一幅圖 一類題 一節課
——以“中考專題復習之最值問題”為例

☉浙江省紹興市建功中學 曹 青

最值問題是中考試題中的重點題型，而且大多以壓軸題的形式考查.近期，筆者在所在地區舉辦的“骨干教師示范課”中有幸執教“最值問題”中考專題復習課，并在教學中將常見的最值問題通過“一條主線”在“一個圖形”中進行系統梳理呈現，取得了較好的教學效果、下面進行簡單介紹，不當之處，敬請指正.

一、教學設計簡述

（一）一條主線

最值問題的類型及原理（教學中結合相關題目，漸次生成，如圖1，即為教學中的課堂板書）.

圖1

圖2

（二）一個圖形

△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P是邊BC上的任意一個動點，點D是邊AC上的一個定點，且滿足CD=1（如圖2）.

（三）五個問題

以下五個問題在教學中由學生結合相關題型進行自主改編，當然以下五個問題都在教師的教學預設之中.

1.邊BC上是否存在點P，使得AP+DP最小？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

2.點P在邊BC上運動的過程中，線段AP的最大值和最小值分別是多少？

3.請在邊AB上確定點Q，邊BC上確定點P，使得△DPQ的周長最小，并求出此最小值.

4.將條件“點D是邊AC上的一個定點，且滿足CD=1”改為“點D是邊AC上的一個動點，且滿足CD=BP，連接AP、BD交于點H”，請求出CH的最小值.

5.若點P關于AB的對稱點是M，點P關于AC的對稱點是N，試求出線段MN的取值范圍（最好從代數和幾何的角度給出多種方法）.

圖3

二、典型問題處理

（一）第1題

方法1：如圖3所示，過點D作線段DE使BC垂直平分DE連接AE交BC于P，易得AE即為所求.過點E作垂線交AC的延長線于點F，顯然∠ADE=150°，∠EDF=30°

在直角三角形AFE中，根據勾股定理可得

方法2：以BC所在的直線為x軸，等邊三角形ABC的邊BC上的高所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，易得 點 A 的 坐 標 為 （0，2）， 點E的 坐 標 為，所以根據勾股定理可得

（二）第3題

第3題的處理方式如圖4所示，結合第1題和第3題，可提煉基本圖形（如圖5），其中△ABC是鈍角三角形，∠ABC=150°（或120°或135°），初中階段在已知邊AB和BC的情況下，即可求出邊AC的長度.

圖4

圖5

（三）第5題

方法1（代數法）：如圖6，設BP=2x，則CP=4-2x，0≤x≤2.

在等腰三角形BMP中，∠MBP=120°，PM=2PE=2BP·sin60°=BP=2x.

同理，在等腰三角形CNP中，

利用基本圖形圖5提煉的方法可得

在Rt△NHM中，

所以36≤MN2≤48，所以線段MN長的取值范圍為：6≤MN≤4.

方法2（幾何法，利用第2題的結論）：如圖7，連接AM、AP、AN，根據“對稱”的性質易得AM=AP=AN，所以△AMN是等腰三角形，而且∠MAN=120°.

圖6

圖7

結合上述方法1和方法2可以發現在等腰三角形中要注意腰、頂角（頂角一半的三角函數）以及底邊三者之間數量關系的熟練應用；此外，上述方法1和方法2對同一個問題分別從代數和幾何的角度進行審視，得到了不同的解題體驗，教學過程中應該注意引導學生體會其中奧妙.

三、實踐思考

通過上述的介紹，可以看出該課例通過5個問題，將與最值問題有關的基本題型（幾何最值和代數最值）進行了系統的梳理總結，并給出了相應的處理策略和基本圖形.教學中教師應該結合學生自主編題的順序（也就是說實際教學中并不是按照從問題1到問題5的順序呈現的）漸次生成如圖1所示的板書，可以說學生在復習中只要結合板書及上述5個問題就可以很好地掌握與最值有關的常見問題，起到事半功倍的效果.

該課例將與最值有關的典型題型融于一圖之中，提高了課堂教學效率，減輕了學生的負擔，可以說很好地實現了課堂教學的減負、優質和高效.

實際教學中精彩生成不斷，如第1題的方法2就是學生提出來的，一線教師只要抓住這種精彩生成，可以適當滲透高中解析幾何的思想，同時也可以告訴學生對于與正方形、矩形、等腰三角形等比較容易建立直角坐標系的圖形而言這是一種非常好的方法，當然這種方法的滲透需要結合學生的實際情況，不必給學生增加不必要的負擔.

關于中考備考，時間緊，任務重，一線教師應該“跳進題海”，讓學生“游上岸”，開發出更多的簡約、高效的“一題一課”或“一圖一課”的課例，為其他教師和即將參加中考的學生貢獻一份力量.F