一道課本例題的改編與教學啟示

☉湖北省陽新縣白沙中學 羅 峻

課本是教育專家依據數學課程標準，經過反復審編形成的教學素材，其基本理念、基本要求具有導向性和科學性.課本也是日常教學的基本范本，更是學生獲得數學基礎知識、數學基礎技能、數學思想方法，積累基本活動經驗，形成數學素養的重要載體.在平時教學中，我們要最大限度利用課本素材，發揮出課本無法替代的優勢，應以課本中的例、習題為藍本，進行類比加工，改編成思維含量較高又符合學生當前認知規律的題目，這樣能有效避免“題海戰術”，引導學生遠離資料的干擾，減少收集過多教材以外的題目，減輕學生的課業負擔，發揮良好的教學導向功能.下面請看一道平凡的課本例題.

一、課本原題

題目：如圖1，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形對角線的長.

這是人教版八年級下冊第53頁的例題.題目重點考查矩形的性質：矩形的對角互相平分且相等.加入60°的條件，產生了許多特殊的三角形，如等邊三角形：△AOB和△COD；底角為30°的等腰三角形：△AOD和△BOC；含30°角的直角三角形：△ABD、△ABC、△CDA和△CBD，并且每組三角形分別全等.當然，課本試題的解答相當簡單，幾乎一望而知.如果僅僅就題論題，無疑會浪費寶貴且有限的課本資源.如果能深入挖掘，充分利用基本圖形的結構，進行改造、增加條件，就能幫助學生實現知識的整合、方法的遷移，提升學生綜合運用數學知識的能力.

圖1

二、題目改編

變式（一） 基本圖形不變，增加角平分線的條件，求角的度數

例1 （祖沖之杯邀請賽）如圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度數.

評析：本題主要考查從復雜圖形中分解和發現基本圖形及運用圖形性質的能力.根據已知條件和例題結論，發現AB是等邊△ABO和等腰Rt△ABE公共邊，從而得出△BOE是等腰三角形，易求∠BOE=75°.

變式（二） 基本圖形不變，增加角平分線的條件，求線段長

例2 （2018初中數學聯賽）如圖3，矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BD于點E，AB=1，∠CAE=15°，則BE=（ ）.

圖2

圖3

圖4

評析：BE所在的三角形ABE不是特殊三角形，無法直接求解，也無法直接求出DE的長.聯系到課本例題的圖形，如圖4，延長AE并過點E作BC的垂線，由60°和45°的條件得到特殊三角形——等腰直角三角形、等邊三角形和30°角的直角三角形，再用線段之間的關系，建立方程即可解決問題.設BE=x，則因為BF=BH+HF，所以x，解得x=-1，所以BE=-1.故選D. 這樣的題目設置，較好地考查了學生綜合利用已知條件分析問題的探究能力，其中，作出輔助線、建立方程是解題的關鍵.

圖5

變式（三） 基本圖形不變，增加角平分線條件，判斷多個結論是否成立

例3 （齊齊哈爾中考）如圖5，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，過C作CE⊥BD于E，延長AF、EC交于點H，下列結論：①BO=BF；②CA=CH；③AF=FH；④BE=3ED.以上結論正確的有______.

評析：正確的結論是①②④.本題沿襲了變式一和變式二的圖形，并在此基礎上更進一步豐富圖形的結構，難度進一步加強.解題的關鍵在于找出特殊的三角形，并利用特殊三角形的性質得出相關的線段長，對于正確的命題可以推理證明；而對于錯誤的結論③，則先假設其成立，再結合其他條件推導出與題目不符的結論，從而判斷結論③錯誤.

變式（四） 保留題干，探求陰影部分面積

例4 （孝感中考）如圖6，矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，過點O的直線EF分別交AD、BC于點E、F，若∠ADB=30°，AB=4，則陰影部分面積之和是______.

圖6

評析：本題難度不大，運用矩形是中心對稱圖形和旋轉的性質將分散的圖形集中在同一個三角形ABD中，所以陰影部分面積之和是8.從整體著眼探究問題，從整體上把握問題的解答，往往使解題變得思路清晰，步驟簡潔.

圖7

變式（五） 保留題干，添置一條平行線，求圖形面積

例5 （肇慶中考）如圖7，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E，若∠DBC=30°，BO=4，求四邊形ABED的面積.

評析：本題在課本例題的基礎上新添一條平行線，便出現了新的圖形——平行四邊形和直角梯形，求解直角梯形的面積.這樣的題目設置使四邊形的類型更豐富和多樣化，解題時需厘清各種四邊形的性質與屬性，難度不大.四邊形ABED的面積

變式（六） 保留題干，增設兩條平行線，求線段長

例6 （深圳市寶安區期末）如圖8，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE∥BD，過點D作ED∥AC，AE與ED相交于點E，連接BE交AC于點F，若BE⊥ED于點E，AE=2，求CF的長.

評析：增設兩條平行線后，出現了特殊四邊形——菱形，還發現Rt△BED中，DE等于BD的一半，所以∠EBD=30°，進一步∠AOB=60°，這樣，通過剝離條件，便是課本例題的圖形，易求CF=FO+OC=3.本題圖形復雜，從復雜的圖形中提取出熟悉的圖形是解題的基礎，需進一步運用各種圖形的性質綜合解題，有一定的難度.

變式（七） 保留題干，加入垂直因素，探求定值

例7 （希望杯改編）如圖9，矩形ABCD中，已知AB=BO=1，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為______.

圖8

圖9

圖10

評析：由矩形對角線相等且互相平分的性質和AB=BO知，△ABO是等邊三角形，其本質即“課本原題”，由已知條件中的兩條垂線，聯想到三角形的高，從而運用面積法解題.連接PO.由DO=BO，得

幾何定值問題，指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些性質或位置關系不變的一類問題.解決此類問題的基本方法是：分清問題的定量與變量，運用特殊位置，先探求出定值，再給出解答過程.本題抓住△AOD的面積是個不變量，用等積法求解，顯得簡潔而自然.

變式（八） 保留題干，加入等長線段，探求最值

例8 （2018黃石中考模擬）如圖11，矩形ABCD的對角線相交于點O，AB=BO=4，M是矩形外一點，且MO=DO，求AM·MC的最大值.

評析：易知△ABO是等邊三角形，再由“一邊的中

線等于這邊的一半的三角形是直角三角形”知，△AMC是直角三角形，而所求問題是AM與MC的乘積的最大值，則問題轉化為求△ACM的面積的最大值.

圖11

而AC=2AO=8. ②

把②代入①知，8h=AM·MC，

要使AM·MC最大，只需AC邊上的高h最大即可.

由“垂線段最短”知，OM≥h，

因此當h=OM=4時，h最大，

即當OM⊥AC時，AM·MC的最大值是8×4=32.

在動態幾何問題中，當某幾何元素在給定條件變化時，稱求某幾何量的最大值或最小值問題為幾何最值問題.這類問題一般都可以歸結到兩個基本原理上，一是兩點之間線段最短，二是垂線段最短.實際解題時，需弄清題目的條件，把握圖形特點，動靜結合，執果溯因，打開此類問題的突破口.

變式（九） 隱藏一條對角線，探究多個結論

例9 （丹東二模）如圖12，在矩形ABCD中，O為AC中點，EF過點O且EF⊥AC，分別交DC于F，交AB于E，點G是AE中點，且∠AOG=30°，則下列結論正確的個數為（ ）

圖12

A.4 B.3 C.2 D.1

評析：本題看似與“課本原題”無關，通過剝離已知條件進一步挖掘結論，得到∠CAB=30°，如圖13，連接對角線后，則問題與“課本原題”同出一轍.可見通過隱藏主要線段來設置考題是加大題目難度的一種手段.熟悉基本圖形的結構，并運用圖形所蘊含的結論，與其他條件綜合分析，問題則迎刃而解.正確的結論為：①③④，選B.

圖13

圖14

變式（十） 弱化條件，與相似結合.

例10 （武漢中考）如圖14，在矩形ABCD中對角線AC、BD相交于點G，E是AD的中點，連接BE交AC于F，連接FD，若∠BFA=90°，則下列四對三角形：①△BEA與△ACD；②△FED與△DEB；③△CFD與△ABG；④△ADF與△CFB.其中相似的為（ ）.

A.①④ B.①② C.②③④ D.①②③

評析：本題去掉60°的條件，使圖形向一般化轉換，增加了直角的條件，便出現了射影定理的基本圖形，以其中一對相似三角形為基本結論，可逐個推出其他三角形相似.

由∠4=∠5，∠BAD=∠ADC，得△BEA∽△ACD，即①正確.由射影定理知，AE2=EF·BE，又AE=DE，那么=，∠FED公共，因此△DEF∽△BED，故②正確.

由結論②△DEF∽△BED知，對應角∠1=∠2，

由外角知，∠3=∠1+∠4，而∠ABG=∠2+∠5，

又∠4=∠5，因此∠3=∠ABG，

又AB∥CD知，∠BAC=∠DCG，

由兩角相等知三角形相似得△CFD∽△ABG，即③正確.

△ADF是鈍角三角形，△CFB是直角三角形，所以④錯誤.

因此①②③正確，選D.

當然，這類弱化條件的考題還有很多，限于篇幅，此處不再列舉.

以上題目有的是競賽題，有的是中考題，它們都改編自這個課本例題，一個看似平淡無奇，索然無味的素材，但命題者獨具慧眼，再起波瀾，這對日常教學與中考命題都是一個很好的啟示——最不起眼的，最是大乾坤.生活中不是缺少美，教育者的浮躁與輕率，遮蔽了最好的教學資源，考題留給我們的，是深刻的反思.

三、教學啟示

1.用好教材整合教材，提高效率

課本是學生學習的主要課程資源，素材常常是陳述性的，是相對固定和靜態的，教師的一個重要任務就是在教學中拓展這種學習的平臺.這就要求教師恰當地“用教材”和整合教材，設置恰當的問題情境，幫助學生自主探索和合作交流；激發學生的學習動機和好奇心，調動學生思維的積極性，給學生提供學習數學活動的時間和空間.教師要扮演好數學教學活動中的新角色——組織者、引導者與合作者，適當改變學生的學習方式，讓學生經歷探究問題的過程，并體會探究問題帶來的成功和樂趣.

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據，要教得好，使學生受到實益，還要靠教師的善于運用.”教材中重要的例習題，或者提供重要的結論，或者體現某種數學思想，或者是更高層次數學命題的具體形式，它的延伸、轉化和擴展，呈現出豐富多彩的數學世界.通常例題的選擇，既要求知識覆蓋面廣，又要突出重點，有利于強化“四基”，揭示解題的一般規律，還要注意例題要有啟發性、應用性、創新性.而習題的設計，要求習題有綱目作用，顯示知識之間的內部聯系，體現知識的系統性和條理性，習題要有強化作用，習題設計要面向全體，要在知識難點上加強練習，以便使各種程度的學生都有收獲，特別要找出多數學生的薄弱環節，有的放矢，設計相應的習題，習題要有啟發作用，通過習題的典型性以點帶面，舉一反三；精選數學課堂教學中的范例還需注意不能局限于教材原來的例題、習題的形式，根據教學需要，調整教材例題和習題的位置.因此，教師應努力鉆研教材，合理補充能夠凸顯教材內容的范例，全面把握學習內容的地位與作用，深刻理解學習內容的數學本質，理解相關內容的數學教育價值，把握知識生成的線索，掌握核心知識和核心思想方法，保證教學設計的針對性和合理性，提高課堂學習活動的數學認知發展價值，提高課堂教學的效率.

2.改編拓展課本例題，發展思維

目前教育改革的核心任務是“立德樹人”，根本任務是發展學生的核心素養.在數學學科中，發展數學思維是重中之重，因此在數學課堂中，通過例題教學來發展數學思維是不二的選擇.著名數學教育家波利亞在《怎樣解題》中指出：數學例題教學的目的不僅是為了運用新知，更重要的是培養學生的解題能力和思維能力.即不以題論題，學會思維的發散性和延伸性，從廣度和深度兩方面去培養.

我們知道，培養學生解題能力，掌握思維方法，是一個比較復雜和漫長的過程，但只要以課本中的例、習題作為載體，發揮其潛在功能，充分運用，并挖掘、延伸和改造運用，一定可以提高課堂效率，切實提升學生的綜合能力.為什么選用課本的題目進行改編呢？正如章建躍博士所說：“教材的結構體系、內容順序是反復考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復打磨的，習題是精挑細選的.”因此在進行數學教學時，面對教材，我們應該懷有敬畏之心，認真研讀，體會教材中的結構體系、內容順序、語言組織、例題和習題的意圖等，而不應舍近求遠，熱衷導學案，熱衷教輔，大搞題海戰.但為什么師生卻樂此不疲呢？一個重要原因是教材中的例題看上去太簡單，太平庸，教師覺得無法應付中考，也沒有著力進一步挖掘例題的深刻內涵.

其實教材的例、習題內涵豐富，教育教學功能多樣，具有很強的探究性.當完成一個問題的解答后，有必要對該題的內容、形式、結構等，做進一步的探討，認真掌握例、習題所反映的問題的本質.如果能對一個內涵豐富的例、習題進行一題多變，從中總結解題方法，從變中發現解題規律，從變中發現不變，必將使學生加深對解題方法的理解，掌握典型題目的解題規律，培養學生的創新思維.

“問渠哪得清如許？為有源頭活水來”，對于教材例、習題這一源頭活水，需要我們去認真領會和仔細研究.教師設計例題的時間花得多一些，學生練習的時間就會少一些；設計的例題精一些，學生就會學得活一點，好一點.在數學教學中，要重視教材中的題目，做到立足課本，回歸教材.我們也期待有更多更好的試題源于課本，這時就會不由自主地想起張奠宙先生說過的一句話：“當考題發源于課本的時候，那些大搞傻練、死練者就會覺得得不償失.”