關于培養初中生數形結合思想的若干思考

☉江蘇省海門市能仁中學 袁潛花

初中數學教學不但要教授數學知識，也要培養學生的數學思想.下面，筆者以數形結合思想的培養為例探討一下筆者在教學中的思考.

一、初中數學教學體系下的數形結合思想培養

在組織初中數學教學時，我們不但要指導學生研究數學知識，更要啟發他們在逐步思考的過程中形成數學思想，因為它是數學學科的魂魄所在.它不但指明了問題探索的方向，而且也對學生的數學實踐有著支配性的作用.因此，在數學課堂上，教師要引導學生以最積極的姿態進行反思，并從中提取數學思想.

在眾多的數學思想中，數形結合有著非常重要的地位，它是研究者從題設情境和結論之間的關系著手，將某些數量上的特點和圖形聯系起來，由此從更加全面而多元的角度來分析和研究問題，這樣的處理能讓學生對數學模型形成更加直觀的認識，他們的思路將更加清晰，問題的解決也將更加高效.

在初中數學課堂上，我們鼓勵學生從數形結合的思想著手來探索數量關系或圖像關系，學生也將更加深刻地領會到這種思想的價值所在，進而他們將更加主動地將這一思想運用于數學知識的理解和數學問題的分析中，這有助于培養他們思維的靈活程度，同時他們問題的解決能力也將因此而獲得提升.數形結合的思想往往體現在這樣一些方面：圍繞代數問題建立相應的幾何模型；運用圖像來研究函數問題；運用代數知識研究和分析幾何問題.

很多數學問題有著這樣的特點：若只用代數方法來處理，則顯得生澀且缺乏直觀性；若只是靠著圖形來分析，則嚴謹性有所缺失；若我們能將兩個方面結合起來研究和分析，則能實現優勢的互補，進而實現更好的教學效果.當我們在教學中引導學生培養數形結合的能力時，關鍵是要幫助學生明確數形之間的契合點，比如在處理幾何問題時，如何將幾何上的位置關系轉化為數量上的關系，讓學生能夠實現以數解形，從而讓原本抽象的問題更加直觀和具體，這樣的處理顯然更有助于學生獲得理解，實現事半功倍的學習效果.

總之，數形結合是學生在學習初中數學的過程中不可或缺的一項手段和方法，我們在教學過程中要注意相關思想的滲透，以此來幫助學生獲取認識，同時也能提升學生的思維水平.

二、初中數學課堂上培養數形結合思想的基本途徑

1.在概念教學中滲透數形結合的思想

概念是學生數學學習的基礎，它是對數學本質屬性最深度的刻畫，同時它也是學生建構數學思維的細胞，是初中數學知識的組成元素，是學生展開推理和判斷的根本依據，當然它們還是學生認識數學公理、公式的根基，是學生一切思維活動的起始點.

數學概念的形成過程，本就包含著大量的數學研究思想.我們在組織學生研究相關概念時，要引導學生從探究中體驗概念的形成，同時也要指導他們感悟其中的分析、綜合、比較等過程，尤其是對包括數形結合在內的數學思想，我們要指導學生在探索過程中形成感悟.比如，“平行線分線段成比例”，這是一個相對純粹的幾何概念，但是我們在指導學生進行研究時，要結合學生在代數中的所學展開比較分析，引導學生用代數語言來表述圖形中的特點，學生也將由此而產生更為深刻的認識.再比如，為了研究二次函數的極值特點，我們引導學生畫出函數的圖像，讓他們在圖形中進行總結和辨析，這樣的處理有助于學生認識的提升和發展.

2.在例題分析中滲透數形結合的思想

學生的數學學習離不開教師對例題的講解，因為這不但可以指導學生對數學知識產生更深的認識和理解，而且學生也將在例題的分析和探索中明確隱含在其中的數學思想和研究方法.就數形結合的思想滲透來講，教師要有意識地將涉及到此類方法的問題展示在學生面前，引導學生從中體會數與形之間的關聯，從而促使他們有意識地訓練有關思維方法.

例1 已知等腰△ABC中，AB和AC為其兩個腰，長度為5，三角形的面積為12，求tan∠ABC.

圖1

分析：本題應該是一個標準的幾何問題，為了處理這個題目，我們可以在如圖1所示的等腰△ABC中畫出底邊的高，然后只要確定AD和BD的長度，即可直接表示出tan∠ABC.下面，我們可以采用數形結合的思想來繼續問題的分析和處理.

首先圍繞三角形底邊上的高AD可以確認BD=DC.

假設BD=x，AD=y，且x＞0，y＞0，因此有BC=2x.

可以看到，在上述問題中，學生采用數形結合的思想來切入，先由幾何規律明確各元素之間的關系，再引導學生將其轉化為方程來實現問題的處理，整個過程每一個環節都缺一不可，否則問題將無法得到解決.

3.在數學實踐中滲數形結合的思想

實踐性應該是新課程最為本質的內涵，將其落實在初中數學教學中，教師要堅決落實“做中學”的教學理念.該理論要求教師在指導學生認識數學知識、體會數學方法時都要在學生的切身參與中進行感悟和體會.而且在學生圍繞某些實踐主題展開分析和探索時，我們要鼓勵學生有效觀察和比較，從中領會思想內涵，在這一過程中，教師可以有意識地將數形結合的思想滲透其中.

圖2

例2 南海自古以來就是我國的領土，但是某些東南亞小國對此覬覦已久，某日我海軍部隊監測到一艘可疑船只A在某島礁的軍事基地附近活動，便派遣快艇B從海岸出發前去追捕，如圖2所示，可疑船只A見狀迅速向公海區域逃竄，快艇B在其后窮追不舍，圖3中的l1和l2分別對應兩只船對應海岸的距離s與追趕時間t之間的關系.請結合圖象進行分析：

圖3

（1）l1和l2中的哪條線對應的是快艇B對應海岸距離與時間的關系？

（2）兩艘船的速度哪一個更快？

（3）十五分鐘內我海軍快艇B能否追上可疑船只A？

（4）如果持續追趕，我海軍快艇B是否一定能追上可疑船只A？

（5）已知距離海岸12海里的位置為公海區域，一旦可疑船只A逃到這一位置，我海軍快艇B將無法再繼續追趕，請分析我海軍快艇B能否在此之前追上.

分析：這個問題以圖形來提供情境，在處理的過程中需要學生從圖形中收集有用信息，然后匹配問題展開研究.由圖像可以發現，海軍快艇B在計時起點剛剛由海岸出發，因此l1表示快艇B到海岸距離和時間之間的關系；從圖像上，我們可以看到l1圖像更陡，這表明海軍快艇B在相同時間內有更大的位移，所以海軍艦艇B的速度要更大；至于第三個問題，我們可以根據兩艘船的圖像特點著手，寫出它們的解析式，有海軍快艇B所對應的解析式為s1=k1t，可疑船只A的解析式為s2=k2t+b.結合圖像，可以確認k=，k=，b=5.即兩條解析式為s=t，121=t+5.當t=15時有s=7.5，s=8，由此可見十五分鐘時，12海軍快艇B沒有追上可疑船只A；考慮到海軍快艇B在速度上的優勢，因此能追上可疑船只A；當s2=12時，t=35，這段時間海軍快艇B所運動的距離為s1=17.5，大于12，這意味著海軍快艇B可以在可疑快艇A到達公海之前追上它.

上述問題是一個典型的和實際聯系起來的問題，我們通過這樣的問題來啟發學生從圖像中搜集信息，并將其轉化為解析式的形式，這樣的教學有助于學生對數形結合思想的運用，能夠有效鍛煉學生的相關能力.

綜上所述，教師在教學中要結合學生的學習規律，積極注重數形結合思想的滲透，這樣的處理有助于學生提升數學學習效率，也有助于發展學生的思維品質.