基于數學素養 培養理性思維

☉山東省臨清市京華中學 齊 欣

學數學，掌握規律方法比多做題重要得多.數學問題的解決，有時需要在一定問題的情境中，讓學生經歷“發現問題→提出問題→分析問題→解決問題”的過程.《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出試題要注重對基礎知識和基本技能的考查，考查學生理解數學本質，考查學生能否在具體情境中合理應用.因此解題教學要基于問題解決模式展開，關注學生思維能力發展.

一、在解決問題過程中，挖掘數量關系，培養和發展學生的理性思維

問題1：一杯可樂售價1.8元，商家為了促銷，顧客每買一杯可樂獲得一張獎券，每三張獎券可兌換一杯可樂.則每張獎券相當于（ ）元.

（A）0.6元 （B）0.5元 （C）0.45 （D）0.3

分析：獎券到底值多少錢？有學生認為，三張獎券兌換一杯可樂，而一杯可樂1.8元，那么每張獎券就是0.6元.老師統計發現贊同“1.8元=3張獎券”的竟然有20位學生（班里一共有48人）.其實是學生沒有理解題意中的數量關系；站在商家的角度理解，他是絕對不會讓自己賠本的，那么你買的1.8元里也一定把獎券買出來了.就是說“1.8元=一杯可樂+一張獎券”.理解了這一點后，這題也就不那么難了.還有同學提出：兌換的可樂還有獎券嗎？筆者在鼓勵該同學看問題縝密的同時，引導同學們回到題目中去尋找答案，學生很快從“每買一杯可樂獲得一張獎券”中找到了答案，從而化解了困惑，這樣看來正確理解題意是解決問題的關鍵，通過研究發現這道題有以下4種解法.

思路（一） 根據三張獎券換一杯可樂，列方程

解法1：設每張獎券相當于x元，則可樂為（1.8-x）元，由題意，得 1.8-x=3x，解這個方程，得x=0.45.檢驗：x=0.45（元）是所列方程的解且符合題意.故選C.

思路（二） 根據三張獎券換一杯可樂，巧代換

解法2：因為1.8元可以買一杯可樂和一張獎券，而一杯可樂可以由三張獎券換購，于是可以理解為1.8元得到3+1張獎券，從而每張獎券值0.45元.

思路（三） 挖掘“買三杯贈一杯”本質，列方程

解法3：由題意得“買三杯贈一杯”，就是實際花買3杯可樂的錢可以喝到4杯，設每張獎券相當于x元，則4·（1.8-x）=3×1.8，解得x=0.45（元）.以下同方法1.當然也可以這樣想：用了5.4元（3杯可樂的錢）得到4杯可樂，則每杯可樂相當于1.35元，而1.8元得到一杯可樂+一張獎券，所以獎券值0.45元.如果找了你0.45元的錢，那你可以去別處買你想買的物品，而送你獎券就不同了，顯然這是商家的一種促銷手段.

思路（四） 根據花三杯錢得到四杯，借助比例

點評：從這個問題的解決可以看出，一方面數學與我們的生活緊密相連，把獎券錢加上去促銷才能獲得更大利潤，所以說，同學們一定要理解問題的本質，才能學好數學，數學的樂趣還有很多，熱愛數學的同學們，相信你們會發現更多數學的奧秘；另一方面應用問題的解決不僅讓學生獲得進一步理解數學基礎知識的基本技能，也成為提升學生思維的支架，澄清了錯誤，化解了困惑，培養了數學抽象、數學建模以及邏輯推理的數學素養，可謂一舉多得.

二、在解決問題過程中，找到有效解題思路，體現知識本質與數學思想

《義務教育課程標準（2011年版）》指出數學經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志.在解決問題時要循序漸進，幫助學生在做數學和思考數學的過程中積淀數學活動經驗，對問題中的信息進行選擇和判斷，方能有效找到解題思路.

問題2：為了鼓勵市民節約用水，某市水費實行分段計費制，每戶每月用水量在規定用量及以下的部分收費標準相同，超出規定用量的部分收費標準相同.例如：若規定用量為10噸，每月用水量不超過10噸，按1.5元/噸收費；超過10噸的部分按2元/噸收費.則某戶居民一個月用水13噸時應交水費：10×1.5+（13-10）×2=21（元）.下表1是小明家1至4月份用水量和繳納水費情況.

表1

根據表格提供的數據，回答：

（1）該市規定用水量為____噸，規定用量內的收費標準是___元/噸，超過部分的收費標準是____元/噸；

（2）小明家用水費20噸，應繳水費_______元；

（3）若小明家六月份應繳水費46元，則六月份小明家用水量是多少噸？

分析：方程是研究實際問題的一個重要數學模型.在建立和運用方程模型的過程中，尋找等量關系是重要的基本活動經驗，體會變化與對應，特殊與一般的思想，搜索方程與函數的聯系，是函數學習過程中需要揭示的最為本質的思想.數學建模素養較為薄弱的同學可能會出現理解錯誤，第（1）問的三個空到底先填哪一個？若按順序填，第一個空就受阻，從而因未能求出第（1）問中三個量或未能有序思考，整體思考，導致后續問題不能求解.這反映了學生綜合應用知識能力欠缺，運算素養，邏輯推理素養堪憂.首先由表格是一、二月份用水量及收費，發現規定用量內的收費標準是2元/噸；其次由表格中三、四月份的用水量及收費，發現都超過規定用水量，多用三噸，多收費9元，從而超過部分的收費標準是3元/噸.最后確定第一個空.設該市規定用水量為x噸，則2x+3×（12-x）=28，解得x=8（噸）.第（2）問是一個方程，第（3）問是已知函數值，求相應自變量的值（水費是用水量的函數），考查方程與函數的關系，基本就沒有那么難了.

三、在解決問題過程中，注重方法指導，培養學生探究和反思能力

我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”因此在問題的解決中，借助數形結合，常常可以使問題的解決找到突破.

問題3：如圖1，點M是線段AB上一定點，AB=12cm，C、D兩點分別從M，B同時出發，分別以1cm/秒，2cm/秒的速度沿直線BA向左運動，C在線段AM上，D在線段BM上.

圖1

（1）若AM=4cm，當點C，D各自運動了2秒，此時AC=_______，DM=_______；

（2）當C，D各自運動了2秒，求AC+MD的值；

（3）若點C，D在線段BA上運動時，總有MD=2AC，求AM的長；

（4）在（3）的條件下，若N是直線AB上的一點，且AN-BN=MN，求MN∶AB的值.

分析：首先要搞清楚這4問之間的關系.第（1）、（2）問是并列關系；第（3）、（4）問是遞進關系.其次，第（2）問還體現了特殊到一般，考查符號意識和整體思想；第（4）問由于點N的位置情況不明確，需要畫圖驗證討論.第（3）問承上啟下，如何用好條件MD=2AC是解決問題的關鍵.可以從數和形兩個角度來思考突破.

解：（1） 因為AC=AM-CM，而AM=4cm，CM=1×2=2cm，所以AC=2cm，因為DM=MB-BD，BD=2×2=4cm，MB=AB-AM=8cm，所以DM=4cm.

（2） 當C，D各自運動2秒時，AC=AM-CM=AM-2，MD=MB-BD=MB-4，所以AC+MD=AM-2+MB-4=AM+MB-6=AB-6=12-6=6（cm）.

（3）方法①：因為MD=2AC，所以結合圖1，可得MBBD=2（AM-CM），即MB-2t=2（AM-t），從而MB-2t=2AM-2t，于是MB=2AM，而AM+MB=AB=12cm，所以AM=4cm.方法②：因為MD=2AC，BD=2CM，所以MD+BD=2AC+2CM=2（AC+CM）=2AM，以下同方法①.

（4）因為AN-BN=MN，所以AN＞BN，從而N一定不在線段BA的延長線上.因此應分兩種情況考慮.當N在線段AB上時（如圖2）.

方法①：設MN=x，由題意得（4+x）-（8-x）=x.解這個方程，得x=4（cm）.所以MN∶AB=.

方法②因為AN-BN=MN，所以BN=AN-MN=AM=4cm，所以MN=AB-AM-BN=4（cm）. 所以MN∶AB=.

圖2

當N在線段AB的延長線上時（如圖3），因為MN=AN-BN=AB，所以MN∶AB=1.

圖3

四、點評

1.問題解決的教學要聚焦數學素養

三個問題都是考查數學素養的好題，在PISA測試理念中，數學素養的核心指向個體“表述”、“運用”、“闡釋”數學的能力.通過此類問題的解決，有利于提升學生數學解題的思維強度和思維層次，從而完善數學思維品質.基于數學素養提升與數學知識的內部貫通，關注問題解決，準確把握學生卡點，通過數學問題解決的三個具體過程，在題目的困惑化解、思路分析與解法展示的基礎上進行解題反思.讓學生在生活情境中體驗數學、理解數學、找尋問題的數學本質，培養學生利用數學解決問題的意識，培養學生理性思維，引領學生積累數學活動經驗、感悟數學思想，進而聯系現實或從中抽象出數學問題.

2.數學素養蘊含在建立“符號意識”的數學思維和學生主體意識發展中

羅素認為數學就是符號加邏輯.《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式，從而有助于學生更好地理解數學和發展數學素養.數學素養具有綜合性、內隱性和適應性的特點，數學素養的形成需要教師的隱性幫助，數學教學要從以知識為中心向以學生為主體轉變，數學教學要促進和發展學生的主體性，首先回歸學生的認知起點，尊重學生的主體性；其次創設自然生成的情境，激發學生的主體性；最后要有效發揮教師的主導作用，啟發學生共同探索，分享成果.