主體，高校創新能力研究還比較薄弱。以“高校創新能力”為關鍵詞在中國知網檢索后發現，2010年后發表在中文核心期刊上的學術論文僅有21 篇，其研究主要從推動科研團隊建設［1，2］和協同創新［3－5］兩個視角來研究高校創新能力的提升機制。由文獻可以看出:(1)現有研究已經意識到我國高校創新能力的重要性，但對于高校創新能力的內涵界定還沒有形成共識;(2)現有研究或以某個高校為例進行案例分析，或以整個高校體系為研究對象進行問題分析，極少關注區域性高校的創新能力研究;(3)現有研究多是從理論上探討高校創新能力的影響作用，缺少數據驅動的實證分析。

此環節教學實錄如下：

師：讀了這一段材料，你勾畫出的關鍵詞是什么？

生：交換百位數字和十位數字的位置.

師：你能說明任何一個極美數的美極數能被3整除嗎？請思考“任何”一個三位整數該怎么表示？“能被3整除”又該怎么表示？

幾分鐘后，教師隨機抽一位同學在黑板上板書解答過程如下：

解：設“極美數”為100a+10b+c，則其“美極數為”100b+10a+c（1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），根據題意得

因為70a－33c為整數，

所以100b+10a+c能被3整除.

師：通過兩段材料的學習，請大家小結一下，我們該如何解答有關整除的閱讀理解題.

生2：遇到整除問題，我們可以將其轉化為含此因數的乘積形式.

4.深讀——變形求值

通過前面的“準備”、“初讀”、“再讀”，學生經歷了“表示數”、“表示數之間的關系”、“整除問題”，已經初步感知了解決這類問題的方法，教學逐步推進，教師用PPT展示了下面具有挑戰性的問題：

已知一個三位整數P=abc（其中a，b，c為整數，且1≤a≤5，0≤c≤5）是“極美數”，Q是P的“美極數”，若P的兩倍與Q的差能被13整除，求P的值.

解：由題可知，

又因為b=2a-c，

所以2P-Q=30a+81c.

因為1≤a≤5，0≤c≤5，

所以4≤4a+3c≤35.

又因為2P-Q能被13整除，

所以4a+3c=13或26.

綜上可知，P=582.

最后，教師對此題進行總結：這類題目可以先分離出能整除的部分，再研究余式部分是否能被整除.

三、教學思考

1.條分縷析加深閱讀理解

勿庸諱言，初中數學教學中的“閱讀理解”有別于其他學科（特別是文科）的閱讀理解.由于數學問題的邏輯嚴謹性，這里“閱讀”的目標更多的是為了“理解”：理解問題中每一個句子，每個圖表，每一個符號，每一個關系式……并且還要不斷地進行語句分析和語義轉換，把一些“新情境”、“新問題”和自己已有的、熟悉的知識發生聯系，不斷轉化，直到問題解決.

作為一種以考查“閱讀理解能力”為目的的題型，閱讀理解題對學生的閱讀理解能力要求是非常高的.當然，對學生這種能力的培養不是一朝一夕的事情.“怎樣讀？怎樣思考？”都需要我們在平時的教學中“教”.本節課中教師著眼于讓學生“初讀”、“再讀”、“深讀”，讀的時候要勾畫關鍵詞，講的時候要不斷地追問，引導學生逐句逐段地理解.這是在教給學生“讀”的方法和“思”的方法.

2.層層推進促進思維發展

本節課的教學過程思路十分簡潔清晰.

教學活動從“初讀”到“再讀”，再到“深讀”，教學內容從“極美數”到“美極數”，再到探究“極美數”和“美極數”的關系，層層遞進，這樣的教學設計以思維為主線，突出策略性.

在教學過程中，教師引導學生“讀”和“思”，對新材料進行分析，逐步推出了“請說明任何一個“極美數”的“美極數”都能被3整除”、“已知一個三位整數P=abc（其中a，b，c為整數，且1≤a≤5，0≤c≤5）是“極美數”，Q是P的“美極數”，若P的兩倍與Q的差能被13整除，求P的值.”等問題供學生解答.課堂教學逐步推進，有效地讓學生習得解決這類問題的策略，有力地促進了學生思維能力的發展.

3.大膽探索方能漸入佳境

閱讀理解題特色鮮明，選材廣泛，源于課本又高于課本，常常讓人難以意料.新定義型閱讀理解試題只是閱讀理解題中的一種.本節課也僅僅就其中與整除有關的問題的教學作了一次實踐和探索.雖然，將這類問題引入課堂后，教學方法、教學模式好象無章可循，但在教學中教師讓學生學會思考、體驗、表達仍是我們的教學的追求.“教無定法”，大膽探索方能漸入佳境.