數學核心素養(yǎng)在例題教學中的滲透

☉甘肅省通渭縣通和初級中學 張守榮 湯潤華

《現代漢語詞典（第6版）》對核心和素養(yǎng)是這樣解釋的：核心即中心，主要部分（就事物之間的關系而言）；素養(yǎng)即平日的修養(yǎng).360百科和百度百科對核心的解釋與其相同，但對素養(yǎng)均解釋為通過訓練和實踐而獲得的一種道德修養(yǎng).無論是《現代漢語詞典（第6版）》，還是360百科和百度百科，都沒有對核心素養(yǎng)進行專門的解釋，“核心素養(yǎng)”并不是核心和素養(yǎng)兩個詞的簡單疊加，“核心素養(yǎng)”這個概念舶來于西方，英文詞是“Key Competencies”.“Key”在英語中有“關鍵的”、“必不可少的”等含義.“Competencies”也可以直譯為“能力”，但從它所包含的內容看，譯成“素養(yǎng)”更為恰當.簡言之，“核心素養(yǎng)”就是“關鍵素養(yǎng)”.結合數學學科特點，王尚志、史寧中等專家對數學核心素養(yǎng)給出了界定：數學核心素養(yǎng)是具有數學基本特征、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現，是在數學學習過程中逐步形成的.數學核心素養(yǎng)包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析共六個方面；共包含10個核心概念，即數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識.培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)也完全符合“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發(fā)展”的要求.課堂是培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的主陣地.本文以人教版義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊“13.3.1等腰三角形”的一道例題為例，對數學核心素養(yǎng)在例題教學中的滲透進行闡述.

圖1

一、理解例題，提高運算能力和推理能力

例題呈現：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數.

師：題中要求的是角的度數，但條件中只說了一些線段之間的相等關系，沒有說出任何一個角的度數，我們從哪兒尋求突破？

生1：可以通過等腰三角形的性質把邊相等轉化為角相等.

師：請具體說一下.

生1：由AB=AC可以得到∠ABC=∠C，由BD=BC=AD可以得出∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.

師：很好！雖然從題目條件來看并沒有說任意一個角的度數，但是利用等腰三角形的性質，通過相等的邊找到了相等的角，這樣就為求出△ABC的各角提供了一種可能，但是只有這些關系還不夠，還要尋找出這些角之間的其他關系.

生2：因為∠BDC=∠A+∠ABD，再由生1所說的幾組相等的角可知，∠ABC=∠C＝2∠A.

師：這樣我們就厘清了△ABC各角的關系，它們的兩個底角相等，底角為頂角的兩倍，現在如何求出這三個角？

生3：根據三角形的內角和為180°，再結合生2推出的三個角之間的關系，可知5∠A＝180°，最后可求得∠A＝36°，∠ABC=∠C＝72°.

師：這三位同學的分析和推理很棒，實際上我們把頂角為36°或者底角為36°的等腰三角形叫做黃金三角形，這里的△ABC實際上就是黃金三角形的一種，既然叫做黃金三角形，它自然和黃金一樣彌足珍貴，大家一定要好好珍惜和研究這類三角形.

點評：這個題目對剛剛學習等腰三角形性質的學生而言并不難，部分學生能夠迅速知道結果，但是在求三個內角度數的過程中，教師并沒有要求讓學生快速地求出結果，而是不急不徐地讓多個學生來完成，生1完成了由等邊到等角的轉化，這樣就把“由邊求角”的“異類”問題轉化為“由角求角”的“同類”問題，讓學生慢慢體會轉化思想，也符合“慢教育”規(guī)律.然后再由生2和生3分別通過三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和、三角形的內角和等于180°解決這個問題，這兩個知識點由不同的學生說出，有利于后進生對知識的分化復習和理解，也有利于對本題的解決.在問題解決之后，教師“突然”給出教材中并沒提到的黃金三角形概念，教師“僅僅”給出了概念，沒有解釋為什么要這樣“稱呼”，這個 “稱呼”要在學習了相似之后來理解體會，教師在此處并沒有多言，因此這個“陌生”概念不僅不會增加學生負擔，相反反映出教師對學生“負擔”的重視，這時提出讓學生有更多的想象空間，“為什么叫做黃金三角形？會不會和黃金分割數有關？”在拓寬了學生的數學知識面的同時一下會激發(fā)學生的學習興趣，學生感到這個題目不“簡單”，為進一步研究埋下伏筆.

圖2

二、尋找形似，形成空間觀念和幾何直觀

師：請大家找一下，這個圖形中共幾個三角形？生4：共有三個，它們分別為△ABC，△BCD，△ABD.

師：這些三角形有什么特征？

生5：都是等腰三角形.

師：我們又把它叫做什么三角形？

生6：黃金三角形.

師：非常好，圖1可以認為是作頂角為36°的等腰三角形的一個底角的角平分線，從而構造出了另一類黃金三角形.現在請大家先畫一個底角為36°的等腰三角形，然后再想辦法構造出另一類黃金三角形

生7：（生7把他的圖形在屏幕上做了展示，為了和上圖對比研究方便，把圖2作了一定的技術處理，把原圖的字母C和D作了交換，并且把原圖中虛線都改成了實線，生7的部分敘述也改成和圖2匹配的語言）我先畫出底角為36°的等腰三角形△ABD，如果再在這個圖形中畫出頂角為36°的等腰三角形，只需把其中一個底角變成頂角就可以了，我把線段AD延長到點C，使AC＝AB，然后連接BC，就有△ABC為頂角為36°的等腰三角形，同時可知△BCD也為頂角為36°的等腰三角形.

師：生7做得非常好，通過這樣一做，一下找出兩個頂角為36°的等腰三角形.那么圖1和圖2一樣嗎？

眾生意見不一.

師：看來意見還是不一樣，誰發(fā)表一下自己的見解？

生8：一樣，圖2實際可以由圖1繞點B逆時針旋轉108°得到，所以這兩個圖形實際上是一樣的.

師：從這兩個圖中可看出，兩類黃金三角形可以互相轉化而得出，它們遙相呼應.

點評：通過對圖1的研究，學生有強烈的繼續(xù)研究這個題目的意愿，教師抓住學生心理特點，繼續(xù)挖掘例題資源，由于學生知識儲備量的限制，教師只是引導學生去畫圖，然后，通過觀察發(fā)現兩個圖形實際可以認為是同一個圖形，目的就是讓學生明白兩個黃金三角形之間可以和諧地轉化，感受到數學之間的和諧美和統一美，看似“多余”的研究恰好彰顯教師的別出心裁.

三、追求神似，構建模型思想和應用意識

師：大家還有沒有其他的辦法來構造出另一類黃金三角形？

生9：我是在線段AB上截取AD=AC，然后連接CD，這樣就有△ACD就是頂角為36°的黃金三角形，同時也可推出△BCD為底角為36°的黃金三角形.

師：生8是通過延長腰的辦法把底角變成頂角找到另一類黃金三角形，這時我們可以想到在底邊上截取和腰等長的辦法來找到另一類黃金三角形，生9為我們想到了這個辦法，多角度考慮問題是數學學習中非常必要的.那么，圖3和圖1、圖2一樣嗎？

眾生：（沉默片刻）一樣.

生10：不一樣，圖3無法通過旋轉得出.

師：無法通過旋轉得出，那能否通過平移、翻折等變換得出？

眾生：（沉默片刻）不能.

師：通過大家認真觀察之后，圖3和圖1、圖2并不是同一個圖形，大家還能通過哪些辦法說明它們不一樣？

生11：圖1、圖2共有三個三角形，其中兩個是頂角為36°的等腰三角形，一個是底角為36°的等腰三角形，而圖3中一個是頂角為36°的等腰三角形，兩個是底角為36°的等腰三角形，所以這兩個圖形自然不一樣.

師：生11觀察非常仔細，實際上這兩個圖形不一樣，雖然它們不一樣，但是我們可以認為它們形不似而神似，它們都由兩類不同的黃金三角形組合而成.

圖3

點評：本以為在學生討論出圖1和圖2后，對這個例題的研究會“圓滿”收場，沒想到教師完全沒有停下來的意思.不斷讓學生在畫圖、觀察中體會數學知識的生成過程，無形中完成了數學圖形從有形到無形、從形似到神似的轉化.這使我想起來了日本數學教育家米山國藏的一段敘述：學生在學校學習的數學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了；然而，不管他們從事什么工作，那種深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地在發(fā)揮作用，使他們終身受益.這里所說的“學校教育忘掉后所留下的”實際上就指的數學思想和方法，顯然教者追求的是當他們走向社會忘掉數學知識后留下的“東西”.

四、拓展延伸，體驗分類思想和歸納思想

生12：老師，我還有辦法在底角為36°的等腰三角形中做出頂角為36°的等腰三角形，如圖4所示（他向大家展示了所畫圖形）.

師：噢！不錯啊！看來大家已經在這道題上“停”不下來了，不過相比前幾個圖形，這個圖形“只有”兩個三角形，大家可以在此基礎上能“畫”出更多的黃金三角形嗎？

生13：延長AC、BC分別交BD、AD于點E、F，這樣會出現好多黃金三角形（如圖5）.

師：很好！那么圖5共有多少個三角形？多少個黃金三角形？請同學分小組討論出來.

圖4

圖5

圖6

（片刻之后）

生14：共有八個三角形，且這八個三角形都是黃金三角形.其中△ABD、△ACF、△BEC、△ABE、△ABF是頂角為36°的黃金三角形，△ABC、△AED、△BDF是底角為36°的黃金三角形.

生15：我們一組還把EF連接了，如圖6，這時又增加了一些三角形，且這些三同樣都是黃金三角形，多出來三角形的△DEF、△CEF、△AEF、△BEF，至于它們是哪一類黃金三角形不用我說了吧！（微微一笑）

老師：大家都這么棒！對于這樣一個“簡單”的例題竟然能找到這么多“資源”，在數學學習中一定要善于觀察、善于總結，才有可能學好數學、用好數學.

點評：在討論完前三個“圖形”之后，看起來對于此類圖形的研究已經完美了，教師也準備對這個例題收場，準備下一環(huán)節(jié)內容，但是生12讓課堂“節(jié)外生枝”，學生牽著教師的鼻子走，老師也很“聽話”地順著學生的思路，并沒有強行阻止或者強行總結學生的發(fā)言，索性再提出一些更有挑戰(zhàn)性的問題 （不斷地在生12給出的圖形上加線），及時地讓學生分組討論，把學生的獨立思考和小組合作結合的恰到好處.當討論到這里時，距離下課還有三分鐘，教師準備的教學內容顯然無法完成，“必要”的課堂練習還沒有做，表面看起來是結構不完整的一節(jié)課，但這些恰好說明“藝高人膽大”，教師很好地抓住生12的發(fā)現，讓學生接著討論，在尋找三角形時怎樣找才能不重不漏，這體現了分類思想，然后把找到的三角形怎樣歸類，這又體現了歸納思想，這兩個思想作為非常重要的數學思想方法，教師在教學中讓學生做到完美的體驗，真正做到了以生為本，注重對數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展.

五、結束語

從例題展示的“黃金三角形”出發(fā)，先讓學生求出三角形三個內角的度數，讓所有的學生都體會成功的喜悅，并提高了學生的運算能力和推理能力，體現出運算能力和推理能力作為數學核心素養(yǎng)的基本要求.然后“話鋒一轉”，提出一系列“畫圖”問題，把所有的問題都轉化為分析和觀察圖形，在圖形中找出盡可能多的結論，同時提出的問題具有一定的開放性和挑戰(zhàn)性，不同的學生會有不同的觀察結果，自然會有不同的收獲，然后集眾人之力完善結論，在討論過程中既有獨立思考，又有小組合作，每個學生都體驗到了空間觀念和幾何直觀，同時還培養(yǎng)了學生的模型思想、歸納思想、分類思想以及數學的應用意識，而這些正好是數學素養(yǎng)的核心內容.

數學課堂是培養(yǎng)和發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)的主陣地，例題教學自然也承載著重要的任務.但是核心素養(yǎng)不同于全面素養(yǎng)，核心素養(yǎng)必須是“核心”的素養(yǎng)，核心素養(yǎng)之外，還應該有“非核心素養(yǎng)”，因此僅憑一道例題不可能把數學核心素養(yǎng)的內容面面俱到，對于數學核心素養(yǎng)的形成不能一蹴而就，更不能照本宣科，一線教師能做的就是盡可能多地挖掘和發(fā)現教材資源，學習資源，讓盡可能多的學生發(fā)展數學核心素養(yǎng).